Cechy, kroki, przykłady metody aksjomatycznej

The metoda aksjomatyczna lub też nazywane aksjomatami jest formalną procedurą stosowaną przez nauki, za pomocą której formułuje się stwierdzenia lub twierdzenia zwane aksjomatami, połączone ze sobą przez relację dedukcyjności i które są podstawą hipotezy lub warunków pewnego systemu.

Ta ogólna definicja musi być wpisana w ewolucję, jaką ta metodologia miała w historii. Po pierwsze, istnieje starożytna metoda lub treść, urodzona w starożytnej Grecji z Euklidesa, a później opracowana przez Arystotelesa.

Po drugie, już w XIX wieku pojawienie się geometrii o aksjomatach innych niż Euklidesa. I wreszcie formalna lub nowoczesna metoda aksjomatyczna, której maksymalnym wykładnikiem był David Hilbert.

Poza rozwojem w czasie, procedura ta była podstawą metody dedukcyjnej stosowanej w geometrii i logice, z której powstała. Stosowano go również w fizyce, chemii i biologii.

Dotyczy to nawet nauk prawnych, socjologii i ekonomii politycznej. Jednak obecnie jego najważniejszym obszarem zastosowania jest matematyka i logika symboliczna oraz niektóre gałęzie fizyki, takie jak termodynamika, mechanika, między innymi.

Indeks

• 1 Charakterystyka 
  • 1.1 Stara metoda lub treść aksjomatyczna 
  • 1.2 Nieeuklidesowa metoda aksjomatyczna
  • 1.3 Nowoczesna lub formalna metoda aksjomatyczna
• 2 kroki 
• 3 Przykłady
• 4 odniesienia

Funkcje

Chociaż podstawową cechą tej metody jest formułowanie aksjomatów, nie zawsze były one rozpatrywane w ten sam sposób.

Są takie, które można zdefiniować i skonstruować w dowolny sposób. I inne, zgodnie z modelem, w którym bierze się pod uwagę jego intuicyjnie gwarantowaną prawdę.

Aby dokładnie zrozumieć, na czym polega ta różnica i jej konsekwencje, konieczne jest dokonanie przeglądu ewolucji tej metody.

Stara aksjomatyczna metoda lub treść 

To ta, która powstała w starożytnej Grecji około V wieku pne. Jego sferą zastosowań jest geometria. Podstawowym dziełem tego etapu są elementy Euklidesa, chociaż uważa się, że przed nim Pitagoras już narodził się metodą aksjomatyczną.

Tak więc Grecy przyjmują pewne fakty jako aksjomaty, nie wymagając żadnego dowodu logicznego, to znaczy bez potrzeby demonstracji, ponieważ dla nich są one oczywistą prawdą.

Ze swojej strony Euclides przedstawia pięć aksjomatów dla geometrii:

1-Biorąc pod uwagę dwa punkty, jest linia, która je zawiera lub łączy.

2-Dowolny segment można kontynuować w sposób ciągły na nieograniczonej linii po obu stronach.

3-Możesz narysować okrąg, który ma środek w dowolnym punkcie i dowolnym promieniu.

4-kąty proste są takie same.

5-Biorąc dowolną linię prostą i dowolny punkt, który nie jest w niej, istnieje prosta równoległa do tego i zawierająca ten punkt. Ten aksjomat znany jest później jako aksjomat paraleli i został przedstawiony również jako: przez punkt poza linią można narysować pojedynczy równoległy.

Jednak zarówno Euklides, jak i późniejsi matematycy, zgadzają się, że piąty aksjomat nie jest tak intuicyjnie intuicyjny jak pozostałe 4. Nawet w okresie Renesansu próbuje się wydedukować piątą z pozostałych 4, ale nie jest to możliwe.

To sprawiło, że już w XIX wieku ci, którzy utrzymywali piątkę, byli zwolennikami geometrii euklidesowej, a ci, którzy zaprzeczyli piątej, byli tymi, którzy stworzyli nieeuklidesowe geometrie.

Nieeuklidesowa metoda aksjomatyczna

To właśnie Nikołaj Iwanowicz Łobaczewski, János Bolyai i Johann Karl Friedrich Gauss widzą możliwość konstruowania, bez sprzeczności, geometrii pochodzącej z systemów aksjomatów innych niż te Euklidesa. Niszczy to wiarę w absolutną lub a priori prawdę aksjomatów i wynikających z nich teorii.

Dlatego aksjomaty zaczynają być postrzegane jako punkty wyjścia danej teorii. Również zarówno ich wybór, jak i problem ich ważności w taki czy inny sposób, zaczynają odnosić się do faktów poza teorią aksjomatyczną.

W ten sposób pojawiają się teorie geometryczne, algebraiczne i arytmetyczne skonstruowane metodą aksjomatyczną.

