Dzielić:
Twierdzenie Thalesa z Miletu Pierwsze, drugie i przykłady
Pierwszy i drugi Twierdzenie Thalesa z Miletu opierają się na określaniu trójkątów z innych podobnych (pierwsze twierdzenie) lub obwodów (drugie twierdzenie). Były bardzo przydatne w różnych dziedzinach. Na przykład pierwsze twierdzenie okazało się bardzo przydatne przy pomiarze dużych struktur, gdy nie było skomplikowanych przyrządów pomiarowych.
Thales of Miletus był greckim matematykiem, który wniósł wielki wkład do geometrii, z której wyróżniają się te dwa twierdzenia (w niektórych tekstach piszą je również jako Thales) i ich użyteczne zastosowania. Wyniki te zostały wykorzystane w historii i pozwoliły rozwiązać wiele różnych problemów geometrycznych.
Indeks
- 1 pierwsze twierdzenie opowieści
- 1.1 Zastosowanie
- 1.2 Przykłady
- 2 Drugie twierdzenie Talesa
- 2.1 Aplikacja
- 2.2 Przykład
- 3 referencje
Pierwsze twierdzenie opowieści
Pierwsze twierdzenie Talesa jest bardzo przydatnym narzędziem, które między innymi pozwala zbudować trójkąt podobny do innego, wcześniej znanego. Stąd wywodzą się różne wersje twierdzenia, które można zastosować w wielu kontekstach.
Zanim podasz swoje zdanie, pamiętaj o pewnych podobieństwach trójkątów. Zasadniczo dwa trójkąty są podobne, jeśli ich kąty są przystające (mają tę samą miarę). To powoduje, że jeśli dwa trójkąty są podobne, odpowiadające im boki (lub homologi) są proporcjonalne.
Pierwsze twierdzenie Thalesa mówi, że jeśli w danym trójkącie linia prosta jest narysowana równolegle do dowolnego z jej boków, otrzymany nowy trójkąt będzie podobny do trójkąta początkowego.
Otrzymujesz również relację między uformowanymi kątami, jak widać na poniższym rysunku.
Aplikacja
Wśród wielu jego zastosowań wyróżnia się szczególny interes i ma do czynienia z jednym ze sposobów, w jaki dokonywano pomiarów dużych struktur w starożytności, czasu, w którym Thales żył i w których nowoczesne urządzenia pomiarowe nie były dostępne. istnieją teraz.
Mówi się, że tak właśnie udało się Thalesowi zmierzyć najwyższą piramidę w Egipcie, Cheopsa. W tym celu Thales przypuszczał, że odbicia promieni słonecznych dotknęły ziemi, tworząc równoległe linie. Przy takim założeniu wbił pionowo pręt lub laskę w ziemię.
Następnie użył podobieństwa dwóch powstałych trójkątów, jednego utworzonego przez długość cienia piramidy (który można łatwo obliczyć) i wysokości piramidy (nieznanej), a drugiej uformowanej przez długości cienia i wysokość pręta (którą można łatwo obliczyć).
Używając proporcjonalności między tymi długościami, możesz oczyścić i poznać wysokość piramidy.
Chociaż ta metoda pomiaru może dać znaczny błąd przybliżenia w odniesieniu do dokładności wysokości i zależy od równoległości promieni słonecznych (co z kolei zależy od dokładnego czasu), musimy uznać, że jest to bardzo pomysłowy pomysł i to stanowiło dobrą alternatywę pomiarową na czas.
Przykłady
Znajdź wartość xw każdym przypadku:
Rozwiązanie
Tutaj mamy dwie linie przecięte dwiema równoległymi liniami. Pierwsze twierdzenie Thalesa mówi, że ich odpowiednie boki są proporcjonalne. W szczególności:
Rozwiązanie
Mamy tutaj dwa trójkąty, z których jeden jest utworzony przez segment równoległy do jednego z boków drugiego (dokładnie boku długości x). Według pierwszego twierdzenia Tales musisz:
Drugie twierdzenie opowieści
Drugie twierdzenie Thalesa określa trójkąt prawy wpisany w obwód w każdym punkcie tego samego.
Trójkąt wpisany w obwód jest trójkątem, którego wierzchołki znajdują się na obwodzie, a więc są w nim zawarte.
