Cechy trójkąta równoramiennego, wzór i obszar, obliczenia



A trójkąt równoramienny Jest to trójstronny wielokąt, w którym dwa z nich mają ten sam pomiar, a trzeci ma inny pomiar. Ta ostatnia strona nazywa się bazą. Z powodu tej cechy nadano jej nazwę, która w języku greckim oznacza „równe nogi”

Trójkąty są wielokątami uważanymi za najprostsze w geometrii, ponieważ składają się z trzech boków, trzech kątów i trzech wierzchołków. Są to te, które mają najmniejszą liczbę boków i kątów w stosunku do innych wielokątów, jednak ich użycie jest bardzo rozległe.

Indeks

  • 1 Charakterystyka trójkątów równoramiennych
    • 1.1 Komponenty
  • 2 Właściwości
    • 2.1 Kąty wewnętrzne
    • 2.2 Suma boków
    • 2.3 Zgodne boki
    • 2.4 Zgodne kąty
    • 2.5 Wysokość, środkowa, dwusieczna i dwusieczna są zbieżne
    • 2.6 Wysokości względne
    • 2.7 Orthocenter, barycenter, incenter i circumcenter pokrywają się
  • 3 Jak obliczyć obwód?
  • 4 Jak obliczyć wysokość?
  • 5 Jak obliczyć obszar?
  • 6 Jak obliczyć podstawę trójkąta?
  • 7 ćwiczeń
    • 7.1 Pierwsze ćwiczenie
    • 7.2 Drugie ćwiczenie
    • 7.3 Trzecie ćwiczenie
  • 8 Odniesienia

Charakterystyka trójkątów równoramiennych

Trójkąt równoramienny został sklasyfikowany za pomocą miary jego boków jako parametru, ponieważ dwa jego boki są przystające (mają tę samą długość).

W zależności od amplitudy kątów wewnętrznych trójkąty równoramienne są klasyfikowane jako:

  • Prostokątny trójkąt równoramienny: dwa z jego boków są równe. Jeden z jego kątów jest prosty (90o) a pozostałe są takie same (45o każdy)
  • Trójkąt kątowy rozwarty w równoramienności: dwa z jego boków są równe. Jeden z jego kątów jest rozwarty (> 90o).
  • Ostry trójkąt równoramienny: dwa z jego boków są równe. Wszystkie kąty są ostre (< 90o), gdzie dwa mają ten sam środek.

Komponenty

  • Mediana: to linia, która wychodzi z punktu środkowego jednej strony i osiąga przeciwny wierzchołek. Trzy mediany zbiegają się w punkcie zwanym centroidem lub centroidem.
  • Dwusieczna: jest promieniem, który dzieli kąt każdego wierzchołka na dwa kąty równej wielkości. Dlatego jest znany jako oś symetrii i ten typ trójkątów ma tylko jeden.
  • Pośredniczka: jest segmentem prostopadłym do boku trójkąta, który powstaje w środku tego. W trójkącie są trzy mediatory, które zgadzają się w punkcie zwanym circuncentro.
  • Wysokość: jest linią biegnącą od wierzchołka do przeciwległej strony, a także ta linia jest prostopadła do tej strony. Wszystkie trójkąty mają trzy wysokości, które pokrywają się w punkcie zwanym ortocentrum.

Właściwości

Trójkąty równoramienne są zdefiniowane lub zidentyfikowane, ponieważ mają kilka właściwości, które je reprezentują, pochodzące z twierdzeń zaproponowanych przez wielkich matematyków:

Kąty wewnętrzne

Suma kątów wewnętrznych jest zawsze równa 180o.

Suma boków

Suma miar dwóch boków musi być zawsze większa niż miara trzeciej strony, a + b> c.

Zgodne strony

Trójkąty równoramienne mają dwie strony o tej samej mierze lub długości; to znaczy są przystające, a trzecia strona jest inna niż te.

Zgodne kąty

Trójkąty równoramienne są również nazywane trójkątami kątów izo, ponieważ mają dwa kąty, które mają tę samą miarę (przystające). Znajdują się one u podstawy trójkąta, naprzeciwko boków o tej samej długości.

Z tego powodu twierdzenie, które stwierdza, że:

„Jeśli trójkąt ma dwie przystające boki, kąty naprzeciw tych boków również będą przystające”. Dlatego, jeśli trójkąt jest równoramienny, kąty jego podstaw są przystające.

