Kolejne instrumenty pochodne (z rozwiązanymi ćwiczeniami)

The kolejne pochodne są pochodnymi funkcji po drugiej pochodnej. Proces obliczania kolejnych pochodnych jest następujący: mamy funkcję f, którą możemy uzyskać, a tym samym uzyskać funkcję pochodną f '. Do tej pochodnej f możemy ją ponownie uzyskać, uzyskując (f ')'.

Ta nowa funkcja nosi nazwę drugiej pochodnej; wszystkie pochodne obliczone od drugiego są kolejne; Te, zwane również wyższym porządkiem, mają świetne zastosowania, takie jak podanie informacji o wykresie funkcji, test drugiej pochodnej dla względnych ekstremów i określenie nieskończonej serii.

Indeks

• 1 Definicja
  • 1.1 Przykład 1
  • 1.2 Przykład 2
• 2 Prędkość i przyspieszenie
  • 2.1 Przykład 1
  • 2.2 Przykład 2
• 3 aplikacje
  • 3.1 Wzmocniona pochodna
  • 3.2 Przykład
  • 3.3 Względne końce
  • 3.4 Przykład
  • 3.5 Seria Taylora
  • 3.6 Przykład
• 4 odniesienia

Definicja

Używając notacji Leibniza, mamy pochodną funkcji „i” w odniesieniu do „x” jest dy / dx. Aby wyrazić drugą pochodną „i” używając notacji Leibniza, piszemy następująco:

Ogólnie rzecz biorąc, możemy wyrazić kolejne pochodne w następujący sposób z notacją Leibniza, gdzie n oznacza kolejność pochodnej.

Inne użyte notacje to:

Oto kilka przykładów, w których możemy zobaczyć różne zapisy:

Przykład 1

Uzyskaj wszystkie pochodne funkcji f zdefiniowane przez:

Używając zwykłych technik derywacji, mamy pochodną f:

Powtarzając proces możemy uzyskać drugą pochodną, ​​trzecią pochodną i tak dalej.

Zauważ, że czwarta pochodna wynosi zero, a pochodna zera wynosi zero, więc musimy:

Przykład 2

Oblicz czwartą pochodną następującej funkcji:

Wyprowadzając daną funkcję mamy w wyniku:

Prędkość i przyspieszenie

Jedną z motywacji, która doprowadziła do odkrycia pochodnej, było poszukiwanie definicji prędkości chwilowej. Formalna definicja jest następująca:

Niech y = f (t) będzie funkcją, której wykres opisuje trajektorię cząstki w jednej chwili t, wtedy jego prędkość w chwili t jest dana przez:

Po uzyskaniu prędkości cząstki możemy obliczyć przyspieszenie chwilowe, które definiuje się następująco:

Chwilowe przyspieszenie cząstki, której ścieżka jest dana przez y = f (t), wynosi:

Przykład 1

Cząstka porusza się po linii zgodnie z funkcją pozycji:

Gdzie „y” mierzy się w metrach, a „t” w sekundach.

- W tej chwili twoja prędkość wynosi 0?

- W jakiej chwili twoje przyspieszenie wynosi 0?

Wyprowadzając funkcję pozycji „i” mamy, że jej prędkość i przyspieszenie są podane odpowiednio przez:

Aby odpowiedzieć na pierwsze pytanie, wystarczy określić, kiedy funkcja v stanie się zerem; to jest:

Analogicznie postępujemy zgodnie z następującym pytaniem:

Przykład 2

Cząstka porusza się po linii zgodnie z następującym równaniem ruchu:

Określ „t, y” i „v”, gdy a = 0.

Wiedząc, że prędkość i przyspieszenie są podane przez

Kontynuujemy uzyskiwanie i uzyskiwanie:

Robiąc a = 0, mamy:

Z tego możemy wywnioskować, że wartość t równa zero wynosi t = 1.

Następnie, oceniając funkcję położenia i funkcję prędkości przy t = 1, musimy:

Aplikacje

Zwiększona pochodność

Kolejne pochodne można również uzyskać przez niejawne wyprowadzenie.

