Wyjaśnienie twierdzenia Bayesa, zastosowania, ćwiczenia



The Twierdzenie Bayesa jest procedurą, która pozwala nam wyrazić prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia losowego A danego B, w odniesieniu do rozkładu prawdopodobieństwa zdarzenia B podanego A i rozkładu prawdopodobieństwa tylko A.

Twierdzenie to jest bardzo przydatne, ponieważ dzięki niemu możemy powiązać prawdopodobieństwo, że zdarzenie A występuje, wiedząc, że wystąpiło B, z prawdopodobieństwem, że nastąpi odwrotna sytuacja, to znaczy, że B występuje z A.

Twierdzenie Bayesa było srebrną propozycją wielebnego Thomasa Bayesa, osiemnastowiecznego angielskiego teologa, który był także matematykiem. Był autorem kilku prac w teologii, ale obecnie znany jest z kilku traktatów matematycznych, wśród których głównym wynikiem jest wspomniane twierdzenie Bayesa..

Bayes zajmował się tym twierdzeniem w artykule zatytułowanym „Esej w kierunku rozwiązania problemu w doktrynie szans”, opublikowanym w 1763 r., I na którym opracowano duże dzieła w celu rozwiązania problemu w doktrynie możliwości. Badania z aplikacjami w różnych obszarach wiedzy.

Indeks

  • 1 Wyjaśnienie
  • 2 Zastosowania twierdzenia Bayesa
    • 2.1 Rozwiązane ćwiczenia
  • 3 referencje

Wyjaśnienie

Po pierwsze, do dalszego zrozumienia tego twierdzenia, konieczne są pewne podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa, zwłaszcza twierdzenie o mnożeniu dla prawdopodobieństwa warunkowego, które stwierdza, że

Dla dowolnych zdarzeń E i A w przestrzeni próbkowania S.

I definicja partycji, która mówi nam, że jeśli mamy A1 ,A2,..., An zdarzenia z przestrzeni próbnej S, utworzą partycję S, jeśli Ai wzajemnie się wykluczają, a ich związek to S.

Mając to, niech B będzie kolejnym wydarzeniem. Wtedy możemy zobaczyć B jako

Gdzie Ai przecięte z B są wzajemnie wykluczającymi się zdarzeniami.

I w konsekwencji,

Następnie stosując twierdzenie mnożenia

Z drugiej strony prawdopodobieństwo warunkowe Ai podane B jest zdefiniowane przez

Zastępując odpowiednio musimy dla każdego

Zastosowania twierdzenia Bayesa

Dzięki temu zespołom badawczym i różnym korporacjom udało się udoskonalić systemy oparte na wiedzy.

Na przykład, w badaniu chorób, twierdzenie Bayesa może pomóc w rozpoznaniu prawdopodobieństwa, że ​​choroba zostanie znaleziona w grupie osób o danej charakterystyce, biorąc jako dane globalne wskaźniki choroby i przewagę tych cech w ludzie zarówno zdrowi, jak i chorzy.

Z drugiej strony, w świecie wysokich technologii, wpłynęło to na duże firmy, które rozwinęły dzięki temu wynikowi oprogramowanie „W oparciu o wiedzę”.

Jako codzienny przykład mamy asystenta Microsoft Office. Twierdzenie Bayesa pomaga oprogramowaniu ocenić problemy, które przedstawia użytkownik, i określić, jakie porady należy dostarczyć, a tym samym móc zaoferować lepszą usługę zgodnie z nawykami użytkownika.

Należy zauważyć, że ta formuła została zignorowana do niedawna, głównie ze względu na fakt, że kiedy ten wynik został opracowany 200 lat temu, nie było dla nich praktycznego zastosowania. Jednak w naszych czasach, dzięki wielkim postępom technologicznym, naukowcy osiągnęli sposoby, aby wprowadzić ten wynik w życie.

