Pochodne algebraiczne (z przykładami)

The pochodne algebraiczne polegają na badaniu pochodnej w konkretnym przypadku funkcji algebraicznych. Pochodzenie pojęcia pochodnej sięga starożytnej Grecji. Rozwój tego pojęcia był motywowany potrzebą rozwiązania dwóch ważnych problemów: fizyki i matematyki.

W fizyce pochodna rozwiązuje problem określania chwilowej prędkości poruszającego się obiektu. W matematyce można znaleźć linię styczną do krzywej w danym punkcie.

Chociaż istnieje naprawdę wiele problemów, które są rozwiązywane przy użyciu pochodnej, jak również jej uogólnienia, wyniki, które pojawiły się po wprowadzeniu jej koncepcji.

Pionierami rachunku różniczkowego są Newton i Leibniz. Przed podaniem formalnej definicji rozwiniemy ideę z matematycznego i fizycznego punktu widzenia.

Indeks

• 1 Pochodna jako nachylenie linii stycznej do krzywej
• 2 Pochodna jako chwilowa prędkość poruszającego się obiektu
  • 2.1 Funkcja algebraiczna
• 3 Zasady derywacji
  • 3.1 Wyprowadzone ze stałej
  • 3.2 Pochodna mocy
  • 3.3 Pochodzące z dodawania i odejmowania
  • 3.4 Pochodna produktu
  • 3.5 Pochodzi z ilorazu
  • 3.6 Zasada łańcucha
• 4 odniesienia

Pochodna jako nachylenie linii stycznej do krzywej

Załóżmy, że wykres funkcji y = f (x) jest ciągłym wykresem (bez pików lub wierzchołków lub separacji), i niech A = (a, f (a)) będzie stałym punktem na nim. Chcemy znaleźć równanie linii stycznej do wykresu funkcji f w punkcie A.

Weź dowolny inny punkt P = (x, f (x)) wykresu, blisko punktu A, i narysuj sieczną linię, która przechodzi przez A i P. Linia sieczna to linia, która przecina wykres krzywej w jednym lub więcej punktów.

Aby uzyskać żądaną linię styczną, wystarczy obliczyć nachylenie, ponieważ mamy już punkt na linii: punkt A.

Jeśli przesuniemy punkt P wzdłuż wykresu i przybliżymy go bliżej punktu A, wspomniana linia sieczna zbliży się do linii stycznej, którą chcemy znaleźć. Przyjmując granicę, gdy „P zmierza do A”, obie linie będą zbiegać się, a więc również jego nachylenia.

Nachylenie linii siecznej jest podane przez

Stwierdzenie, że P zbliża się do A jest równoważne stwierdzeniu, że „x” zbliża się do „a”. Zatem nachylenie linii stycznej do wykresu f w punkcie A będzie równe:

Powyższe wyrażenie jest oznaczone przez f '(a) i jest zdefiniowane jako pochodna funkcji f w punkcie „a”. Widzimy zatem, że analitycznie pochodna funkcji w punkcie jest granicą, ale geometrycznie jest to nachylenie linii stycznej do wykresu funkcji w punkcie.

Teraz zobaczymy to pojęcie z punktu widzenia fizyki. Dochodzimy do tego samego wyrażenia poprzedniego limitu, chociaż w inny sposób, uzyskując jednomyślność definicji.

Pochodna jako chwilowa prędkość poruszającego się obiektu

Zobaczmy krótki przykład szybkości. Kiedy mówi się na przykład, że samochód dotarł do celu, zrobił to z prędkością 100 km na godzinę, co oznacza, że ​​w ciągu godziny przejechał 100 km.

Nie musi to oznaczać, że w ciągu całej godziny samochód był zawsze w odległości 100 km, a prędkościomierz samochodu mógł w niektórych momentach oznaczać mniej lub więcej. Gdyby miał potrzebę zatrzymania się na światłach, prędkość w tym momencie wynosiła 0 km. Jednak po godzinie trasa wynosiła 100 km.