Przykład:

Poniższy rysunek przedstawia trójkąt ABC. Śledząc jej dwusieczną od wierzchołka kąta B do podstawy, trójkąt jest podzielony na dwa trójkąty równe BDA i BDC:

Zatem kąt wierzchołka B został również podzielony na dwa równe kąty. Dwusieczna jest teraz stroną (BD) wspólną dla tych dwóch nowych trójkątów, podczas gdy boki AB i BC są przystającymi bokami. Więc masz przypadek przystani, kąta, boku (LAL).

Pokazuje to, że kąty wierzchołków A i C mają tę samą miarę, podobnie jak można również wykazać, że ponieważ trójkąty BDA i BDC są przystające, boki AD i DC są również przystające..

Wysokość, środkowa, dwusieczna i dwusieczna są zbieżne

Linia narysowana od wierzchołka naprzeciw podstawy do punktu środkowego podstawy trójkąta równoramiennego jest jednocześnie wysokością, środkową i dwusieczną, a także dwusieczną względem przeciwnego kąta podstawy.

Wszystkie te segmenty pokrywają się w jednym, który je reprezentuje.

Przykład:

Poniższy rysunek przedstawia trójkąt ABC z punktem środkowym M, który dzieli podstawę na dwa segmenty BM i CM.

Kiedy rysujesz odcinek od punktu M do przeciwnego wierzchołka, z definicji otrzymujesz medianę AM, która jest względna do wierzchołka A i boku BC.

Ponieważ segment AM dzieli trójkąt ABC na dwa równe trójkąty AMB i AMC, oznacza to, że zostanie przyjęty przypadek boku, kąta, kongruencji bocznej, a zatem AM będzie również dwusieczną BÂC.

Dlatego dwusieczna zawsze będzie równa środkowej i odwrotnie.

Segment AM tworzy kąty, które mają tę samą miarę dla trójkątów AMB i AMC; to znaczy są one uzupełnieniem w taki sposób, że miarą każdego z nich będzie:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180o

2 * Med. (AMC) = 180o

Med. (AMC) = 180o ÷ 2

Med. (AMC) = 90o

Można wiedzieć, że kąty utworzone przez segment AM w stosunku do podstawy trójkąta są proste, co wskazuje, że ten segment jest całkowicie prostopadły do ​​podstawy.

Dlatego reprezentuje wysokość i dwusieczną, wiedząc, że M jest punktem środkowym.

Dlatego linia prosta AM:

  • Reprezentuje wysokość BC.
  • To jest średnie.
  • Znajduje się w pośredniej BC.
  • Jest to dwusieczna kąta wierzchołka Â

Względne wysokości

Wysokości, które są względne dla równych boków, mają tę samą miarę.

Ponieważ trójkąt równoramienny ma dwie równe boki, ich dwie odpowiednie wysokości również będą równe.

Orthocenter, barycenter, incenter i circumcenter pokrywają się

Ponieważ wysokość, środkowa, dwusieczna i dwusieczna w stosunku do podstawy są reprezentowane w tym samym czasie przez ten sam segment, ortocentrum, centrocentryczny centymetr i circumcenter będą punktami współliniowymi, to znaczy będą w tej samej linii:

Jak obliczyć obwód?

Obwód wielokąta jest obliczany na podstawie sumy boków.

Ponieważ w tym przypadku trójkąt równoramienny ma dwie strony o tym samym pomiarze, jego obwód jest obliczany według następującego wzoru:

P = 2*(strona a) + (strona b).

Jak obliczyć wysokość?

Wysokość jest linią prostopadłą do podstawy, dzieli trójkąt na dwie równe części, rozciągając się na przeciwny wierzchołek.

Wysokość reprezentuje przeciwległą nogę (a), połowę podstawy (b / 2) do sąsiedniej nogi, a strona „a” reprezentuje przeciwprostokątną.

Używając twierdzenia Pitagorasa, możesz określić wartość wysokości:

a2 + b2 = c2

Gdzie:

a2 = wysokość (h).

b2 = b / 2.

c2 = strona a.

Zastępując te wartości w twierdzeniu Pitagorasa i usuwając wysokość, mamy:

h2 + (b / 2)2 = a2

h2 + b2 / 4 = a2

h2 = a2 - b2 / 4

h = √ (a2 - b2 / 4).

Jeśli znany jest kąt utworzony przez przystające boki, wysokość można obliczyć za pomocą następującego wzoru:

Jak obliczyć obszar?

Obszar trójkątów jest zawsze obliczany przy użyciu tego samego wzoru, mnożąc podstawę przez wysokość i dzieląc przez dwa:

Istnieją przypadki, w których znane są tylko pomiary dwóch boków trójkąta i kąta między nimi. W tym przypadku, aby określić obszar, konieczne jest zastosowanie współczynników trygonometrycznych:

Jak obliczyć podstawę trójkąta?

