Przekształcono definicję Laplace'a, historię, do czego służy, właściwości



The przekształcony z Laplace'a w ostatnich latach ma duże znaczenie w badaniach inżynierii, matematyki, fizyki, wśród innych dziedzin naukowych, a także jest przedmiotem dużego zainteresowania teoretycznego, zapewnia prosty sposób rozwiązywania problemów, które pochodzą z nauki i inżynierii.

Pierwotnie transformata Laplace'a została przedstawiona przez Pierre-Simona Laplace'a w jego studium teorii prawdopodobieństwa i początkowo była traktowana jako obiekt matematyczny o interesie teoretycznym.

Obecne zastosowania powstają, gdy różni matematycy próbowali nadać formalne uzasadnienie „zasadom operacyjnym” stosowanym przez Heaviside'a w badaniu równań teorii elektromagnetycznej.

Indeks

  • 1 Definicja
    • 1.1 Przykłady
    • 1.2 Twierdzenie (Warunki wystarczające do istnienia)
    • 1.3 Transformacja Laplace'a niektórych podstawowych funkcji
  • 2 Historia
    • 2.1 1782, Laplace
    • 2.2 Oliver Heaviside
  • 3 Właściwości
    • 3.1 Liniowość
    • 3.2 Pierwsze twierdzenie tłumaczenia
    • 3.3 Drugie twierdzenie o tłumaczeniu
    • 3.4 Zmiana skali
    • 3.5 ransformacja Laplace'a pochodnych
    • 3.6 Transformacja Laplace'a całek
    • 3.7 Mnożenie przez tn
    • 3.8 Podział według t
    • 3.9 Funkcje okresowe
    • 3.10 Zachowanie F (s), gdy s dąży do nieskończoności
  • 4 Transformacje odwrotne
    • 4.1 Ćwiczenie
  • 5 Zastosowania transformaty Laplace'a
    • 5.1 Równania różniczkowe
    • 5.2 Systemy równań różniczkowych
    • 5.3 Mechanika i obwody elektryczne
  • 6 referencji

Definicja

Niech f będzie funkcją zdefiniowaną dla t ≥ 0. Transformata Laplace'a jest zdefiniowana następująco:

Mówi się, że transformata Laplace'a istnieje, jeśli poprzednia całka zbiega się, w przeciwnym razie mówi się, że transformata Laplace'a nie istnieje.

Ogólnie, aby oznaczyć funkcję, którą chce się przekształcić, używane są małe litery, a wielka litera odpowiada jej transformacji. W ten sposób będziemy mieć:

Przykłady

Rozważmy funkcję stałą f (t) = 1. Mamy jej transformację:

Zawsze, gdy całka się zbiega, zawsze jest to przewidziane, że s> 0. W przeciwnym razie s < 0, la integral diverge.

Niech g (t) = t. Twoja transformata Laplace'a jest podana przez

Poprzez integrację przez części i wiedząc, że ty-ul ma tendencję do 0, gdy t ma tendencję do nieskończoności i s> 0, razem z poprzednim przykładem mamy:

Transformacja może, ale nie musi istnieć, na przykład dla funkcji f (t) = 1 / t całka definiująca jej transformatę Laplace'a nie zbiega się i dlatego jej transformacja nie istnieje.

Wystarczające warunki do zapewnienia, że ​​transformata Laplace'a funkcji f istnieje, jest to, że f jest ciągły w częściach dla t ≥ 0 i ma wykładniczy porządek.

Mówi się, że funkcja jest ciągła w częściach dla t ≥ 0, gdy dla dowolnego przedziału [a, b] z> 0, istnieje skończona liczba punktów tk, gdzie f ma nieciągłości i jest ciągły w każdym podprzedziale [tk-1,tk].

Z drugiej strony mówi się, że funkcja ma wykładniczy porządek c, jeśli istnieją rzeczywiste stałe M> 0, c i T> 0 takie, że:

Jako przykłady podajemy, że f (t) = t2 ma porządek wykładniczy, ponieważ | t2| < e3t dla wszystkich t> 0.

