Trójmian postaci x ^ 2 + bx + c (z przykładami)

Przed nauką rozwiązania trójmian postaci x ^ 2 + bx + c, a nawet zanim poznasz pojęcie trójmian, ważne jest, aby znać dwa podstawowe pojęcia; mianowicie pojęcia monomialne i wielomianowe. Monomial jest wyrażeniem typu a * xⁿ, gdzie a jest liczbą wymierną, n jest liczbą naturalną, a x jest zmienną.

Wielomian jest liniową kombinacją jednomianów postaci a_n* xⁿ+a_n-1* x^n-1+... + a₂* x²+a₁* x + a₀, gdzie każdy a_i, z i = 0, ..., n, jest liczbą wymierną, n jest liczbą naturalną, a n jest niezerowe. W tym przypadku mówi się, że stopień wielomianu wynosi n.

Wielomian utworzony przez sumę tylko dwóch terminów (dwa monomiały) o różnych stopniach, jest znany jako dwumian.

Indeks

• 1 Trinomials
  • 1.1 Idealne trójmian kwadratowy
• 2 Charakterystyka trinomialów stopnia 2
  • 2.1 Idealny kwadrat
  • 2.2 Formuła rozpuszczalnika
  • 2.3 Interpretacja geometryczna
  • 2.4 Współczynnik trójmianowy
• 3 Przykłady
  • 3.1 Przykład 1
  • 3.2 Przykład 2
• 4 odniesienia

Trinomies

Wielomian utworzony przez sumę tylko trzech terminów (trzy monomiały) o różnych stopniach jest znany jako trójmian. Oto przykłady trójmian:

• x³+x²+5x
• 2x⁴-x³+5
• x²+6x + 3

Istnieje kilka rodzajów trinomialów. Spośród nich podkreśla idealną kwadratową trójmianę.

Idealny kwadratowy trójnóg

Doskonały kwadratowy trójnóg jest wynikiem podniesienia do kwadratu dwumianu. Na przykład:

• (3x-2)²= 9x²-12x + 4
• (2x³+y)²= 4x⁶+4x³y + y²
• (4x²-2y⁴)²= 16x⁴-16x²i⁴+4y⁸
• 1 / 16x²i⁸-1 / 2xy⁴z + z²= (1 / 4xy⁴)²-2 (1 / 4xy⁴) z + z²= (1 / 4xy⁴-z)²

Charakterystyka trinomialów stopnia 2

Idealny kwadrat

Ogólnie rzecz biorąc, trójosiowy kształt siekiery²+bx + c jest idealnym kwadratem, jeśli jego wyróżnik jest równy zero; to znaczy, jeśli b²-4ac = 0, ponieważ w tym przypadku będzie miał tylko jeden root i może być wyrażony w postaci a (x-d)²= (√a (x-d))², gdzie d jest już wspomnianym katalogiem głównym.

Pierwiastkiem wielomianu jest liczba, w której wielomian staje się zerem; innymi słowy, liczba, która zastępując ją w wyrażeniu x w wyrażeniu wielomianu, daje zero.

Formuła rozpuszczalnika

Ogólna formuła obliczania pierwiastków wielomianu drugiego stopnia formy siekiery²+bx + c jest formułą resolvera, która stwierdza, że ​​te korzenie są podane przez (-b ± √ (b²-4ac)) / 2a, gdzie b²-4ac jest znany jako wyróżnik i jest zwykle oznaczany przez Δ. Z tej formuły wynika ten topór²+bx + c ma:

- Dwa różne prawdziwe korzenie, jeśli Δ> 0.

- Pojedynczy prawdziwy korzeń, jeśli Δ = 0.

- Nie ma prawdziwego korzenia, jeśli Δ<0.

Poniżej rozważymy tylko trójmian w postaci x²+bx + c, gdzie wyraźnie c musi być liczbą niezerową (w przeciwnym razie byłby to dwumian). Ten rodzaj trinomialów ma pewne zalety przy faktoringu i operowaniu nimi.

Interpretacja geometryczna

Geometrycznie, trójmian x²+bx + c to parabola, która otwiera się w górę i ma wierzchołek w punkcie (-b / 2, -b²/ 4 + c) płaszczyzny kartezjańskiej, ponieważ x²+bx + c = (x + b / 2)²-b²/ 4 + c.