Ponieważ trójkąt równoramienny ma dwie równe strony, aby określić wartość jego podstawy, należy znać przynajmniej miarę wysokości lub jednego z jego kątów.

Znając wysokość twierdzenia Pitagorasa:

a2 + b2 = c2

Gdzie:

a2 = wysokość (h).

c2 = strona a.

b2 = b / 2, jest nieznany.

Wyczyściliśmy b2 wzoru i musimy:

b2 = a2 - c2

b = √ a2 - c2

Ponieważ ta wartość odpowiada połowie podstawy, należy ją pomnożyć przez dwa, aby uzyskać pełną miarę podstawy trójkąta równoramiennego:

b = 2 * (√ a2 - c2)

W przypadku, gdy znana jest tylko wartość równych boków i kąt między nimi, stosowana jest trygonometria, śledząca linię od wierzchołka do podstawy, która dzieli trójkąt równoramienny na dwa prawe trójkąty.

W ten sposób połowa bazy jest obliczana z:

Możliwe jest również, że znana jest tylko wartość wysokości i kąta wierzchołka, który jest przeciwny do podstawy. W takim przypadku przez trygonometrię można określić podstawę:

Ćwiczenia

Pierwsze ćwiczenie

Znajdź obszar trójkąta równoramiennego ABC, wiedząc, że dwa jego boki mierzą 10 cm, a trzeci ma 12 cm.

Rozwiązanie

Aby znaleźć obszar trójkąta, konieczne jest obliczenie wysokości za pomocą wzoru pola związanego z twierdzeniem Pitagorasa, ponieważ wartość kąta utworzonego między równymi bokami nie jest znana.

Mamy następujące dane trójkąta równoramiennego:

  • Równe boki (a) = 10 cm.
  • Podstawa (b) = 12 cm.

Wartości w formule są zastępowane:

Drugie ćwiczenie

Długość dwóch równych boków trójkąta równoramiennego wynosi 42 cm, a połączenie tych boków tworzy kąt 130o. Określ wartość trzeciej strony, obszaru tego trójkąta i obwodu.

Rozwiązanie

W tym przypadku znane są pomiary boków i kąt między nimi.

Aby poznać wartość brakującej strony, to znaczy podstawy tego trójkąta, rysowana jest linia prostopadła do niego, dzieląca kąt na dwie równe części, po jednej dla każdego utworzonego trójkąta prawego.

  • Równe boki (a) = 42 cm.
  • Kąt (Ɵ) = 130o

Teraz przez trygonometrię obliczana jest wartość połowy podstawy, co odpowiada połowie przeciwprostokątnej:

Aby obliczyć obszar, należy znać wysokość tego trójkąta, którą można obliczyć za pomocą trygonometrii lub twierdzenia Pitagorasa, teraz, gdy wartość podstawy została już określona.

Przez trygonometrię będzie to:

Obwód jest obliczany:

P = 2*(strona a) + (strona b).

P = 2* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Trzecie ćwiczenie

Oblicz wewnętrzne kąty trójkąta równoramiennego, wiedząc, że kąt podstawy wynosi  = 55o

Rozwiązanie

Aby znaleźć dwa brakujące kąty (Ê i Ô), należy pamiętać o dwóch właściwościach trójkątów:

  • Suma wewnętrznych kątów każdego trójkąta będzie zawsze = 180o:

 + Ê + Ô = 180 o

  • W trójkącie równoramiennym kąty podstawy są zawsze przystające, to znaczy mają tę samą miarę, dlatego:

 = Ô

Ê = 55o

Aby określić wartość kąta Ê, zastąp wartości innych kątów w pierwszej regule i wyczyść Ê:

55o + 55o + Ô = 180 o

110 o + Ô = 180 o

Ô = 180 o - 110 o

Ô = 70 o.

Referencje

  1. Álvarez, E. (2003). Elementy geometrii: z licznymi ćwiczeniami i geometrią kompasu. Uniwersytet Medellin.
  2. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Rysunek techniczny: notatnik aktywności.
  3. Angel, A. R. (2007). Algebra elementarna Pearson Education.
  4. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra i trygonometria z geometrią analityczną. Pearson Education.
  5. Baldor, A. (1941). Algebra Hawana: Kultura.
  6. José Jiménez, L. J. (2006). Matematyka 2.
  7. Tuma, J. (1998). Podręcznik inżynierii matematyki. Wolfram MathWorld.