Twierdzenie Moivre'a o tym, co składa się na demonstrację i rozwiązane ćwiczenia

The Twierdzenie Moivre'a stosuje podstawowe procesy algebry, takie jak moce i wydobywanie korzeni w liczbach zespolonych. Twierdzenie zostało wypowiedziane przez znanego francuskiego matematyka Abrahama de Moivre'a (1730), który powiązał liczby zespolone z trygonometrią.

Abraham Moivre dokonał tego skojarzenia poprzez ekspresję piersi i cosinusa. Ten matematyk wygenerował rodzaj formuły, dzięki której możliwe jest podniesienie liczby zespolonej z do potęgi n, która jest liczbą całkowitą dodatnią większą lub równą 1.

Indeks

• 1 Co to jest twierdzenie Moivre'a??
• 2 Demonstracja
  • 2.1 Podstawa indukcyjna
  • 2.2 Hipoteza indukcyjna
  • 2.3 Sprawdzanie
  • 2.4 Negatywna liczba całkowita
• 3 rozwiązane ćwiczenia
  • 3.1 Obliczanie uprawnień pozytywnych
  • 3.2 Obliczanie mocy ujemnych
• 4 odniesienia

Jakie jest twierdzenie Moivre'a??

Twierdzenie Moivre'a brzmi następująco:

Jeśli masz liczbę zespoloną w postaci biegunowej z = r_Ɵ, gdzie r jest modułem liczby zespolonej z, a kąt Ɵ nazywany jest amplitudą lub argumentem dowolnej liczby zespolonej z 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, aby obliczyć jej n-tą moc nie będzie konieczne mnożenie jej przez n-razy; to znaczy, nie ma potrzeby tworzenia następującego produktu:

Zⁿ = z _* z _* z_{* ... *} z = r_{Ɵ *} r_{Ɵ *} r_{Ɵ * ... *} r_Ɵ   n-razy.

Przeciwnie, twierdzenie mówi, że pisząc z w swojej trygonometrycznej formie, aby obliczyć n-tą moc, postępujemy następująco:

Jeśli z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) następnie zⁿ = rⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Na przykład, jeśli n = 2, to z² = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)]. Jeśli masz to n = 3, to z³ = z² _* z. Ponadto:

z³ = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] = r³[cos 3 (Ɵ) + i sin 3 (Ɵ)].

W ten sposób można uzyskać stosunki trygonometryczne sinusów i cosinusów dla wielokrotności kąta, o ile znane są stosunki trygonometryczne kąta..

W ten sam sposób może być użyty do znalezienia bardziej precyzyjnych i mniej mylących wyrażeń dla n-tego korzenia liczby zespolonej z, tak że zⁿ = 1.

Aby zademonstrować twierdzenie Moivre'a, stosuje się zasadę indukcji matematycznej: jeśli liczba całkowita „a” ma właściwość „P” i jeśli dla dowolnej liczby całkowitej „n” jest większa niż „a”, która ma właściwość „P”, to jest spełnia, że ​​n + 1 ma również właściwość „P”, wtedy wszystkie liczby całkowite większe lub równe „a” mają właściwość „P”.

Demonstracja

W ten sposób dowód twierdzenia jest wykonywany w następujących krokach:

Podstawa indukcyjna

Najpierw sprawdź n = 1.

Jak z¹ = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))¹ = r¹ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* Ɵ) + i _* sen (1_* Ɵ)], mamy, że dla n = 1 twierdzenie jest spełnione.

Hipoteza indukcyjna

Zakłada się, że formuła jest prawdziwa dla pewnej dodatniej liczby całkowitej, to znaczy n = k.

z^k = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^k  = r^k (cos k Ɵ + i _* sen k Ɵ).

Sprawdzanie

Okazało się, że jest prawdziwe dla n = k + 1.

Jak z^{k + 1}= z^k _* z, następnie z^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^{k + 1} = r^k (cos kƟ + i _* sen kƟ) _*  r (cos Ɵ + i_* senƟ).

Następnie wyrażenia mnożą się:

z^{k + 1} = r^{k + 1}((cos kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(i_*senƟ) + (i _* sen kƟ)_*(cosƟ) + (i _* sen kƟ)_*(i_* senƟ)).

Przez chwilę współczynnik r jest ignorowany^{k + 1},  a wspólny czynnik i zostaje usunięty:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) + i²(sen kƟ)_*(senƟ).

Jak ja² = -1, zastępujemy go w wyrażeniu i otrzymujemy:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(senƟ).

Teraz część rzeczywista i część urojona są uporządkowane:

(cos kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(sinƟ) + i [(sen kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(senƟ)].

Aby uprościć wyrażenie, stosowane są trygonometryczne tożsamości sumy kątów dla cosinusu i sinusa:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sen A _* sen B.

sen (A + B) = grzech A _* cos B - cos A _* bo B.

W tym przypadku zmiennymi są kąty Ɵ i kƟ. Stosując tożsamości trygonometryczne, mamy:

cos kƟ _* cosƟ -  sen kƟ _* senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sen kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* senƟ = sen (kƟ + Ɵ)

W ten sposób pozostaje wyrażenie:

z^{k + 1} = r^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sen (kƟ + Ɵ))

z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos [(k + 1) Ɵ] + i _* sen [(k +1) Ɵ]).

W ten sposób można wykazać, że wynik jest prawdziwy dla n = k + 1. Zgodnie z zasadą indukcji matematycznej stwierdza się, że wynik jest prawdziwy dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych; to znaczy n ≥ 1.

