Heksagonalna definicja piramidy, charakterystyka i przykłady obliczeń



Jeden sześciokątna piramida jest wielościanem utworzonym przez sześciokąt, który jest podstawą, i sześć trójkątów, które zaczynają się od wierzchołków sześciokąta i zbiegają się w punkcie poza płaszczyzną zawierającą podstawę. W tym punkcie zbieżności jest znany jako wierzchołek lub wierzchołek piramidy.

Wielościan jest zamkniętym trójwymiarowym ciałem geometrycznym, którego twarze są płaskimi figurami. Sześciokąt jest zamkniętą płaską figurą (wielokątem) utworzoną przez sześć boków. Jeśli sześć boków ma taką samą długość i tworzą równe kąty, mówi się, że jest regularny; w przeciwnym razie jest nieregularny.

Indeks

  • 1 Definicja
  • 2 Charakterystyka
    • 2.1 Wklęsłe lub wypukłe
    • 2.2 Krawędzie
    • 2.3 Apotema
    • 2.4 Oznacza
  • 3 Jak obliczyć obszar? Wzory
    • 3.1 Obliczanie w nieregularnych sześciokątnych piramidach
  • 4 Jak obliczyć objętość? Wzory
    • 4.1 Obliczanie w nieregularnych sześciokątnych piramidach
  • 5 Przykład
    • 5.1 Rozwiązanie
  • 6 referencji

Definicja

Sześciokątna piramida zawiera siedem twarzy, podstawę i sześć bocznych trójkątów, z których podstawa jest jedyną, która nie dotyka wierzchołka.

Mówi się, że piramida jest prosta, jeśli wszystkie boczne trójkąty są równoramienne. W tym przypadku wysokość piramidy jest segmentem, który przechodzi od wierzchołka do środka sześciokąta.

Ogólnie rzecz biorąc, wysokość piramidy jest odległością między wierzchołkiem a płaszczyzną podstawy. Mówi się, że piramida jest ukośna, jeśli nie wszystkie boczne trójkąty są równoramienne.

Jeśli sześciokąt jest regularny i piramida jest również prosta, mówi się, że jest to regularna sześciokątna piramida. Podobnie, jeśli sześciokąt jest nieregularny lub piramida jest ukośna, mówi się, że jest to nieregularna sześciokątna piramida..

Funkcje

Wklęsłe lub wypukłe

Wielokąt jest wypukły, jeśli miara wszystkich kątów wewnętrznych jest mniejsza niż 180 stopni. Geometrycznie jest to równoznaczne z powiedzeniem, że biorąc pod uwagę parę punktów w obrębie wielokąta, segment linii, który je łączy, jest zawarty w wielokącie. W przeciwnym razie mówi się, że wielokąt jest wklęsły.

Jeśli sześciokąt jest wypukły, mówi się, że piramida jest sześciokątną wypukłą piramidą. W przeciwnym razie zostanie powiedziane, że jest to wklęsła sześciokątna piramida.

Krawędzie

Krawędzie piramidy to boki sześciu trójkątów, które ją tworzą.

Apotema

Apothem piramidy jest odległością między wierzchołkiem a bokami podstawy piramidy. Ta definicja ma sens tylko wtedy, gdy piramida jest regularna, ponieważ jeśli jest nieregularna, odległość ta zmienia się w zależności od rozpatrywanego trójkąta.

Natomiast w zwykłych piramidach apothem odpowiada wysokości każdego trójkąta (ponieważ każdy jest równoramienny) i będzie taki sam we wszystkich trójkątach.

Apothem podstawy stanowi odległość między jednym z boków podstawy a jej środkiem. Przy okazji jest to zdefiniowane, apothem bazy ma również sens tylko w regularnych piramidach.

Oznacza

Wysokość sześciokątnej piramidy zostanie oznaczona przez h, apothem bazy (w zwykłym przypadku) wg APb i apothem piramidy (także w zwykłym przypadku) według AP.

Cechą charakterystyczną regularnych piramid sześciokątnych jest to h, APb i AP tworzą trójkąt prostokątny przeciwprostokątnej AP i nogi h i APb. Według twierdzenia Pitagorasa musisz AP = √ (h^ 2 + APb ^ 2).

Poprzedni obraz przedstawia regularną piramidę.