W formalny sposób mamy następujące twierdzenie

Twierdzenie (Wystarczające warunki do istnienia)

Jeśli f jest funkcją ciągłą na część dla t> 0 i porządku wykładniczego c, to jest transformata Laplace'a dla s> c.

Ważne jest podkreślenie, że jest to warunek wystarczalności, to znaczy może być tak, że istnieje funkcja, która nie spełnia tych warunków i nawet wtedy istnieje transformata Laplace'a.

Przykładem tego jest funkcja f (t) = t-1/2 to nie jest ciągłe w częściach dla t ≥ 0, ale istnieje transformata Laplace'a.

Transformata Laplace'a niektórych podstawowych funkcji

Poniższa tabela pokazuje przekształcenia Laplace'a najczęściej występujących funkcji.

Historia

Transformacja Laplace'a zawdzięcza swoją nazwę Pierre-Simon Laplace, matematykowi i francuskiemu astronomowi teoretycznemu, który urodził się w 1749 r. I zmarł w 1827 r. Jego sława była taka, że ​​był znany jako Newton we Francji.

W 1744 r. Leonard Euler poświęcił swoje badania całkom z formą

jako rozwiązania równań różniczkowych zwyczajnych, ale szybko porzuciły to badanie. Później Joseph Louis Lagrange, który bardzo podziwiał Eulera, również badał ten typ całek i powiązał je z teorią prawdopodobieństwa.

1782, Laplace

W roku 1782 Laplace zaczął badać te całki jako rozwiązania równań różniczkowych i według historyków, w 1785 roku postanowił przeformułować problem, który później dał początek przekształceniom Laplace'a, tak jak są one dziś rozumiane.

Po wprowadzeniu w teorię prawdopodobieństwa było mało interesujące dla ówczesnych naukowców i było postrzegane jedynie jako obiekt matematyczny o znaczeniu teoretycznym.

Oliver Heaviside

W połowie XIX wieku angielski inżynier Oliver Heaviside odkrył, że operatory różnicowe mogą być traktowane jako zmienne algebraiczne, dając tym samym nowoczesne zastosowanie transformatom Laplace'a.

Oliver Heaviside był angielskim fizykiem, elektrykiem i matematykiem, urodzonym w 1850 r. W Londynie i zmarłym w 1925 r. Próbując rozwiązać problemy równań różniczkowych stosowanych w teorii drgań i wykorzystując badania Laplace'a, zaczął kształtować nowoczesne zastosowania przekształceń Laplace'a.

Wyniki prezentowane przez Heaviside szybko rozprzestrzeniły się w społeczności naukowej tamtych czasów, ale ponieważ jego praca nie była rygorystyczna, szybko została skrytykowana przez bardziej tradycyjnych matematyków.

Jednak przydatność pracy Heaviside'a w rozwiązywaniu równań fizyki spowodowała, że ​​jego metody stały się popularne wśród fizyków i inżynierów.

Pomimo tych niepowodzeń i po kilku dekadach nieudanych prób, na początku XX wieku można było podać rygorystyczne uzasadnienie zasad operacyjnych podanych przez Heaviside'a..

Próby te opłaciły się dzięki wysiłkom różnych matematyków, takich jak m.in. Bromwich, Carson, van der Pol..

Właściwości

Wśród właściwości transformaty Laplace'a wyróżniają się:

Liniowość

Niech c1 i c2 będą stałymi, a funkcje f (t) i g (t), których przekształcenia Laplace'a to odpowiednio F (s) i G (s), to musimy:

Ze względu na tę właściwość mówi się, że transformata Laplace'a jest operatorem liniowym.

