Demonstracja twierdzenia dwumianowego i przykłady

The twierdzenie dwumianowe jest równaniem, które mówi nam, jak rozwinąć wyrażenie formy (a + b)ⁿ dla pewnej liczby naturalnej n. Dwumian nie jest większy niż suma dwóch elementów, takich jak (a + b). Pozwala nam również poznać na czas określony przez^kb^n-k jaki jest współczynnik, który się z tym wiąże.

Twierdzenie to jest powszechnie przypisywane angielskiemu wynalazcy, fizykowi i matematykowi Sir Isaacowi Newtonowi; znaleziono jednak kilka zapisów wskazujących, że na Bliskim Wschodzie jego istnienie było już znane około roku 1000.

Indeks

• 1 liczby kombinatoryczne
• 2 Demonstracja
• 3 Przykłady
  • 3.1 Tożsamość 1
  • 3.2 Tożsamość 2
• 4 Kolejna demonstracja
  • 4.1 Demonstracja poprzez indukcję
• 5 osobliwości
• 6 referencji

Liczby kombinatoryczne

Twierdzenie dwumianowe mówi nam matematycznie:

W tym wyrażeniu aib są liczbami rzeczywistymi, a n jest liczbą naturalną.

Przed pokazem zobaczmy kilka podstawowych pojęć, które są niezbędne.

Liczbę kombinatoryczną lub kombinacje nw k wyraża się następująco:

Ta forma wyraża wartość liczby podzbiorów z k elementów, które można wybrać z zestawu n elementów. Jego algebraiczne wyrażenie daje:

Zobaczmy przykład: załóżmy, że mamy grupę siedmiu kulek, z których dwie są czerwone, a pozostałe są niebieskie.

Chcemy wiedzieć, ile sposobów możemy je zamówić z rzędu. Jednym ze sposobów może być umieszczenie dwóch czerwonych w pierwszej i drugiej pozycji, a reszta kul w pozostałych pozycjach.

Podobnie jak w poprzednim przypadku, możemy dać czerwone kulki, odpowiednio, pierwszą i ostatnią pozycję, i zająć pozostałe niebieskimi kulkami.

Teraz skutecznym sposobem policzenia, ile sposobów możemy zamówić kule z rzędu, jest użycie liczb kombinatorycznych. Możemy zobaczyć każdą pozycję jako element następującego zestawu:

Następnie konieczne jest wybranie tylko podzbioru dwóch elementów, w którym każdy z tych elementów reprezentuje pozycję, którą zajmą czerwone kulki. Możemy dokonać tego wyboru zgodnie z relacją podaną przez:

W ten sposób mamy 21 sposobów sortowania takich piłek.

Ogólna idea tego przykładu będzie bardzo przydatna w demonstracji twierdzenia dwumianowego. Spójrzmy na konkretny przypadek: jeśli n = 4, mamy (a + b)⁴, co jest niczym więcej niż:

Kiedy rozwijamy ten produkt, mamy sumę warunków uzyskanych przez pomnożenie elementu każdego z czterech czynników (a + b). Tak więc będziemy mieć warunki, które będą miały formę:

Jeśli chcemy uzyskać termin formularza⁴, wystarczy pomnożyć w następujący sposób:

Zauważ, że istnieje tylko jeden sposób na uzyskanie tego elementu; ale co się stanie, jeśli teraz szukamy terminu formy²b²? Ponieważ „a” i „b” są liczbami rzeczywistymi, a zatem prawo przemienne jest ważne, mamy sposób na uzyskanie tego terminu, aby pomnożyć się z elementami wskazanymi przez strzałki.

Wykonanie wszystkich tych operacji jest zwykle nieco nużące, ale jeśli zobaczymy termin „a” jako kombinację, w której chcemy wiedzieć, na ile sposobów możemy wybrać dwa „a” z zestawu czterech czynników, możemy użyć idei z poprzedniego przykładu. Mamy więc:

Wiemy więc, że w końcowym rozwoju wyrażenia (a + b)⁴ będziemy mieli dokładnie 6a²b². Używając tego samego pomysłu dla innych elementów, musisz:

Następnie dodajemy wyrażenia uzyskane wcześniej i musimy:

Jest to formalna demonstracja ogólnego przypadku, w którym „n” jest dowolną liczbą naturalną.

