Skala trójkąta, formuła i obszary, obliczenia



A trójkąt skalenny Jest to trójstronny wielokąt, w którym każdy ma inne wymiary lub długości; z tego powodu nadano mu nazwę skalene, która po łacinie oznacza wspinanie się.

Trójkąty są wielokątami uważanymi za najprostsze w geometrii, ponieważ są uformowane z trzech boków, trzech kątów i trzech wierzchołków. W przypadku trójkąta skalennego, ponieważ ma on wszystkie różne strony, oznacza to, że jego trzy kąty będą również inne..

Indeks

  • 1 Charakterystyka trójkątów skalennych
    • 1.1 Komponenty
  • 2 Właściwości
    • 2.1 Kąty wewnętrzne
    • 2.2 Suma boków
    • 2.3 Niespójne boki
    • 2.4 Niezgodne kąty
    • 2.5 Wysokość, środkowa, dwusieczna i dwusieczna nie są zbieżne
    • 2.6 Orthocenter, barycenter, incenter i circumcenter nie są zbieżne
    • 2.7 Wysokości względne
  • 3 Jak obliczyć obwód?
  • 4 Jak obliczyć obszar?
  • 5 Jak obliczyć wysokość?
  • 6 Jak obliczyć boki?
  • 7 ćwiczeń
    • 7.1 Pierwsze ćwiczenie
    • 7.2 Drugie ćwiczenie
    • 7.3 Trzecie ćwiczenie
  • 8 Odniesienia

Charakterystyka trójkątów skalennych

Trójkąty skali są prostymi wielokątami, ponieważ żaden z ich boków ani kątów nie ma takiej samej miary, w przeciwieństwie do trójkątów równoramiennych i równobocznych.

Ponieważ wszystkie jego boki i kąty mają różne wymiary, trójkąty te są uważane za nieregularne wypukłe wielokąty.

W zależności od amplitudy kątów wewnętrznych trójkąty skalene są klasyfikowane jako:

  • Skaluj trójkąt prostokątny: wszystkie jego boki są różne. Jeden z jego kątów jest prosty (90o) a pozostałe są ostre i mają różne środki.
  • Skaluj trójkąt rozwarty kąt: wszystkie jego boki są różne, a jeden z jego kątów jest rozwarty (> 90o).
  • Skala trójkąta kątowego: wszystkie jego boki są różne. Wszystkie kąty są ostre (< 90o), z różnymi środkami.

Inną cechą trójkątów pochyłych jest to, że ze względu na niezgodność ich boków i kątów nie mają one osi symetrii.

Komponenty

Mediana: to linia, która wychodzi z punktu środkowego jednej strony i osiąga przeciwny wierzchołek. Trzy mediany zbiegają się w punkcie zwanym centroidem lub centroidem.

Dwusieczna: jest promieniem, który dzieli każdy kąt na dwa kąty równej wielkości. Dwusieczne trójkąta zgadzają się w punkcie zwanym incentro.

Pośredniczka: jest segmentem prostopadłym do boku trójkąta, który powstaje w środku tego. Istnieją trzy mediatycy w trójkącie i zbieżne w punkcie zwanym circumcenter.

Wysokość: jest linią biegnącą od wierzchołka do przeciwległej strony, a także ta linia jest prostopadła do tej strony. Wszystkie trójkąty mają trzy wysokości, które pokrywają się w punkcie zwanym ortocentrum.

Właściwości

Trójkąty skali są zdefiniowane lub zidentyfikowane, ponieważ mają kilka właściwości, które je reprezentują, pochodzące z twierdzeń zaproponowanych przez wielkich matematyków. Są to:

Kąty wewnętrzne

Suma kątów wewnętrznych jest zawsze równa 180o.

Suma boków

Suma miar dwóch boków musi być zawsze większa niż miara trzeciej strony, a + b> c.

Niespójne strony

Wszystkie strony trójkątów skalennych mają różne miary lub długości; to znaczy, że są niezgodne.

Niespójne kąty

Ponieważ wszystkie boki trójkąta skalenu są różne, ich kąty będą również inne. Jednak suma kątów wewnętrznych zawsze będzie równa 180º, aw niektórych przypadkach jeden z jej kątów może być rozwarty lub prosty, podczas gdy w innych wszystkie kąty będą ostre.

Wysokość, środkowa, dwusieczna i dwusieczna nie są zbieżne

Jak każdy trójkąt, skalen ma kilka segmentów linii prostych, które go tworzą, takich jak: wysokość, środkowa, dwusieczna i dwusieczna.

Ze względu na specyfikę jego boków, w tym typie trójkąta żadna z tych linii nie zbiegnie się w jednym.