Ta parabola przecina oś Y w punkcie (0, c) i osi X w punktach (d₁,0) i (d)₂,0); następnie d₁ oraz d₂ są korzeniami trójmianu. Może się zdarzyć, że trójmian ma pojedynczy korzeń d, w którym to przypadku jedynym cięciem z osią X będzie (d, 0).

Może się również zdarzyć, że trójnóg nie ma żadnych rzeczywistych korzeni, w którym to przypadku nie będzie przecinał osi X w żadnym punkcie.

Na przykład x²+6x + 9 = (x + 3)²-9 + 9 = (x + 3)² jest parabolą z wierzchołkiem w (-3,0), która tnie oś Y w (0,9) i oś X w (-3,0).

Rozkład trójczynnikowy

Bardzo użytecznym narzędziem podczas pracy z wielomianami jest faktoring, który ma wyrażać wielomian jako iloczyn czynników. Ogólnie rzecz biorąc, trójmian postaci x²+bx + c, jeśli ma dwa różne pierwiastki d₁ oraz d₂, może być uwzględnione jako (x-d)₁) (x-d)₂).

Jeśli masz tylko jeden katalog główny d, możesz to uwzględnić jako (x-d) (x-d) = (x-d)², a jeśli nie ma żadnych prawdziwych korzeni, pozostaje bez zmian; w tym przypadku nie obsługuje faktoryzacji jako produktu czynników innych niż on sam.

Oznacza to, że znając pierwiastki trójmianu już ustalonej formy, jego faktoryzacja może być łatwo wyrażona, i jak już wspomniano, te korzenie zawsze można określić za pomocą resolventu.

Istnieje jednak znaczna ilość tego typu trójcy, które można uwzględnić bez konieczności wcześniejszego poznania ich korzeni, co upraszcza pracę.

Korzenie można określić bezpośrednio z faktoryzacji bez konieczności używania formuły resolvera; są to wielomiany postaci x² +(a + b) x + ab. W takim przypadku masz:

x²+(a + b) x + ab = x²+ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Stąd łatwo zauważyć, że korzenie to -a i -b.

Innymi słowy, podano trójmian x²+bx + c, jeśli istnieją dwie liczby u i v takie, że c = uv i b = u + v, a następnie x²+bx + c = (x + u) (x + v).

To znaczy, biorąc pod uwagę trójmian x²+bx + c, najpierw sprawdź, czy istnieją dwie liczby, które pomnożą den niezależny termin (c) i dodane (lub odjęte, w zależności od przypadku), podając termin, który towarzyszy x (b).

Nie w ten sposób wszystkie trynomialy mogą być stosowane; tam, gdzie nie możesz, idź do resolventu i zastosuj powyższe.

Przykłady

Przykład 1

Aby wziąć pod uwagę następujące trójmianowe x²+3x + 2 postępujemy następująco:

Musisz znaleźć dwie liczby, aby po dodaniu ich wynik wynosił 3, a gdy je pomnożysz, otrzymasz 2.

Po przeprowadzeniu kontroli można stwierdzić, że poszukiwane liczby to: 2 i 1. Dlatego x²+3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Przykład 2

Aby uwzględnić czynnik trójmianowy x²-5x + 6 szukamy dwóch liczb, których suma wynosi -5, a jej produktu 6. Liczby spełniające te dwa warunki to -3 i -2. Dlatego faktoryzacja danej trójmianu wynosi x²-5x + 6 = (x-3) (x-2).

Referencje

1. Źródła, A. (2016). PODSTAWOWA MATEMATYKA. Wprowadzenie do obliczeń. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematyka: równania kwadratowe: jak rozwiązać równanie kwadratowe. Marilù Garo.
3. Haeussler, E. F. i Paul, R. S. (2003). Matematyka dla administracji i ekonomii. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., i Estrada, R. (2005). Matematyka 1 SEP. Próg.
5. Preciado, C. T. (2005). Kurs matematyczny 3o. Progreso wydawnicze.
6. Rock, N. M. (2006). Algebra I jest łatwa! Tak łatwo. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra i trygonometria. Pearson Education.