Jest to tak zwana prędkość średnia i jest to iloraz odległości przebytej między upływem czasu, jak przed chwilą widzieliśmy. Z drugiej strony, prędkość chwilowa oznacza tę, która wyznacza igłę prędkościomierza samochodu w określonym czasie (czasie).

Przyjrzyjmy się teraz bardziej ogólnie. Załóżmy, że obiekt porusza się wzdłuż linii i że to przemieszczenie jest reprezentowane przez równanie s = f (t), gdzie zmienna t mierzy czas, a zmienną s przemieszczenie, biorąc pod uwagę jego początek w moment t = 0, w którym to czasie jest równy zero, to znaczy f (0) = 0.

Ta funkcja f (t) jest znana jako funkcja położenia.

Szukane jest wyrażenie chwilowej prędkości obiektu w ustalonej chwili „a”. Przy tej prędkości oznaczymy to jako V (a).

Niech będzie w każdej chwili blisko chwili „a”. W przedziale czasu między „a” i „t” zmiana położenia obiektu przez f (t) -f (a).

Średnia prędkość w tym przedziale czasu wynosi:

Jest to przybliżenie prędkości chwilowej V (a). To przybliżenie będzie lepsze, gdy zbliży się do „a”. Dlatego,

Zauważ, że to wyrażenie jest równe temu uzyskanemu w poprzednim przypadku, ale z innej perspektywy. Jest to tak zwana pochodna funkcji f w punkcie „a” i oznaczona jako f '(a), jak stwierdzono powyżej.

Zauważ, że dokonanie zmiany h = x-a oznacza, że ​​gdy „x” zmierza do „a”, „h” zmierza do 0, a poprzedni limit jest przekształcany (równoważnie) na:

Oba wyrażenia są równoważne, ale czasami lepiej jest użyć jednego zamiast drugiego, w zależności od przypadku.

Pochodna funkcji f jest wtedy definiowana bardziej ogólnie w dowolnym punkcie „x” należącym do jej domeny jako

Najbardziej typową notacją reprezentującą pochodną funkcji y = f (x) jest ta, którą właśnie widzieliśmy (f 'o i'). Jednak inną powszechnie stosowaną notacją jest notacja Leibniza, która jest reprezentowana przez dowolne z następujących wyrażeń:

Z uwagi na fakt, że pochodna jest zasadniczo ograniczeniem, może ona istnieć lub nie, ponieważ limity nie zawsze istnieją. Jeśli istnieje, mówi się, że dana funkcja jest różniczkowalna w danym punkcie.

Funkcja algebraiczna

Funkcja algebraiczna jest kombinacją wielomianów za pomocą sum, odejmowań, produktów, ilorazów, mocy i rodników.

Wielomian jest wyrazem formy

P_n= a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+ a_n-2x^n-2+... + a₂x²+ a₁x + a₀

Gdzie n jest liczbą naturalną, a wszystkie a_i, z i = 0,1, ..., n, są liczbami wymiernymi i a_n≠ 0 W tym przypadku mówi się, że stopień tego wielomianu wynosi n.

Oto przykłady funkcji algebraicznych:

Tutaj funkcje wykładnicze, logarytmiczne i trygonometryczne nie są uwzględnione. Reguły wyprowadzania, które zobaczymy poniżej, dotyczą ogólnie funkcji, ale ograniczymy się i zastosujemy je w przypadku funkcji algebraicznych.

Zasady omijania

Pochodzi ze stałej

Ustalono, że pochodna stałej wynosi zero. To znaczy, jeśli f (x) = c, to f '(x) = 0. Na przykład pochodna funkcji stałej 2 jest równa 0.

Pochodzi z mocy

Jeśli f (x) = xⁿ, następnie f '(x) = nx^n-1. Na przykład pochodna x³ Jest 3x². W konsekwencji otrzymujemy, że pochodna funkcji tożsamości f (x) = x jest f '(x) = 1x^1-1= x⁰= 1.