Orthocenter, barycenter, incenter i circumcenter nie są zbieżne

Ponieważ wysokość, środkowa, dwusieczna i dwusieczna są reprezentowane przez różne segmenty linii prostych, w trójkącie skalinowym punkty spotkania - ortocentrum, centrocentrum, centrują i okrążają - znajdują się w różnych punktach (nie pokrywają się).

W zależności od tego, czy trójkąt jest ostry, prostokąt lub skalen, ortocentrum ma różne lokalizacje:

a. Jeśli trójkąt jest ostry, ortocentrum znajdzie się wewnątrz trójkąta.

b. Jeśli trójkąt jest prostokątem, ortocentrum zbiegnie się z wierzchołkiem prostej strony.

c. Jeśli trójkąt jest rozwarty, ortocentrum będzie na zewnątrz trójkąta.

Względne wysokości

Wysokości są względem boków.

W przypadku trójkąta skalenicznego wysokości te będą miały różne wymiary. Każdy trójkąt ma trzy wysokości względne i do ich obliczenia używana jest formuła Czapli.

Jak obliczyć obwód?

Obwód wielokąta jest obliczany na podstawie sumy boków.

Ponieważ w tym przypadku trójkąt skaleniczny ma wszystkie swoje boki z inną miarą, jego obwód będzie:

P = strona a + strona b + strona c.

Jak obliczyć obszar?

Obszar trójkątów jest zawsze obliczany przy użyciu tego samego wzoru, mnożąc podstawę przez wysokość i dzieląc przez dwa:

Powierzchnia = (podstawa * h) ÷ 2

W niektórych przypadkach wysokość trójkąta skalenu nie jest znana, ale jest matematyka, którą zaproponował matematyk Heron, aby obliczyć obszar znający pomiar trzech boków trójkąta.

Gdzie:

  • a, bi c, reprezentują boki trójkąta.
  • sp, odpowiada semiperimeterowi trójkąta, to znaczy połowie obwodu:

sp = (a + b + c) ÷ 2

W przypadku, gdy masz tylko pomiar dwóch boków trójkąta i utworzonego między nimi kąta, obszar można obliczyć stosując współczynniki trygonometryczne. Więc musisz:

Powierzchnia = (strona * h) ÷ 2

Gdzie wysokość (h) jest iloczynem jednej strony przez sinus przeciwnego kąta. Na przykład dla każdej strony obszar będzie:

  • Powierzchnia = (b * c * sen A) ÷ 2
  • Powierzchnia = (a * c * sen B) ÷ 2.
  • Powierzchnia = (a * b * sen C) ÷ 2

Jak obliczyć wysokość?

Ponieważ wszystkie boki trójkąta skalenu są różne, nie można obliczyć wysokości za pomocą twierdzenia Pitagorasa.

Z formuły Heron, która opiera się na pomiarach trzech boków trójkąta, można obliczyć obszar.

Wysokość można usunąć z ogólnej formuły obszaru:

Stronę zastępuje pomiar boku a, b lub c.

Innym sposobem obliczenia wysokości, gdy znana jest wartość jednego z kątów, jest zastosowanie współczynników trygonometrycznych, gdzie wysokość będzie reprezentować nogę trójkąta.

Na przykład, gdy znany jest przeciwny kąt do wysokości, zostanie określony przez sinus:

Jak obliczyć boki?

Kiedy masz miarę dwóch boków i kąt przeciwny do nich, możliwe jest określenie trzeciej strony przez zastosowanie twierdzenia cosinusów.

Na przykład w trójkącie AB wykreślona jest wysokość względem segmentu AC. W ten sposób trójkąt jest podzielony na dwa prawe trójkąty.

Aby obliczyć stronę c (segment AB), stosuje się twierdzenie Pitagorasa dla każdego trójkąta:

  • Dla niebieskiego trójkąta musisz:

c2 = h2 + m2

Jako m = b - n zastępuje się:

c2 = h2 + b2 (b - n)2

c2 = h2 + b2 - 2bn + n2.

  • Dla różowego trójkąta musisz:

h2 = a2 - n2

Zostało zastąpione w poprzednim równaniu:

c2 = a2 - n2 + b2 - 2bn + n2

c2 = a2 + b2 - 2 mld.

Wiedząc, że n = a * cos C zostaje zastąpione w poprzednim równaniu i uzyskuje się wartość strony c:

c2 = a2 + b2 - 2b* a * cos C.

Zgodnie z prawem kosinusów boki można obliczyć jako:

  • a2 = b2 + c2 - 2b* c * cos A.
  • b2 = a2 + c2 - 2a* c * bo B.
  • c2 = a2 + b2 - 2b* a * cos C.

Istnieją przypadki, w których pomiary boków trójkąta nie są znane, ale ich wysokość i kąty, które są utworzone w wierzchołkach. Aby określić obszar w tych przypadkach, konieczne jest zastosowanie współczynników trygonometrycznych.