Kulminacją tego etapu jest stworzenie systemów aksjomatycznych do arytmetyki, takich jak Giuseppe Peano w 1891 r .; geometria Davida Huberta w 1899 r .; stwierdzenia i obliczenia predykatów Alfreda Northa Whiteheada i Bertranda Russella w Anglii w 1910 r .; aksjomatyczna teoria zbiorów Ernsta Friedricha Ferdinanda Zermelo w 1908 roku.

Nowoczesna lub formalna metoda aksjomatyczna

To David Hubert inicjuje koncepcję formalnej metody aksjomatycznej, która prowadzi do jej kulminacji, David Hilbert.

Właśnie Hilbert formalizuje język naukowy, uważając jego stwierdzenia za wzory lub ciągi znaków, które same w sobie nie mają żadnego znaczenia. Nabierają tylko znaczenia w pewnej interpretacji.

W „Podstawy geometrii„Wyjaśnia pierwszy przykład tej metodologii. Stąd geometria staje się nauką o czystych logicznych konsekwencjach, które są wydobywane z systemu hipotez lub aksjomatów, lepiej artykułowanych niż system euklidesowy.

Dzieje się tak, ponieważ w starym systemie teoria aksjomatyczna opiera się na dowodach aksjomatów. Podczas gdy podstawą teorii formalnej jest pokazanie sprzeczności jej aksjomatów.

Kroki

Procedura, która przeprowadza aksjomatyczną strukturę w ramach teorii naukowych, uznaje:

a-wybór pewnej liczby aksjomatów, to znaczy pewnej liczby twierdzeń pewnej teorii, które są akceptowane bez konieczności zademonstrowania.

b-pojęcia, które są częścią tych twierdzeń, nie są określone w ramach danej teorii.

c-zasady definicji i dedukcja danej teorii są ustalone i pozwalają wprowadzić nowe koncepcje w teorii i logicznie wydedukować pewne twierdzenia od innych.

d-inne twierdzenia teorii, czyli twierdzenie, są wydedukowane z a na podstawie c.

Przykłady

Metodę tę można zweryfikować, demonstrując dwa najbardziej znane twierdzenia Euklidesa: twierdzenie o nodze i twierdzenie o wysokości..

Oba wynikają z obserwacji tego greckiego geometru, że gdy wysokość jest wykreślona w odniesieniu do przeciwprostokątnej w trójkącie prawym, dwa trójkąty pojawiają się bardziej niż oryginał. Trójkąty te są do siebie podobne i jednocześnie podobne do trójkąta pochodzenia. Zakłada się, że ich odpowiednie strony homologiczne są proporcjonalne.

Można zauważyć, że przystające kąty w trójkątach w ten sposób weryfikują podobieństwo, które istnieje między trzema trójkątami zaangażowanymi zgodnie z kryterium podobieństwa AAA. To kryterium utrzymuje, że gdy dwa trójkąty mają wszystkie równe kąty, są podobne.

Gdy okaże się, że trójkąty są podobne, można ustalić proporcje określone w pierwszym twierdzeniu. Stwierdza, że ​​w trójkącie prostokątnym miarą każdej z nich jest geometryczna średnia proporcjonalna między przeciwprostokątną i projekcją w niej..

Drugie twierdzenie to twierdzenie o wysokości. Określa, że ​​każdy trójkąt prawy, który jest narysowany zgodnie z przeciwprostokątną, jest średnią proporcjonalną geometryczną między segmentami, które są określone przez wspomnianą średnią geometryczną na przeciwprostokątnej.

Oczywiście oba twierdzenia mają wiele zastosowań na całym świecie nie tylko w dziedzinie edukacji, ale także w inżynierii, fizyce, chemii i astronomii.

Referencje

1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometria, formalizm i intuicja: David Hilbert i formalna metoda aksjomatyczna (1895-1905). Philosophy Magazine, tom 39 Núm. 2, str.121-146. Zrobiono z revistas.ucm.es.
2. Hilbert, David. (1918) Myśl aksjomatyczna. W W.Ewald, redaktor, od Kanta do Hilberta: książka źródłowa w podstawach matematyki. Tom II, str. 1105-1114. Oxford University Press. 2005 a.
3. Hintikka, Jaako. (2009). Jaka jest metoda aksjomatyczna? Synthese, listopad 2011, tom 189, s. 69-85. Zrobiono z linku.springer.com.
4. López Hernández, José. (2005). Wprowadzenie do filozofii prawa współczesnego. (str. 48–49). Zrobiono z books.google.com.ar.
5. Nirenberg, Ricardo. (1996) Metoda aksjomatyczna, czytana przez Ricardo Nirenberga, jesień 1996, Uniwersytet w Albany, Project Renaissance. Zrobiono z Albany.edu.
6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert między formalną i nieformalną stroną matematyki. Rękopis vol. 38 nie. 2, Campinas lipiec / sierpień 2015 r. Zrobiono z scielo.br.