Metoda podziału syntetycznego i rozwiązane ćwiczenia

The podział syntetyczny jest to prosty sposób dzielenia wielomianu P (x) przez dowolną z postaci d (x) = x - c. Jest to bardzo użyteczne narzędzie, ponieważ oprócz umożliwienia nam dzielenia wielomianów, pozwala nam również ocenić wielomian P (x) w dowolnej liczbie c, która z kolei mówi nam dokładnie, czy liczba ta jest równa zero, czy nie wielomianu.

Dzięki algorytmowi podziału wiemy, że jeśli mamy dwa wielomiany P (x) i d (x) nie jest stała, istnieją wielomiany q (x) i r (x) unikalny taki, że prawdą jest, że P (x) = q (x) d (x) + r (x), gdzie r (x) wynosi zero lub jest mniejsze niż q (x). Te wielomiany są znane odpowiednio jako iloraz i reszta lub reszta.

Czasami, gdy wielomian d (x) ma postać x-c, podział syntetyczny daje nam krótki sposób na znalezienie, kto jest q (x) i r (x).

Indeks

• 1 Metoda podziału syntetycznego
• 2 rozwiązane ćwiczenia
  • 2.1 Przykład 1
  • 2.2 Przykład 2
  • 2.3 Przykład 3
  • 2.4 Przykład 4
• 3 referencje

Metoda podziału syntetycznego

Niech P (x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+... + a₁x + a₀ wielomian, który chcemy podzielić, a d (x) = x-c dzielnik. Aby podzielić metodą podziału syntetycznego, postępujemy następująco:

1- Piszemy współczynniki P (x) w pierwszym rzędzie. Jeśli jakakolwiek moc X nie pojawia się, to jako współczynnik stawiamy zero.

2- W drugim rzędzie, po lewej stronie a_n umieść c i narysuj linie podziału, jak pokazano na poniższym rysunku:

3- Obniżamy współczynnik wiodący do trzeciego rzędu.

W tym wyrażeniu b_n-1= a_n

4- Pomnożymy c przez współczynnik wiodący b_n-1 wynik jest zapisywany w drugim rzędzie, ale kolumna po prawej.

5- Dodajemy kolumnę, w której napisaliśmy poprzedni wynik i wynik, który umieściliśmy pod tą sumą; to znaczy w tej samej kolumnie, w trzecim rzędzie.

Dodając, mamy w rezultacie_n-1+c * b_n-1, które dla wygody będziemy dzwonić b_n-2

6- Pomnożymy c przez poprzedni wynik i zapisujemy wynik po jego prawej stronie w drugim rzędzie.

7- Powtarzamy krok 5 i 6, aż osiągniemy współczynnik a₀.

8- Napisz odpowiedź; to znaczy iloraz i pozostałość. Ponieważ dokonujemy podziału wielomianu stopnia n między wielomianem stopnia 1, mamy poważny iloraz stopnia n-1.

Współczynniki wielomianu ilorazowego będą liczbami trzeciego rzędu z wyjątkiem ostatniego, który będzie resztowym wielomianem lub resztą podziału.

Rozwiązane ćwiczenia

Przykład 1

Wykonaj następujący podział według metody podziału syntetycznego:

(x⁵+3x⁴-7x³+2x²-8x + 1): (x + 1).

Rozwiązanie

Najpierw piszemy współczynniki dywidendy w następujący sposób:

Następnie piszemy c po lewej stronie, w drugim rzędzie, wraz z liniami podziału. W tym przykładzie c = -1.

Obniżamy współczynnik wiodący (w tym przypadku b_n-1 = 1) i pomnóż przez -1:

Twój wynik zapisujemy po prawej stronie w drugim rzędzie, jak pokazano poniżej:

Dodajemy liczby w drugiej kolumnie:

Pomnóżmy 2 przez -1 i zapisz wynik w trzeciej kolumnie, drugim rzędzie:

Dodajemy w trzeciej kolumnie:

Postępujemy analogicznie do ostatniej kolumny:

Tak więc, ostatnia uzyskana liczba to reszta podziału, a pozostałe liczby to współczynniki wielomianu ilorazowego. Jest to napisane w następujący sposób:

Jeśli chcemy sprawdzić, czy wynik jest poprawny, wystarczy sprawdzić, czy spełnione jest następujące równanie:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Możemy więc sprawdzić, czy uzyskany wynik jest poprawny.