Znając kąt jednego z jego wierzchołków, identyfikuje się nogi i stosuje się odpowiedni stosunek trygonometryczny:

Na przykład, katetus AB będzie przeciwny do kąta C, ale przylega do kąta A. W zależności od strony lub katetetu odpowiadającej wysokości, druga strona jest oczyszczana, aby uzyskać wartość tego.

Ćwiczenia

Pierwsze ćwiczenie

Oblicz pole i wysokość trójkąta skalowego ABC, wiedząc, że jego boki są:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

Rozwiązanie

Jako dane podano pomiary trzech boków trójkąta skalennego.

Ponieważ nie masz wartości wysokości, możesz określić obszar, stosując formułę Czapla.

Najpierw obliczany jest semiperimeter:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Teraz wartości w formule Heron zostają zastąpione:

Znając obszar można obliczyć względną wysokość na boku b. Z ogólnego wzoru, wyczyszczenie go, masz:

Powierzchnia = (strona * h) ÷ 2

46, 47 cm2 = (12 cm * h) ÷ 2

h = (2 * 46,47 cm2) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm2 ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Drugie ćwiczenie

Biorąc pod uwagę trójkąt skalujący ABC, którego miary to:

  • Segment AB = 25 m.
  • Segment BC = 15 m.

Przy wierzchołku B tworzy się kąt 50 °. Oblicz względną wysokość do boku c, obwodu i powierzchni tego trójkąta.

Rozwiązanie

W tym przypadku masz miary dwóch stron. Aby określić wysokość, konieczne jest obliczenie pomiaru trzeciej strony.

Ponieważ podano kąt przeciwny do danych boków, możliwe jest zastosowanie prawa cosinusów do określenia pomiaru strony AC (b):

b2 = a2 + c2 - 2a*c * bo B

Gdzie:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50o.

Dane są zastępowane:

b2 = (15)2 + (25)2 - 2*(15)*(25) * cos 50

b2 = (225) + (625) - (750) * 0,6427

b2 = (225) + (625) - (482,025)

b2 = 367 985

b = 7,9367,985

b = 19,18 m.

Ponieważ masz już wartość trzech boków, oblicz obwód tego trójkąta:

P = strona a + strona b + strona c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Teraz możliwe jest określenie obszaru za pomocą formuły czapli, ale najpierw należy obliczyć semiperimeter:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

Pomiary boków i semiperimetru zostały zastąpione w formule Herona:

Wreszcie, znając obszar, można obliczyć względną wysokość na boku c. Z ogólnego wzoru, wyczyszczenie go, musisz:

Powierzchnia = (strona * h) ÷ 2

143,63 m2 = (25 m * h) ÷ 2

h = (2 * 143,63 m2) ÷ 25 m

h = 287,3 m2 ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Trzecie ćwiczenie

W trójkącie skalinowym ABC bok b mierzy 40 cm, bok c mierzy 22 cm, aw wierzchołku A powstaje kąt 90o. Oblicz pole tego trójkąta.

Rozwiązanie

W tym przypadku podane są pomiary dwóch boków trójkąta skalowego ABC, jak również kąt, który jest utworzony w wierzchołku A.

Aby określić obszar, nie jest konieczne obliczanie miary boku a, ponieważ przez współczynniki trygonometryczne kąt jest używany do jego znalezienia.

Ponieważ znany jest przeciwny kąt do wysokości, będzie to określone przez produkt po jednej stronie i sinus kąta.

Zastępując w formule obszaru musisz:

  • Powierzchnia = (strona * h) ÷ 2
  • h = c * sen A

Powierzchnia = (b * c * sen A) ÷ 2

Powierzchnia = (40 cm * 22 cm * sen 90) ÷ 2

Powierzchnia = (40 cm * 22 cm * 1) ÷ 2

Powierzchnia = 880 cm2 ÷ 2

Powierzchnia = 440 cm2.

Referencje

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Rysunek techniczny: notatnik aktywności.
  2. Ángel Ruiz, H. B. (2006). Geometrie Technologia CR, .
  3. Angel, A. R. (2007). Algebra elementarna Pearson Education,.
  4. Baldor, A. (1941). Algebra Hawana: Kultura.
  5. Barbosa, J. L. (2006). Płaska geometria euklidesowa. Rio de Janeiro,.
  6. Coxeter, H. (1971). Podstawy geometrii Meksyk: Limusa-Wiley.
  7. Daniel C. Alexander, G. M. (2014). Podstawowa geometria dla studentów. Nauka Cengage.
  8. Harpe, P. d. (2000). Tematy w teorii grup geometrycznych. University of Chicago Press.