Przykład

Pierwsze twierdzenie tłumaczenia

Jeśli tak się stanie:

A „a” to dowolna liczba rzeczywista, a następnie:

Przykład

Jako transformata Laplace'a cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) następnie:

Drugie twierdzenie tłumaczenia

Tak

Potem

Przykład

Jeśli f (t) = t ^ 3, to F (s) = 6 / s ^ 4. A zatem transformacja

wynosi G (s) = 6e-2s/ s ^ 4

Zmiana skali

Tak

A „a” jest niezerową rzeczywistością, musimy

Przykład

Ponieważ transformacja f (t) = sin (t) wynosi F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), musi być

ransformacja Laplace'a pochodnych

Jeśli f, f ', f ”, ..., f(n) są ciągłe dla t ≥ 0 i mają wykładniczy porządek f(n)(t) jest ciągły w częściach dla t ≥ 0, a następnie

Transformata Laplace'a całek

Tak

Potem

Mnożenie przez tn

Jeśli musimy

Potem

Podział według t

Jeśli musimy

Potem

Funkcje okresowe

Niech f będzie funkcją okresową z okresem T> 0, to znaczy f (t + T) = f (t)

Zachowanie F (s), gdy s dąży do nieskończoności

Jeśli f jest ciągły w częściach i porządku wykładniczego i

Potem

Transformacje odwrotne

Kiedy zastosujemy transformatę Laplace'a do funkcji f (t), otrzymamy F (s), które reprezentują tę transformację. W ten sam sposób możemy powiedzieć, że f (t) jest odwrotną transformatą Laplace'a F (s) i jest zapisany jako

Wiemy, że przekształcenia Laplace'a f (t) = 1 i g (t) = t wynoszą F (s) = 1 / s oraz G (s) = 1 / s2 odpowiednio, dlatego musimy

Niektóre wspólne odwrotne transformaty Laplace'a są następujące

Ponadto odwrotna transformata Laplace'a jest liniowa, to znaczy jest spełniona

Ćwiczenie

Znajdź

Aby rozwiązać to ćwiczenie, musimy dopasować funkcję F (s) do jednej z poprzednich tabel. W tym przypadku, jeśli weźmiemy n + 1 = 5 i użyjemy właściwości liniowości odwrotnej transformacji, pomnożymy i podzielimy przez 4! Pierwsze

Dla drugiej transformacji odwrotnej stosujemy częściowe ułamki, aby przepisać funkcję F (s), a następnie właściwość liniowości, uzyskując

Jak widzimy na tych przykładach, powszechne jest, że oceniana funkcja F (s) nie zgadza się dokładnie z żadną z funkcji podanych w tabeli. W takich przypadkach, tak jak jest to obserwowane, wystarczy przepisać funkcję, aż osiągnie odpowiednią formę.

Zastosowania transformaty Laplace'a

Równania różniczkowe

Głównym zastosowaniem przekształceń Laplace'a jest rozwiązywanie równań różniczkowych.

Wykorzystując właściwość transformacji pochodnej jest jasne, że

A z pochodnych n-1 ocenianych w t = 0.

Ta właściwość sprawia, że ​​transformacja jest bardzo przydatna do rozwiązywania problemów z wartościami początkowymi, w których biorą udział równania różniczkowe o stałych współczynnikach.

Poniższe przykłady pokazują, jak użyć transformaty Laplace'a do rozwiązywania równań różniczkowych.

Przykład 1

Biorąc pod uwagę następujący problem z wartością początkową

Użyj transformaty Laplace'a, aby znaleźć rozwiązanie.

Stosujemy transformatę Laplace'a do każdego elementu równania różniczkowego

Posiadamy własność transformacji pochodnej

Rozwijając całą ekspresję i oczyszczenie I (s) zostaliśmy

Użycie częściowych frakcji do przepisania prawej strony otrzymanego równania

Ostatecznie naszym celem jest znalezienie funkcji y (t), która spełnia równanie różniczkowe. Użycie odwrotnej transformacji Laplace'a daje nam wynik

Przykład 2

Rozwiąż

Tak jak w poprzednim przypadku, stosujemy transformację po obu stronach równania i oddzielny termin po terminie.