Liczba całkowita ujemna

Twierdzenie Moivre'a jest również stosowane, gdy n ≤ 0. Rozważmy ujemną liczbę całkowitą „n”; wtedy „n” można zapisać jako „-m”, to znaczy n = -m, gdzie „m” jest dodatnią liczbą całkowitą. Dlatego:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^-m

Aby uzyskać wykładnik „m” w pozytywny sposób, wyrażenie jest napisane odwrotnie:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sen mƟ)

Teraz używa się tego, że jeśli z = a + b * i jest liczbą zespoloną, to 1 ÷ z = a-b * i. Dlatego:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (mƟ) - i _* sen (mƟ).

Używając cos (x) = cos (-x) i że -sen (x) = sin (-x), musimy:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = [cos (mƟ) - i _* sen (mƟ)]

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sen (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (nƟ) - i _* sen (nƟ).

W ten sposób możemy powiedzieć, że twierdzenie dotyczy wszystkich wartości całkowitych „n”.

Rozwiązane ćwiczenia

Obliczanie pozytywnych mocy

Jedną z operacji z liczbami zespolonymi w formie polarnej jest mnożenie między nimi dwoma; w takim przypadku moduły są mnożone, a argumenty dodawane.

Jeśli masz dwie liczby zespolone z₁ i z₂ i chcesz obliczyć (z₁* z₂)², Następnie postępujemy w następujący sposób:

z₁z₂ = [r₁ (cos Ɵ₁ + i _* sen Ɵ₁)] * [r₂ (cos Ɵ₂ + i _* sen Ɵ₂)]

Stosowana jest właściwość dystrybucji:

z₁z₂ = r₁ r₂ (cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i _* cos Ɵ_{1 *} i _* sen Ɵ₂ + i _* sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i²_* sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂).

Są zgrupowane, przyjmując termin „i” jako wspólny czynnik wyrażeń:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂) + i²_* sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂]

Jak ja² = -1, zostaje zastąpione w wyrażeniu:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂) - sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂]

Prawdziwe terminy są przegrupowane z prawdziwymi i wyimaginowanymi z wyobrażeniami:

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ - sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂) + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂)]

Na koniec stosuje się właściwości trygonometryczne:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + Ɵ₂)].

Podsumowując:

(z₁* z₂)²= (r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + Ɵ₂)])²

= R₁²r₂²[cos 2 * (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen 2 * (Ɵ₁ + Ɵ₂)].

Ćwiczenie 1

Wpisz liczbę zespoloną w formie polarnej, jeśli z = - 2 -2i. Następnie, używając twierdzenia Moivre'a, obliczyć z⁴.

Rozwiązanie

Liczba zespolona z = -2 -2i jest wyrażona w postaci prostokątnej z = a + bi, gdzie:

a = -2.

b = -2.

Wiedząc, że forma polarna jest z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), musisz określić wartość modułu „r” i wartość argumentu „Ɵ”. Ponieważ r = √ (a² + b²), podane wartości są zastępowane:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Następnie, aby określić wartość „Ɵ”, stosuje się prostokątną formę tego wzoru, którą określa wzór:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Jako tan (Ɵ) = 1 i musisz<0, entonces se tiene que:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Ponieważ wartość „r” i „Ɵ” została już uzyskana, liczba zespolona z = -2 -2i może być wyrażona w formie polarnej przez podstawienie wartości:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4)).

Teraz twierdzenie Moivre'a służy do obliczenia z⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4))⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sen (5Π)).

Ćwiczenie 2

Znajdź produkt liczb zespolonych, wyrażając go w formie polarnej:

z1 = 4 (cos 50^o + i_* 50 sen^o)

z2 = 7 (cos 100^o + i_* 100 sen^o).

Następnie oblicz (z1 * z2) ².

Rozwiązanie

Najpierw tworzony jest produkt podanych liczb:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^o + i_* 50 sen^o)] * [7 (cos 100^o + i_* 100 sen^o)]

Następnie pomnóż moduły razem i dodaj argumenty:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [cos (50^o + 100^o) + i_* sen (50^o + 100^o)]

Wyrażenie jest uproszczone:

z₁ z₂ = 28 _* (cos 150^o + (i_* 150 sen^o).

Wreszcie stosuje się twierdzenie Moivre'a:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150^o + (i_* 150 sen^o)) ² = 784 (cos 300)^o + (i_* 300 sen^o)).

Obliczanie mocy ujemnych

Aby podzielić dwie liczby zespolone z₁ i z₂ w swojej formie polarnej moduł jest podzielony i argumenty są odejmowane. Zatem iloraz wynosi z₁ ÷ z₂ i jest to wyrażone w następujący sposób:

z₁ ÷ z₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ₁- Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ - Ɵ₂)]).

Podobnie jak w poprzednim przypadku, jeśli chcesz obliczyć (z1 ÷ z2) ³ najpierw dokonywany jest podział, a następnie stosowane jest twierdzenie Moivre'a.

Ćwiczenie 3

Biorąc pod uwagę:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

oblicz (z1 ÷ z2) ³.

Rozwiązanie

Postępując zgodnie z krokami opisanymi powyżej, można stwierdzić, że:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Referencje

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra i trygonometria z geometrią analityczną. Pearson Education.
2. Croucher, M. (s.f.). Z twierdzenia Moivre'a dla tożsamości Triga. Wolfram Demonstrations Project.
3. Hazewinkel, M. (2001). Encyklopedia matematyki.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algebra i trygonometria.
5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.
6. Stanley, G. (s.f.). Algebra liniowa Graw-Hill.
7. , M. (1997). Precalculus Pearson Education.