Twierdzenie Euklidesa Formuły, demonstracja, zastosowanie i ćwiczenia



The Twierdzenie Euklidesa demonstruje właściwości trójkąta prostokątnego, rysując linię dzielącą go na dwa nowe trójkąty prawe, które są do siebie podobne i z kolei są podobne do oryginalnego trójkąta; wtedy istnieje relacja proporcjonalności.

Euklides był jednym z największych matematyków i geometrów starożytności, którzy dokonali kilku demonstracji ważnych twierdzeń. Jednym z głównych jest ten, który nosi jego imię i które ma szerokie zastosowanie.

Stało się tak, ponieważ dzięki temu twierdzeniu wyjaśnia on w prosty sposób relacje geometryczne występujące w trójkącie prawym, gdzie nogi są związane z ich rzutami w przeciwprostokątnej.

Indeks

  • 1 Wzory i demonstracja
    • 1.1 Twierdzenie o wysokości
    • 1.2 Twierdzenie nóg
  • 2 Związek między twierdzeniami Euklidesa
  • 3 rozwiązane ćwiczenia
    • 3.1 Przykład 1
    • 3.2 Przykład 2
  • 4 odniesienia

Formuły i demonstracja

Twierdzenie Euklidesa sugeruje, że w każdym trójkącie prawym, gdy rysowana jest linia - która reprezentuje wysokość odpowiadającą wierzchołkowi kąta prostego w stosunku do przeciwprostokątnej - dwa oryginalne trójkąty są utworzone z oryginału.

Te trójkąty będą do siebie podobne i będą podobne do oryginalnego trójkąta, co oznacza, że ​​ich podobne boki są proporcjonalne do siebie:

Kąty trzech trójkątów są przystające; to znaczy, gdy obraca się o 180 stopni na wierzchołku, kąt zbiega się z drugim. Oznacza to, że wszyscy będą równi.

W ten sposób można również zweryfikować podobieństwo, które istnieje między trzema trójkątami, przez równość ich kątów. Z podobieństwa trójkątów Euklides określa proporcje tych dwóch twierdzeń:

- Twierdzenie o wysokości.

- Twierdzenie nóg.

Twierdzenie to ma szerokie zastosowanie. W starożytności był używany do obliczania wysokości lub odległości, co stanowi wielki postęp w trygonometrii.

Jest obecnie stosowany w wielu dziedzinach, które opierają się na matematyce, takich jak inżynieria, fizyka, chemia i astronomia, wśród wielu innych obszarów.

Twierdzenie o wysokości

Twierdzenie to stwierdza, że ​​w dowolnym trójkącie prostokątnym wysokość narysowana od kąta prostego w stosunku do przeciwprostokątnej jest średnią proporcjonalną geometryczną (kwadrat wysokości) między rzutami nóg, która określa przeciwprostokątną.

Oznacza to, że kwadrat wysokości będzie równy mnożeniu rzutowanych nóg, które tworzą przeciwprostokątną:

hc2 = m * n

Demonstracja

Biorąc pod uwagę trójkąt ABC, który jest prostokątem w wierzchołku C, podczas rysowania wysokości generowane są dwa podobne trójkąty, ADC i BCD; dlatego ich odpowiadające boki są proporcjonalne:

W taki sposób, że wysokość hc który odpowiada segmentowi CD, odpowiada przeciwprostokątnej AB = c, więc musimy:

To z kolei odpowiada:

Czyszczenie przeciwprostokątnej (hc), aby pomnożyć dwóch członków równości, musisz:

hc * hc = m * n

hc2 = m * n

Tak więc wartość przeciwprostokątnej jest podawana przez:

Twierdzenie nóg

Twierdzenie to stwierdza, że ​​w każdym trójkącie prawym miarą każdej nogi będzie geometryczna średnia proporcjonalna (kwadrat każdej nogi) między pomiarem przeciwprostokątnej (kompletnej) a rzutem każdego na nią:

b2 = c * m

a2 = c* n

Demonstracja

Biorąc pod uwagę trójkąt ABC, który jest prostokątem w wierzchołku C, tak, że jego przeciwprostokątna jest c, przy wykreślaniu wysokości (h) wyznaczane są rzuty nóg a i b, które są odpowiednio segmentami m i n. przeciwprostokątna.