W ten sposób mamy w rezultacie

Zastępowanie danymi wartościami początkowymi i usuwanie Y (s)

Używając prostych frakcji, możemy przepisać równanie w następujący sposób

I zastosowanie wyniku odwrotnej transformacji Laplace'a daje nam wynik

W tych przykładach można dojść do błędnego wniosku, że ta metoda nie jest dużo lepsza niż tradycyjne metody rozwiązywania równań różniczkowych.

Zalety oferowane przez transformatę Laplace'a polegają na tym, że nie ma potrzeby stosowania zmienności parametrów ani martwienia się o różne przypadki metody współczynnika nieokreślonego.

Oprócz rozwiązywania problemów z wartością początkową za pomocą tej metody, od początku używamy warunków początkowych, więc nie jest konieczne wykonywanie innych obliczeń, aby znaleźć konkretne rozwiązanie.

Układy równań różniczkowych

Transformata Laplace'a może być również wykorzystana do znalezienia rozwiązań równoczesnych równań różniczkowych zwyczajnych, jak pokazuje poniższy przykład.

Przykład

Rozwiąż

Przy warunkach początkowych x (0) = 8 ei (0) = 3.

Jeśli musimy

Potem

Rozwiązywanie problemów w nas

A stosując transformatę odwrotną Laplace'a, mamy

Mechanika i obwody elektryczne

Transformacja Laplace'a ma ogromne znaczenie w fizyce, ma głównie zastosowania w obwodach mechanicznych i elektrycznych.

Prosty obwód elektryczny składa się z następujących elementów

Przełącznik, bateria lub źródło, cewka indukcyjna, rezystor i kondensator. Gdy przełącznik jest zamknięty, wytwarzany jest prąd elektryczny oznaczony przez i (t). Ładunek kondensatora jest oznaczony przez q (t).

Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa napięcie wytwarzane przez źródło E w obwodzie zamkniętym musi być równe sumie każdego z spadków napięcia.

Prąd elektryczny i (t) jest związany z ładunkiem q (t) w kondensatorze przez i = dq / dt. Z drugiej strony spadek napięcia jest zdefiniowany w każdym z elementów w następujący sposób:

Spadek napięcia w rezystorze wynosi iR = R (dq / dt)

Spadek napięcia na cewce indukcyjnej wynosi L (di / dt) = L (d2q / dt2)

Spadek napięcia na kondensatorze to q / C

Dzięki tym danym i zastosowaniu drugiego prawa Kirchhoffa do zamkniętego obwodu prostego uzyskuje się równanie różniczkowe drugiego rzędu, które opisuje system i pozwala określić wartość q (t).

Przykład

Cewka indukcyjna, kondensator i rezystor są podłączone do akumulatora E, jak pokazano na rysunku. Induktor ma 2 henary, kondensator 0,02 farady i rezystancję 16 onhm. W czasie t = 0 obwód jest zamknięty. Znajdź obciążenie i prąd w dowolnym momencie t> 0, jeśli E = 300 woltów.

Mamy równanie różniczkowe opisujące ten obwód w następujący sposób

Gdzie warunki początkowe to q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Stosując transformatę Laplace'a, otrzymujemy to

I wyczyszczenie Q (t)

Następnie, stosując odwrotną transformatę Laplace'a, mamy

Referencje

  1. G. Holbrook, J. (1987). Transformacja Laplace'a dla inżynierów elektroników. Wapno.
  2. Ruiz, L. M. i Hernandez, M. P. (2006). Równania różniczkowe i transformata Laplace'a z aplikacjami. Redakcja UPV.
  3. Simmons, G. F. (1993). Równania różniczkowe z aplikacjami i notatkami historycznymi. McGraw-Hill.
  4. Spiegel, M. R. (1991). Transformacje Laplace'a. McGraw-Hill.
  5. Zill, D. G. i Cullen, M. R. (2008). Równania różniczkowe z problemami wartości na granicy. Cengage Learning Editores, S.A..