Przykład

Biorąc pod uwagę następującą elipsę, znajdź „i”:

Wyprowadzając niejawnie w odniesieniu do x, mamy:

Następnie, poprzez wtórne wyprowadzenie w odniesieniu do x, daje nam:

Wreszcie mamy:

Względne końce

Innym zastosowaniem, które możemy nadać pochodnym drugiego rzędu, jest obliczanie względnych końców funkcji.

Kryterium pierwszej pochodnej dla ekstremów lokalnych mówi nam, że jeśli mamy funkcję f ciągłą w zakresie (a, b) i istnieje c, które należy do tego przedziału, tak że f 'jest anulowane w c (to znaczy, że c jest punktem krytycznym), może wystąpić jeden z tych trzech przypadków:

- Jeśli f '(x)> 0 dla dowolnego x należącego do (a, c) i f' (x)<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.

- Jeśli f '(x) < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>0 dla x należącego do (c, b), a następnie f (c) to lokalne minimum.

- Jeśli f '(x) ma taki sam znak w (a, c) i (c, b), oznacza to, że f (c) nie jest lokalnym punktem końcowym.

Korzystając z kryterium drugiej pochodnej, możemy wiedzieć, czy krytyczna liczba funkcji jest maksimum lub minimum lokalne, bez konieczności sprawdzania, jaki jest znak funkcji w wyżej wymienionych odstępach czasu.

Kryterium drugiej pochodnej mówi nam, że jeśli f '(c) = 0 i że f ”(x) jest ciągłe w (a, b), zdarza się, że jeśli f” (c)> 0, to f (c) jest lokalne minimum i jeśli f ”(c) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

Jeśli f "(c) = 0, nie możemy niczego zawrzeć.

Przykład

Biorąc pod uwagę funkcję f (x) = x⁴ + (4/3) x³ - 4x², znajdź względne maksima i minima f stosując kryterium drugiej pochodnej.

Najpierw obliczamy f '(x) i f ”(x) i mamy:

f '(x) = 4x³ + 4x² - 8x

f ”(x) = 12x² + 8x - 8

Teraz, f '(x) = 0 jeśli i tylko wtedy, gdy 4x (x + 2) (x - 1) = 0, a dzieje się tak, gdy x = 0, x = 1 lub x = - 2.

Aby ustalić, czy uzyskane liczby krytyczne są względnymi skrajnościami, wystarczy ocenić f ”i tym samym obserwować jego znak.

f "(0) = - 8, więc f (0) jest maksimum lokalnym.

f "(1) = 12, więc f (1) jest lokalnym minimum.

f "(- 2) = 24, więc f (- 2) jest lokalnym minimum.

Seria Taylora

Niech f będzie funkcją zdefiniowaną w następujący sposób:

Ta funkcja ma promień zbieżności R> 0 i ma pochodne wszystkich rozkazów (-R, R). Kolejne pochodne f dają nam:

Biorąc x = 0, możemy uzyskać wartości c_n w oparciu o jego pochodne w następujący sposób:

Jeśli weźmiemy n = 0 jako funkcję f (to znaczy f ^ 0 = f), możemy przepisać funkcję w następujący sposób:

Teraz rozważ funkcję jako szereg mocy w x = a:

Jeśli wykonamy analogiczną analizę do poprzedniej, musielibyśmy napisać funkcję f jako:

Te serie są znane jako szereg Taylora fw a. Kiedy a = 0 mamy konkretny przypadek, który nazywa się serią Maclaurin. Ten typ serii ma wielkie znaczenie matematyczne, zwłaszcza w analizie numerycznej, ponieważ dzięki nim możemy zdefiniować funkcje w komputerach, takie jak^x , sin (x) i cos (x).

Przykład

Zdobądź serię Maclaurin dla e^x.

Zauważ, że jeśli f (x) = e^x, następnie f⁽ⁿ⁾(x) = e^x i f⁽ⁿ⁾(0) = 1, dlatego jego seria Maclaurin to:

Referencje

1. Frank Ayres, J. i Mendelson, E. (s.f.). 5 obliczeń. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). OBLICZENIE z geometrią analityczną. HARLA, S.A..
3. Purcell, E. J., Varberg, D. i Rigdon, S. E. (2007). Obliczanie. Meksyk: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Obliczanie różnicowe. Hypotenuse.
5. Saenz, J. (s.f.). Kompleksowy rachunek różniczkowy. Hypotenuse.