Tak więc mamy wysokość narysowaną na trójkącie prawym ABC generuje dwa podobne trójkąty prawe, ADC i BCD, tak że odpowiadające im boki są proporcjonalne, tak jak poniżej:

DB = n, który jest rzutem nogi CB na przeciwprostokątną.

AD = m, który jest rzutem katetusu AC na przeciwprostokątną.

Następnie przeciwprostokątna c jest określona przez sumę nóg jej rzutów:

c = m + n

Ze względu na podobieństwo trójkątów ADC i BCD musimy:

Powyższe jest takie samo jak:

Oczyszczając nogę „a”, aby pomnożyć dwóch członków równości, należy:

a * a = c * n

a2 = c * n

Tak więc wartość nogi „a” podaje:

Podobnie przez podobieństwo trójkątów ACB i ADC musimy:

Powyższe jest równe:

Oczyszczając nogę „b”, aby pomnożyć dwóch członków równości, należy:

b * b = c * m

b2 = c * m

Zatem wartość nogi „b” jest podawana przez:

Relacja między twierdzeniami Euklidesa

Twierdzenia odnoszące się do wysokości i nóg są ze sobą powiązane, ponieważ miara obu jest wykonywana w odniesieniu do przeciwprostokątnej trójkąta prawego.

Poprzez relację twierdzeń Euklidesa można również znaleźć wartość wysokości; jest to możliwe dzięki usunięciu wartości m i n z twierdzenia o nodze i zastąpieniu ich w twierdzeniu o wysokości. W ten sposób wysokość jest równa mnożeniu nóg, podzielona przez przeciwprostokątną:

b2 = c * m

m = b2 ÷ c

a2 = c * n

n = a2 ÷ c

W twierdzeniu o wysokości m i n są zastępowane:

hc2 = m * n

hc2 = (b2 ÷ c) * (a2 ÷ c)

hc = (b2* a2) ÷ c

Rozwiązane ćwiczenia

Przykład 1

Biorąc pod uwagę trójkąt ABC, prostokąt w A, określ miarę AC i AD, jeśli AB = 30 cm i BD = 18 cm

Rozwiązanie

W tym przypadku mamy pomiary jednej z rzutowanych nóg (BD) i jednej z nóg pierwotnego trójkąta (AB). W ten sposób możesz zastosować twierdzenie nogi, aby znaleźć wartość nogi BC.

AB2 = BD * BC

(30)2 = 18 * BC

900 = 18 * BC

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Wartość kathetusu CD można znaleźć wiedząc, że BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Teraz możliwe jest określenie wartości AC katet, stosując ponownie twierdzenie o nodze:

AC2 = CD * BD

AC2 = 32 * 50

AC2 = 160

AC = 1600 = 40 cm

Aby określić wartość wysokości (AD), stosuje się twierdzenie o wysokości, ponieważ znane są wartości przewidywanych nóg CD i BD:

AD2 = 32 * 18

AD2 = 576

AD = 576

AD = 24 cm

Przykład 2

Określ wartość wysokości (h) trójkąta MNL, prostokąta w N, znając pomiary segmentów:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Rozwiązanie

Masz pomiar jednej z nóg rzutowanych na przeciwprostokątną (PM), a także pomiarów nóg oryginalnego trójkąta. W ten sposób można zastosować twierdzenie o nodze, aby znaleźć wartość innej rzutowanej nogi (LN):

NL2 = PM * LM

(10)2 = 5 * LM

100 = 5 * LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Ponieważ znamy już wartość nóg i przeciwprostokątnych, poprzez stosunek twierdzeń wysokości i nóg można określić wartość wysokości:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b2* a2) ÷ c.

h = (102* 52)  ÷ (20)

h = (100 * 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

Referencje

  1. Braun, E. (2011). Chaos, fraktale i dziwne rzeczy. Fundusz Kultury Gospodarczej.
  2. Cabrera, V. M. (1974). Współczesna matematyka, tom 3.
  3. Daniel Hernandez, D. P. (2014). 3. rok matematyki Caracas: Santillana.
  4. Encyclopaedia Britannica, ja. (1995). Hispanic Encyclopedia: Macropedia. Encyklopedia Britannica Publishers.
  5. Euclid, R. P. (1886). Elementy geometrii Euklidesa.
  6. Guardeño, A. J. (2000). Dziedzictwo matematyki: od Euklidesa do Newtona, od geniuszy poprzez jego książki. Uniwersytet w Sewilli.