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Firma komórkowa ma dwie maszyny A i B. 54% wyprodukowanych telefonów komórkowych jest produkowanych przez maszynę A, a reszta przez maszynę B. Nie wszystkie produkowane telefony komórkowe są w dobrym stanie.

Odsetek wadliwych telefonów komórkowych wyprodukowanych przez A wynosi 0,2, a B wynosi 0,5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że telefon komórkowy wspomnianej fabryki jest wadliwy? Jakie jest prawdopodobieństwo, że wiedząc, że telefon komórkowy jest uszkodzony, pochodzą z maszyny A?

Rozwiązanie

Tutaj masz eksperyment, który odbywa się w dwóch częściach; w pierwszej części zdarzenia występują:

O: telefon komórkowy wykonany przez maszynę A.

B: telefon komórkowy wykonany przez maszynę B.

Ponieważ maszyna A produkuje 54% telefonów komórkowych, a reszta jest produkowana przez maszynę B, maszyna B produkuje 46% telefonów komórkowych. Podane są prawdopodobieństwa tych wydarzeń, a mianowicie:

P (A) = 0,54.

P (B) = 0,46.

Wydarzenia drugiej części eksperymentu to:

D: uszkodzona komórka.

E: nie uszkodzona komórka.

Jak stwierdzono w oświadczeniu, prawdopodobieństwa tych zdarzeń zależą od wyniku uzyskanego w pierwszej części:

P (D | A) = 0,2.

P (D | B) = 0,5.

Korzystając z tych wartości, można również określić prawdopodobieństwa uzupełnień tych zdarzeń, czyli:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0,2

= 0,8

i

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0,5

= 0,5.

Teraz zdarzenie D można zapisać w następujący sposób:

Stosując twierdzenie mnożenia dla prawdopodobieństwa warunkowego, uzyskuje się:

Z którym odpowiada pierwsze pytanie.

Teraz wystarczy obliczyć P (A | D), dla którego stosuje się twierdzenie Bayesa:

Dzięki twierdzeniu Bayesa można powiedzieć, że prawdopodobieństwo, że telefon komórkowy został wykonany przez maszynę A, wiedząc, że telefon komórkowy jest uszkodzony, wynosi 0,319.

Ćwiczenie 2

Trzy pudełka zawierają białe i czarne kulki. Skład każdego z nich jest następujący: U1 = 3B, 1N, U2 = 2B, 2N, U3 = 1B, 3N.

Jedno z pól jest wybierane losowo i wyrywana jest z niego losowa piłka, która okazuje się biała. Które pole najprawdopodobniej zostało wybrane?

Rozwiązanie

Poprzez U1, U2 i U3 reprezentujemy również wybrane pole.

Zdarzenia te stanowią podział S i sprawdza się, że P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, ponieważ wybór skrzynki jest losowy.

Jeśli B = wyodrębniona kula jest biała, będziemy mieli P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4 .

To, co chcemy uzyskać, to prawdopodobieństwo, że piłka została wyjęta z pudełka Ui wiedząc, że piłka była biała, to znaczy P (Ui | B) i zobacz, która z trzech wartości była najwyższa, aby wiedzieć, która pudełko najprawdopodobniej było wyciągnięciem białej kuli.

Zastosowanie twierdzenia Bayesa do pierwszego z pól:

A dla pozostałych dwóch:

P (U2 | B) = 2/6 i P (U3 | B) = 1/6.

Następnie pierwsze pole jest tym, które ma większe prawdopodobieństwo, że zostało wybrane do ekstrakcji białej kuli.

Referencje

  1. Kai Lai Chung Podstawowa teoria użyteczności z procesami stochastycznymi. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Matematyka dyskretna i jej zastosowania. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Prawdopodobieństwo i zastosowania statystyczne. S.A. MEKSYKAŃSKA ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Rozwiązane problemy z matematyką dyskretną. McGRAW-HILL.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teoria i problemy prawdopodobieństwa. McGRAW-HILL.