Demonstracja

Zwróć uwagę, że warunki, które pozostają podczas tworzenia (a + b)ⁿ są w formie do^kb^n-k, gdzie k = 0,1, ..., n. Korzystając z idei poprzedniego przykładu, mamy sposób na wybranie zmiennych „k” „a” z czynników „n”:

Wybierając w ten sposób, automatycznie wybieramy zmienne n-k „b”. Z tego wynika, że:

Przykłady

Biorąc pod uwagę (a + b)⁵, Jaki byłby jego rozwój?

Zgodnie z twierdzeniem dwumianowym musimy:

Twierdzenie dwumianowe jest bardzo przydatne, jeśli mamy wyrażenie, w którym chcemy wiedzieć, jaki jest współczynnik określonego terminu bez konieczności wykonywania pełnego rozwoju. Jako przykład możemy przyjąć następujące pytanie: jaki jest współczynnik x⁷i⁹ w rozwoju (x + y)¹⁶?

Zgodnie z twierdzeniem dwumianowym mamy współczynnik:

Innym przykładem może być: jaki jest współczynnik x⁵i⁸ w rozwoju (3x-7y)¹³?

Najpierw przepisujemy wyrażenie w wygodny sposób; to jest:

Następnie, używając twierdzenia dwumianowego, mamy pożądany współczynnik, gdy mamy k = 5

Innym przykładem zastosowania tego twierdzenia jest demonstracja niektórych wspólnych tożsamości, takich jak te wymienione poniżej.

Tożsamość 1

Jeśli „n” jest liczbą naturalną, musimy:

Do demonstracji używamy twierdzenia dwumianowego, w którym zarówno „a”, jak i „b” przyjmują wartość 1. Następnie mamy:

W ten sposób udowodniliśmy pierwszą tożsamość.

Tożsamość 2

Jeśli „n” jest liczbą naturalną, to

Zgodnie z twierdzeniem dwumianowym musimy:

Kolejna demonstracja

Możemy zrobić inną demonstrację dla twierdzenia dwumianowego przy użyciu metody indukcyjnej i tożsamości pascalowej, która mówi nam, że jeśli „n” i „k” są dodatnimi liczbami całkowitymi, które spełniają n ≥ k, to:

Demonstracja przez indukcję

Najpierw zobaczmy, że baza indukcyjna jest spełniona. Jeśli n = 1, musimy:

Rzeczywiście widzimy, że się wypełniło. Teraz niech n = j tak, aby zostało spełnione:

Chcemy zobaczyć, że dla n = j + 1 spełnione jest:

Musimy więc:

Według hipotezy wiemy, że:

Następnie za pomocą właściwości dystrybucyjnej:

Następnie, opracowując każdy z podanych przez nas podsumowań:

Teraz, jeśli zbiorimy się w wygodny sposób, musimy:

Korzystając z tożsamości pascala, musimy:

Na koniec zauważ, że:

Dlatego widzimy, że twierdzenie dwumianowe jest spełnione dla wszystkich „n” należących do liczby naturalnej, a wraz z tym test się kończy.

Ciekawostki

Liczba kombinatoryczna (nk) jest również nazywana współczynnikiem dwumianowym, ponieważ to właśnie współczynnik pojawia się w rozwoju dwumianu (a + b)ⁿ.

Izaak Newton uogólnił to twierdzenie na przypadek, w którym wykładnik jest liczbą rzeczywistą; twierdzenie to znane jest jako twierdzenie dwumianowe Newtona.

Już w starożytności wynik ten był znany w konkretnym przypadku, w którym n = 2. Ta sprawa jest wymieniona w Elementy Euklidesów.

Referencje

1. Johnsonbaugh Richard. Matematyka dyskretna PHH
2. Kenneth.H. Matematyka dyskretna i jej zastosowania. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Seymour Lipschutz Ph.D & Marc Lipson. Matematyka dyskretna. McGRAW-HILL.
4. Ralph P. Grimaldi. Matematyka dyskretna i kombinacyjna. Addison-Wesley Iberoamericana
5. Verde Star Luis ... Discrete Mathematics and Combinatoria.Antropos