W szczególności drugie twierdzenie Thalesa stwierdza, że: przy okręgu o środku O i średnicy AC, każdy punkt B obwodu (inny niż A i C) wyznacza trójkąt prostokątny ABC, z kątem prostym Tytułem uzasadnienia należy zauważyć, że zarówno OA, jak i OB i OC odpowiadają promieniowi obwodu; dlatego ich pomiary są takie same. Stąd uzyskuje się, że trójkąty OAB i OCB są równoramienne, gdzie Wiadomo, że suma kątów trójkąta jest równa 180º. Używając tego z trójkątem ABC musisz: 2b + 2a = 180º. Równoważnie mamy b + a = 90º i b + a = Zauważ, że trójkąt prawy dostarczony przez drugie twierdzenie Thalesa jest dokładnie tym, którego przeciwprostokątna jest równa średnicy obwodu. Dlatego jest całkowicie zdeterminowany przez półokrąg, który zawiera punkty trójkąta; w tym przypadku górny półkole. Zauważ również, że w trójkącie prawym uzyskanym za pomocą drugiego twierdzenia Thalesa przeciwprostokątna jest podzielona na dwie równe części przez OA i OC (promień). Z kolei miara ta jest równa OB segmentu (również promieniu), który odpowiada medianie trójkąta ABC przez B. Innymi słowy, długość mediany trójkąta prawego ABC odpowiadająca wierzchołkowi B jest całkowicie określona przez połowę przeciwprostokątnej. Przypomnij sobie, że mediana trójkąta jest segmentem od jednego z wierzchołków do środka strony przeciwnej; w tym przypadku segment BO. Innym sposobem na ujrzenie drugiego twierdzenia Thalesa jest okrąg opisany w trójkącie prawym. Ogólnie rzecz biorąc, okrąg otoczony wielokątem składa się z obwodu, który przechodzi przez każdy z jego wierzchołków, ilekroć jest to możliwe do prześledzenia. Korzystając z drugiego twierdzenia Thalesa, mając trójkąt prostokątny, zawsze możemy skonstruować obwód opisany poniżej, o promieniu równym połowie przeciwprostokątnej i obwodnicy (środek obwodu) równy środkowemu przeciwprostokątnemu. Bardzo ważnym zastosowaniem drugiego twierdzenia Talesa i być może najczęściej używanego, jest znalezienie linii stycznych do danego obwodu, przez punkt P na zewnątrz tego (znany). Zauważ, że przy danym obwodzie (narysowanym na niebiesko na rysunku poniżej) i zewnętrznym punkcie P, istnieją dwie linie styczne do obwodu, które przechodzą przez P. Niech T i T 'będą punktami styczności, r promieniem obwodu i Albo centrum. Wiadomo, że segment, który biegnie od środka okręgu do jego punktu styczności, jest prostopadły do tej linii stycznej. Następnie kąt OTP jest prosty. Z tego, co widzieliśmy wcześniej w pierwszym twierdzeniu Thalesa i jego różnych wersjach, widzimy, że możliwe jest wpisanie trójkąta OTP na innym obwodzie (na czerwono). Analogicznie uzyskuje się, że trójkąt OT'P może być wpisany w tym samym poprzednim obwodzie. Drugim twierdzeniem Talesa jest również to, że średnica tego nowego obwodu jest dokładnie przeciwprostokątną trójkąta OTP (która jest równa przeciwprostokątnej trójkąta OT'P), a środek jest punktem środkowym tej przeciwprostokątnej. Aby obliczyć środek nowego obwodu, wystarczy obliczyć punkt środkowy między środkiem - powiedzmy M - początkowego obwodu (który już znamy) i punktem P (który również znamy). Następnie promień będzie odległością między tym punktem M i P. Z promieniem i środkiem czerwonego okręgu możemy znaleźć jego równanie kartezjańskie, które pamiętamy jest podane przez (x-h)2 + (y-k)2 = c2, gdzie c jest promieniem, a punkt (h, k) jest środkiem okręgu. Znając teraz równania obu obwodów, możemy je przeciąć, rozwiązując układ równań utworzonych przez nie, a tym samym uzyskując punkty styczności T i T '. Na koniec, aby poznać pożądane linie styczne, wystarczy znaleźć równanie linii prostych przechodzących przez T i P oraz przez T 'i P. Rozważmy obwód średnicy AC, środka O i promienia 1 cm. Niech B będzie punktem na obwodzie takim, że AB = AC. Ile mierzy AB? Według drugiego twierdzenia Thalesa, trójkąt ABC jest prostokątem, a przeciwprostokątna odpowiada średnicy, która w tym przypadku wynosi 2 cm (promień wynosi 1 cm). Następnie za pomocą twierdzenia Pitagorasa musimy:
Obwód opisany
Aplikacja
Przykład
Rozwiązanie
Referencje