Skład transformacji izometrycznych, typy i przykłady



The Transformacje izometryczne są to zmiany pozycji lub orientacji pewnej figury, które nie zmieniają ani formy, ani rozmiaru. Transformacje te dzielą się na trzy typy: translacja, rotacja i odbicie (izometria). Ogólnie rzecz biorąc, przekształcenia geometryczne umożliwiają tworzenie nowej postaci z innej danej.

Transformacja w figurę geometryczną oznacza, że ​​w jakiś sposób została ona poddana pewnym zmianom; to znaczy, że zostało zmienione. Zgodnie z sensem oryginału i tym podobnym w płaszczyźnie, przekształcenia geometryczne można podzielić na trzy typy: izometryczny, izomorficzny i anamorficzny..

Indeks

  • 1 Charakterystyka
  • 2 typy
    • 2.1 Przez tłumaczenie
    • 2.2 Obrót
    • 2.3 Przez odbicie lub symetrię
  • 3 Skład
    • 3.1 Skład tłumaczenia
    • 3.2 Skład obrotu
    • 3.3 Skład symetrii
  • 4 odniesienia

Funkcje

Przekształcenia izometryczne zachodzą, gdy wielkości segmentów i kąty między postacią oryginalną a transformowaną są zachowane.

W tego typu transformacji ani kształt, ani wielkość figury nie są zmieniane (są przystające), jest to tylko zmiana położenia figury, albo w orientacji, albo w kierunku. W ten sposób początkowe i końcowe liczby będą podobne i geometrycznie przystające.

Izometria odnosi się do równości; to znaczy, że figury geometryczne będą izometryczne, jeśli mają ten sam kształt i rozmiar.

W transformacjach izometrycznych jedyną rzeczą, którą można zaobserwować, jest zmiana położenia w płaszczyźnie, występuje sztywny ruch, dzięki któremu figura przechodzi z pozycji początkowej do pozycji końcowej. Ta liczba nazywa się homologiczna (podobna) oryginału.

Istnieją trzy rodzaje ruchów, które klasyfikują transformację izometryczną: translacja, obrót i odbicie lub symetria.

Typy

Przez tłumaczenie

Czy te izometrie pozwalają poruszać się po linii prostej we wszystkich punktach płaszczyzny w danym kierunku i odległości.

Kiedy figura jest przekształcana przez translację, nie zmienia swojej orientacji w stosunku do pozycji początkowej, ani nie traci wewnętrznych miar, miar kątów i boków. Ten typ przemieszczenia jest zdefiniowany przez trzy parametry:

- Adres, który może być poziomy, pionowy lub ukośny.

- Sens, który może być w lewo, w prawo, w górę lub w dół.

- Odległość lub wielkość, która jest długością od początkowej pozycji do końca dowolnego punktu, który się porusza.

Aby transformacja izometryczna przez tłumaczenie została spełniona, musi spełniać następujące warunki:

- Figura musi zawsze zachowywać wszystkie swoje wymiary, zarówno liniowe, jak i kątowe.

- Liczba nie zmienia swojej pozycji względem osi poziomej; to znaczy, że jego kąt nigdy się nie zmienia.

- Tłumaczenia zawsze będą podsumowywane w jednym, niezależnie od liczby wykonanych tłumaczeń.

W płaszczyźnie, w której środek jest punktem O, ze współrzędnymi (0,0), translacja jest definiowana przez wektor T (a, b), który wskazuje przemieszczenie punktu początkowego. To jest:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Na przykład, jeśli translacja T (-4, 7) zostanie zastosowana do punktu współrzędnych P (8, -2), uzyskamy:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '[(8 + (-4)), ((-2) + 7)] = P' (4, 5)

Na poniższym zdjęciu (po lewej) widać, jak punkt C przesuwał się, aby pokryć się z punktem D. Robił to w kierunku pionowym, kierunek był w górę, a odległość CD lub odległość wynosiła 8 metrów. Na prawym zdjęciu obserwuje się tłumaczenie trójkąta:

Przez obrót

Są to te izometrie, które pozwalają figurze obracać wszystkie punkty płaszczyzny. Każdy punkt obraca się po łuku o stałym kącie i określonym punkcie stałym (środku obrotu).

Oznacza to, że cały obrót zostanie określony przez jego środek obrotu i kąt obrotu. Kiedy figura jest przekształcana przez obrót, zachowuje miarę kątów i boków.

Obrót następuje w pewnym kierunku, jest dodatni, gdy obrót jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara (w przeciwieństwie do tego, jak obracają się ręce zegara) i ujemny, gdy jego obrót jest zgodny z ruchem wskazówek zegara.

Jeśli punkt (x, y) jest obrócony względem początku - to znaczy jego środek obrotu wynosi (0,0) -, pod kątem 90o do 360o Współrzędne punktów będą:

W przypadku, gdy obrót nie ma środka w punkcie początkowym, początek układu współrzędnych musi zostać przeniesiony do nowego podanego początku, aby móc obrócić figurę mającą jako środek pochodzenie.