Jak obliczyć obszar? Wzory

Rozważ regularną sześciokątną piramidę. Bądź dopasowany do każdej strony sześciokąta. Następnie A odpowiada miary podstawy każdego trójkąta piramidy, a zatem krawędzi podstawy.

Obszar wielokąta jest iloczynem obwodu (sumy boków) przez apothem podstawy, podzielony przez dwa. W przypadku sześciokąta będzie to 3 * A * APb.

Można zaobserwować, że obszar regularnej sześciokątnej piramidy jest równy sześciokrotności powierzchni każdego trójkąta piramidy plus obszar podstawy. Jak wcześniej wspomniano, wysokość każdego trójkąta odpowiada apothemowi piramidy, AP.

Dlatego obszar każdego trójkąta piramidy jest określony przez A * AP / 2. Zatem obszar regularnej sześciokątnej piramidy wynosi 3 * A * (APb + AP), gdzie A jest krawędzią podstawy, APb to apothem podstawy i AP apothem piramidy.

Obliczanie w nieregularnych sześciokątnych piramidach

W przypadku nieregularnej sześciokątnej piramidy nie ma bezpośredniego wzoru na obliczenie powierzchni, jak w poprzednim przypadku. Dzieje się tak, ponieważ każdy trójkąt piramidy będzie miał inny obszar.

W tym przypadku obszar każdego trójkąta musi być obliczony oddzielnie i obszar podstawy. Następnie obszar piramidy będzie sumą wszystkich obszarów obliczonych wcześniej.

Jak obliczyć objętość? Wzory

Objętość piramidy o regularnym sześciokątnym kształcie jest iloczynem wysokości piramidy o powierzchni podstawy między trzema. Tak więc objętość regularnej sześciokątnej piramidy jest określona przez A * APb * h, gdzie A jest krawędzią podstawy, APb jest apothemem podstawy, a h jest wysokością piramidy.

Obliczanie w nieregularnych sześciokątnych piramidach

Analogicznie do obszaru, w przypadku nieregularnej sześciokątnej piramidy nie ma bezpośredniego wzoru na obliczanie objętości, ponieważ krawędzie podstawy nie mają tej samej miary, ponieważ jest to nieregularny wielokąt.

W tym przypadku obszar podstawy musi być obliczony oddzielnie, a objętość będzie (h * Obszar podstawowy) / 3.

Przykład

Oblicz powierzchnię i objętość regularnej sześciokątnej piramidy o wysokości 3 cm, której podstawą jest regularny sześciokąt o boku 2 cm, a apothem podstawy wynosi 4 cm.

Rozwiązanie

Najpierw musimy obliczyć apothem piramidy (AP), który jest jedynym brakującym danymi. Patrząc na powyższy obraz, widać, że wysokość piramidy (3 cm) i apotema podstawy (4 cm) tworzą trójkąt prawy; dlatego do obliczenia apotemu piramidy używamy twierdzenia Pitagorasa:

AP = √ (3 ^ 2 + 9 ^ 2) = √ (25) = 5.

Tak więc, używając powyższego wzoru, wynika, że ​​obszar jest równy 3 * 2 * (4 + 5) = 54 cm ^ 2.

Z drugiej strony, używając formuły objętości, otrzymujemy, że objętość danej piramidy wynosi 2 * 4 * 3 = 24 cm ^ 3.

Referencje

  1. Billstein, R., Libeskind, S., i Lott, J. W. (2013). Matematyka: podejście do rozwiązywania problemów dla nauczycieli edukacji podstawowej. López Mateos Editores.
  2. Fregoso, R. S. i Carrera, S. A. (2005). Matematyka 3. Progreso wydawnicze.
  3. Gallardo, G. i Pilar, P. M. (2005). Matematyka 6. Progreso wydawnicze.
  4. Gutiérrez, C. T. i Cisneros, M. P. (2005). 3. Kurs Matematyki. Progreso wydawnicze.
  5. Kinsey, L. i Moore, T. E. (2006). Symetria, kształt i przestrzeń: wprowadzenie do matematyki poprzez geometrię (zilustrowane, przedruk ed.). Springer Science & Business Media.
  6. Mitchell, C. (1999). Olśniewające wzory matematyczne (Ilustrowany ed.). Scholastic Inc.
  7. R., M. P. (2005). Rysuję 6º. Progreso wydawnicze.