Przykład 2

Wykonaj następny podział wielomianów metodą podziału syntetycznego

(7x³-x + 2): (x + 2)

Rozwiązanie

W tym przypadku mamy termin x² nie pojawia się, więc jako współczynnik wypiszemy 0. Zatem wielomian byłby podobny do 7x³+0x²-x + 2.

Piszemy ich współczynniki z rzędu, to jest:

Zapisujemy wartość C = -2 po lewej stronie w drugim rzędzie i rysujemy linie podziału.

Obniżamy współczynnik wiodący b_n-1 = 7 i pomnożymy go przez -2, zapisując jego wynik w drugim rzędzie po prawej stronie.

Dodajemy i postępujemy zgodnie z wcześniejszymi wyjaśnieniami, dopóki nie osiągniemy ostatniego terminu:

W tym przypadku reszta to r (x) = - 52, a uzyskany iloraz to q (x) = 7x²-14x + 27.

Przykład 3

Innym sposobem użycia podziału syntetycznego jest: załóżmy, że mamy wielomian P (x) stopnia n i chcemy wiedzieć, co jest wartością przy jego ocenie w x = c.

Algorytmem podziału mamy to, że możemy napisać wielomian P (x) w następujący sposób:

W tym wyrażeniu q (x) i r (x) są ilorazem, a reszta odpowiednio. Teraz, jeśli d (x) = x-c, przy ocenie w cw wielomianie znajdziemy następujące:

W tym celu musimy tylko znaleźć r (x), a to możemy zrobić dzięki podziałowi syntetycznemu.

Na przykład mamy wielomian P (x) = x⁷-9x⁶+19x⁵+12x⁴-3x³+19x²-37x-37 i chcemy wiedzieć, jaka jest jego wartość przy ocenie w x = 5. W tym celu przeprowadzamy podział między P (x) i d (x) = x -5 metodą podziału syntetycznego:

Po zakończeniu operacji wiemy, że możemy napisać P (x) w następujący sposób:

P (x) = (x⁶-4x⁵ -x⁴+ 7x³ +32x² +179x + 858) * (x-5) + 4253

Dlatego oceniając to musimy:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Jak widzimy, możliwe jest użycie podziału syntetycznego w celu znalezienia wartości wielomianu podczas oceny go w c zamiast po prostu zastąpienia c przez x. 

Gdybyśmy próbowali ocenić P (5) w tradycyjny sposób, musielibyśmy wykonać pewne obliczenia, które zwykle stają się nużące.

Przykład 4

Algorytm podziału dla wielomianów jest również spełniony dla wielomianów o złożonych współczynnikach, w związku z czym metoda podziału syntetycznego działa również dla wspomnianych wielomianów. Następnie zobaczymy przykład.

Użyjemy metody podziału syntetycznego, aby pokazać, że z = 1+ 2i to zero wielomianu P (x) = x³+ (1 + i) x² -(1 + 2i) x + (15 + 5i); to znaczy, pozostała część podziału P (x) między d (x) = x - z jest równa zero.

Postępujemy tak jak poprzednio: w pierwszym wierszu zapisujemy współczynniki P (x), następnie w drugim piszemy z i rysujemy linie podziału.

Dokonaliśmy podziału jak poprzednio; to jest:

Widzimy, że pozostałość wynosi zero; dlatego dochodzimy do wniosku, że z = 1+ 2i to zero P (x).

Referencje

1. Baldor Aurelio. Algebra. Grupa redakcyjna Patria.
2. Demana, Waits, Foley i Kennedy. Precalculus: Graph, numeryczny, algebraiczny 7. Ed. Pearson Education.
3. Flemming W i Varserg D. Algebra i Trigonometry with Analytical Geometry. Prentice Hall
4. Michael Sullivan. Precalculus 4 Ed. Pearson Education.
5. Czerwony Armando O. Algebra 1 6-ty wyd. Ateneum.