Na przykład, jeśli punkt P (-5.2) ma obrót o 90o, wokół początku iw pozytywnym sensie jego nowe współrzędne będą (-2,5).

Przez odbicie lub symetrię

Są to transformacje, które odwracają punkty i figury samolotu. Ta inwestycja może dotyczyć punktu lub może dotyczyć linii prostej.

Innymi słowy, w tym typie transformacji każdy punkt oryginalnej figury jest powiązany z innym punktem (obrazem) figury homologicznej, w taki sposób, że punkt i jego obraz znajdują się w tej samej odległości od linii zwanej osią symetrii..

Tak więc lewa część figury będzie odbiciem prawej części, bez zmiany jej kształtu lub wymiarów. Symetria przekształca jedną postać w drugą, choć w przeciwnym kierunku, jak widać na poniższym obrazie:

Symetria występuje w wielu aspektach, jak w niektórych roślinach (słoneczniki), zwierzętach (pawie) i zjawiskach naturalnych (płatki śniegu). Człowiek odbija to na jego twarzy, która jest uważana za czynnik piękna. Odbicie lub symetria mogą być dwojakiego rodzaju:

Centralna symetria

To właśnie ta transformacja zachodzi w odniesieniu do punktu, w którym figura może zmienić swoją orientację. Każdy punkt oryginalnej figury i jej obraz znajdują się w tej samej odległości od punktu O, zwanego środkiem symetrii. Symetria jest kluczowa, gdy:

- Zarówno punkt, jak i jego obraz i środek należą do tej samej linii.

- Z rotacją 180o centrum O otrzymujesz liczbę równą oryginałowi.

- Pociągnięcia początkowej figury są równoległe do pociągnięć uformowanej figury.

- Sens figury nie zmienia się, zawsze będzie zgodny z ruchem wskazówek zegara.

Ta transformacja zachodzi w odniesieniu do osi symetrii, gdzie każdy punkt początkowej figury jest powiązany z innym punktem obrazu i znajdują się w tej samej odległości od osi symetrii. Symetria jest osiowa, gdy:

- Segment łączący punkt z jego obrazem jest prostopadły do ​​jego osi symetrii.

- Liczby zmieniają kierunek w stosunku do obrotu lub zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

- Podczas dzielenia figury linią środkową (osią symetrii) jedna z powstałych połówek całkowicie pasuje do innej z połówek.

Skład

Kompozycja transformacji izometrycznych odnosi się do kolejnego zastosowania transformacji izometrycznych na tej samej figurze.

Skład tłumaczenia

Skład dwóch tłumaczeń skutkuje kolejnym tłumaczeniem. Po wykonaniu na płaszczyźnie na osi poziomej (x) zmieniają się tylko współrzędne tej osi, a współrzędne osi pionowej (y) pozostają takie same i odwrotnie.

Skład obrotu

Kompozycja dwóch zwojów z tym samym środkiem skutkuje kolejnym zakrętem, który ma to samo centrum i którego amplituda będzie sumą amplitud dwóch obrotów.

Jeśli środek zwojów ma inny środek, nacięcie dwusiecznej dwóch segmentów podobnych punktów będzie środkiem obrotu.

Skład symetrii

W takim przypadku skład będzie zależał od sposobu jego zastosowania:

- Jeśli ta sama symetria zostanie zastosowana dwukrotnie, wynikiem będzie tożsamość.

- Jeśli zastosowane zostaną dwie symetrie względem dwóch równoległych osi, wynikiem będzie translacja, a jej przemieszczenie jest dwa razy większe niż odległość tych osi:

- Jeśli dwie symetrie są stosowane w odniesieniu do dwóch osi, które są cięte w punkcie O (środek), uzyskany zostanie obrót ze środkiem w punkcie O, a jego kąt będzie dwa razy większy od kąta utworzonego przez osie:

Referencje

  1. V Burgués, J. F. (1988). Materiały do ​​budowy geometrii. Madryt: Synteza.
  2. Cesar Calavera, I. J. (2013). Rysunek techniczny II. Paraninfo S.A: Ediciones de la Torre.
  3. Coxeter, H. (1971). Podstawy geometrii Meksyk: Limusa-Wiley.
  4. Coxford, A. (1971). Geometria Podejście do transformacji. USA: Laidlaw Brothers.
  5. Liliana Siñeriz, R. S. (2005). Indukcja i formalizacja w nauczaniu sztywnych przemian w środowisku CABRI.
  6. , P. J. (1996). Grupa izometrii płaszczyzny. Madryt: Synteza.
  7. Suárez, A. C. (2010). Transformacje w samolocie. Gurabo, Puerto Rico: AMCT .