Inny przykład to: bądź f (x) = 1 / x², następnie f (x) = x^-2 i f '(x) = - 2x^-2-1= -2x^-3.

Ta właściwość jest również ważna, ponieważ korzenie są mocami racjonalnymi i można zastosować powyższe również w tym przypadku. Na przykład pochodna pierwiastka kwadratowego jest podana przez

Pochodzi z sumy i odejmowania

Jeśli f i g są funkcjami różniczkowalnymi w x, to suma f + g jest także inna i (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Analogicznie mamy to (f-g) '(x) = f' (x) -g '(x). Innymi słowy, pochodna sumy (odejmowanie) jest sumą (lub odjęciem) pochodnych.

Przykład

Jeśli h (x) = x²+x-1, więc

h '(x) = (x²) + (x) '- (1)' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

Pochodzi z produktu

Jeśli f i g są funkcjami różniczkowalnymi w x, to iloczyn fg jest również różniczkowalny w x i jest spełniony

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

W konsekwencji mamy, że jeśli c jest stałą, a f jest funkcją różniczkowalną w x, to cf jest również różniczkowalne w x i (cf) '(x) = cf' (X).

Przykład

Jeśli f (x) = 3x (x²+1)

f '(x) = (3x)' (x²+1) + (3x) (x²+1) '= 3 (x)' (x²+1) + 3x [(x²) '+ (1)']

= 3 (1) (x²+1) + 3x [(2x^2-1) +0] = 3 (x²+1) + 3x (2x) = 3x²+3 + 6x²

= 9x²+3.

Pochodzi z ilorazu

Jeśli f i g są różniczkowalne w xiy (x) ≠ 0, to f / g jest także różniczkowalne w x i prawdą jest, że

Przykład: jeśli h (x) = x³/ (x²-5x)

h '(x) = [(x³) '(x⁵-5x) - (x³) (x⁵-5x) '] / (x⁵-5x)²= [(3x²) (x⁵-5x) - (x³) (5x⁴-5)] / (x⁵-5x)².

Zasada łańcucha

Ta reguła pozwala na wyprowadzenie składu funkcji. Ustala on następującą zasadę: jeśli y = f (u) jest różniczkowalny w u, yu = g (x) jest różniczkowalny w x, wtedy funkcja złożona f (g (x)) jest różniczkowalna w x i jest zadowolona, ​​że ​​[f g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

Oznacza to, że pochodna funkcji złożonej jest produktem pochodnej funkcji zewnętrznej (pochodnej zewnętrznej) przez pochodną funkcji wewnętrznej (pochodna wewnętrzna).

Przykład

Jeśli f (x) = (x⁴-2x)³, wtedy

f '(x) = 3 (x⁴-2x)²(x⁴-2x) '= 3 (x⁴-2x)²(4x³-2).

Istnieją również wyniki obliczania pochodnej odwrotności funkcji, a także uogólnienia na pochodne wyższego rzędu. Aplikacje są rozległe. Wśród nich podkreślają swoje narzędzia w zakresie problemów optymalizacji oraz maksymalnych i minimalnych funkcji.

Referencje

1. Alarcon, S., González, M., i Quintana, H. (2008). Obliczanie różnicowe. ITM.
2. Cabrera, V. M. (1997). Obliczenie 4000. Progreso wydawnicze.
3. Castaño, H. F. (2005). Matematyka przed obliczeniem. Uniwersytet Medellin.
4. Eduardo, N. A. (2003). Wprowadzenie do obliczeń. Wersje progowe.
5. Źródła, A. (2016). PODSTAWOWA MATEMATYKA. Wprowadzenie do obliczeń. Lulu.com.
6. Purcell, E. J., Rigdon, S. E. i Varberg, D. E. (2007). Obliczanie. Pearson Education.
7. Saenz, J. (2005). Obliczanie różnicowe (Drugie wydanie). Barquisimeto: Hypotenuse.
8. Thomas, G. B. i Weir, M. D. (2006). Obliczanie: kilka zmiennych. Pearson Education.