Twierdzenie Bernoulliego Równanie Bernoulliego, zastosowania i rozwiązane ćwiczenia



The Twierdzenie Bernoulliego, który opisuje zachowanie płynu w ruchu, został opisany przez matematyka i fizyka Daniela Bernoulli w jego pracy Hydrodynamika. Zgodnie z tą zasadą idealny płyn (bez tarcia lub lepkości), który jest w obiegu przez zamknięty przewód, będzie miał stałą energię na swojej drodze.

Twierdzenie można wywnioskować z zasady zachowania energii, a nawet z drugiej zasady dynamiki Newtona. Ponadto zasada Bernoulliego stwierdza również, że wzrost prędkości płynu oznacza spadek ciśnienia, któremu podlega, zmniejszenie jego energii potencjalnej lub obu jednocześnie.

Twierdzenie ma wiele różnych zastosowań, zarówno w odniesieniu do świata nauki, jak i codziennego życia ludzi.

Jego konsekwencje są obecne w sile samolotów, w kominach domów i przemysłu, w wodociągach, między innymi.

Indeks

  • 1 Równanie Bernoulliego
    • 1.1 Formularz uproszczony
  • 2 Aplikacje
  • 3 Ćwiczenie rozwiązane
  • 4 odniesienia

Równanie Bernoulliego

Chociaż Bernoulli był tym, który wywnioskował, że ciśnienie maleje wraz ze wzrostem prędkości przepływu, prawdą jest, że to Leonhard Euler opracował równanie Bernoulliego w sposób, w jaki jest obecnie znany..

W każdym razie równanie Bernoulliego, które jest niczym innym jak matematycznym wyrażeniem jego twierdzenia, jest następujące:

v2 ∙ ƿ / 2 + P + ƿ ∙ g ∙ z = stała

W tym wyrażeniu, v jest prędkością płynu w rozważanym przekroju, ƿ jest gęstością płynu, P jest ciśnieniem płynu, g jest wartością przyspieszenia grawitacji, a z jest wysokością zmierzoną w kierunku grawitacji.

W równaniu Bernoulliego wynika, że ​​energia płynu składa się z trzech elementów:

- Składnik kinetyczny, który jest wynikiem prędkości, z jaką porusza się płyn.

- Potencjał lub składnik grawitacyjny, który wynika z wysokości, na której znajduje się płyn.

- Energia ciśnienia, która jest tym, co płyn posiada w wyniku ciśnienia, któremu jest poddawana.

Z drugiej strony równanie Bernoulliego można również wyrazić następująco:

v12 ∙ ƿ / 2 + P1 + ƿ ∙ g ∙ z1 = v22 ∙ ƿ / 2 + P2 + ƿ ∙ g ∙ z2

To ostatnie wyrażenie jest bardzo praktyczne, aby analizować zmiany, których doświadcza płyn, gdy zmienia się jeden z elementów składających się na równanie.

Uproszczona forma

W pewnych przypadkach zmiana terminu ρgz równania Bernoulliego jest minimalna w porównaniu z tym, co doświadczają inne terminy, więc można go pominąć. Na przykład dzieje się to w prądach, których doświadcza samolot podczas lotu.

W takich przypadkach równanie Bernoulliego wyraża się następująco:

P + q = P0

W tym wyrażeniu q jest ciśnieniem dynamicznym i jest równe v 2 ∙ ƿ / 2 i P0 jest to tak zwane ciśnienie całkowite i jest sumą ciśnienia statycznego P i ciśnienia dynamicznego q.

Aplikacje

Twierdzenie Bernoulliego ma wiele różnych zastosowań w różnych dziedzinach, takich jak nauka, inżynieria, sport itp..

Interesująca aplikacja znajduje się w projektowaniu kominów. Kominy są zbudowane wysoko, aby uzyskać większą różnicę ciśnień między podstawą a wyjściem komina, dzięki czemu łatwiej jest wydobyć spaliny.

Oczywiście równanie Bernoulliego odnosi się również do badania ruchu przepływów cieczy w rurach. Z równania wynika, że ​​zmniejszenie poprzecznej powierzchni rury, w celu zwiększenia prędkości przepływającego przez nią płynu, również powoduje zmniejszenie ciśnienia.

Równanie Bernoulliego jest również używane w lotnictwie i pojazdach Formuły 1. W przypadku lotnictwa efekt Bernoulliego jest źródłem wsparcia samolotów.

Skrzydła samolotu zostały zaprojektowane w celu osiągnięcia większego przepływu powietrza w górnej części skrzydła.

Zatem w górnej części skrzydła prędkość powietrza jest wysoka, a zatem niższe ciśnienie. Ta różnica ciśnienia wytwarza siłę skierowaną pionowo w górę (siła nośna), która pozwala na trzymanie samolotu w powietrzu. Podobny efekt uzyskuje się w lotkach samochodów Formuły 1.

Zdecydowane ćwiczenie

Przez rurę o przekroju 4,2 cm2 strumień wody przepływa przy 5,18 m / s. Woda schodzi z wysokości 9,66 m do niższego poziomu o wysokości zero, podczas gdy poprzeczna powierzchnia rury wzrasta do 7,6 cm2.

a) Oblicz prędkość przepływu wody na niższym poziomie.

b) Określ ciśnienie na niższym poziomie, wiedząc, że ciśnienie na górnym poziomie wynosi 152000 Pa.

Rozwiązanie

a) Ponieważ przepływ musi być zachowany, spełnione jest, że:

Pnajwyższy poziom = Pniższy poziom

 v1 . S1 = v2 . S2

 5,18 m / s. 4,2 cm2 = v2 . 7,6 cm ^2

Czyszczenie, masz to:

v2 = 2,86 m / s

b) Zastosowanie twierdzenia Bernoulliego między dwoma poziomami i biorąc pod uwagę, że gęstość wody wynosi 1000 kg / m3 , masz to:

v12 ∙ ƿ / 2 + P1 + ƿ ∙ g ∙ z1 = v22 ∙ ƿ / 2 + P2 + ƿ ∙ g ∙ z2

(1/2). 1000 kg / m3 . (5,18 m / s)2 + 152000 + 1000 kg / m3 . 10 m / s2 . 9,66 m =

= (1/2). 1000 kg / m3 . (2,86 m / s)2 + P2 + 1000 kg / m3 . 10 m / s2 . 0 m

Czyszczenie P2 dojdziesz do:

P2 = 257926,4 Pa

Referencje

  1. Zasada Bernoulliego. (n.d.). W Wikipedii. Pobrane 12 maja 2018 r. Z es.wikipedia.org.
  2. Zasada Bernoulliego. (n.d.). W Wikipedii. Pobrane 12 maja 2018 r. Z en.wikipedia.org.
  3. Batchelor, G.K. (1967). Wprowadzenie do dynamiki płynów. Cambridge University Press.
  4. Lamb, H. (1993). Hydrodynamika (Wyd. 6). Cambridge University Press.
  5. Mott, Robert (1996). Mechanika stosowanych płynów (4 ed.). Meksyk: Pearson Education.