Rozumowanie algebraiczne (z rozwiązanymi ćwiczeniami)



The rozumowanie algebraiczne zasadniczo polega na przekazywaniu argumentu matematycznego za pomocą specjalnego języka, co czyni go bardziej rygorystycznym i ogólnym, wykorzystując zmienne algebraiczne i operacje zdefiniowane między sobą. Cechą matematyki jest logiczny rygor i abstrakcyjna tendencja stosowana w jej argumentach.

W tym celu należy znać poprawną „gramatykę”, która powinna być użyta w tym piśmie. Ponadto rozumowanie algebraiczne unika dwuznaczności w uzasadnieniu argumentu matematycznego, który jest niezbędny do wykazania jakiegokolwiek wyniku w matematyce.

Indeks

  • 1 Zmienne algebraiczne
  • 2 Wyrażenia algebraiczne
    • 2.1 Przykłady
  • 3 rozwiązane ćwiczenia
    • 3.1 Pierwsze ćwiczenie
    • 3.2 Drugie ćwiczenie
    • 3.3 Trzecie ćwiczenie
  • 4 odniesienia

Zmienne algebraiczne

Zmienna algebraiczna jest po prostu zmienną (literą lub symbolem), która reprezentuje pewien obiekt matematyczny.

Na przykład litery x, y, z są zwykle używane do reprezentowania liczb, które spełniają dane równanie; litery p, q r, do reprezentowania formuł zdaniowych (lub ich odpowiednich liter, aby reprezentować konkretne zdania); oraz litery A, B, X itd., aby reprezentować zestawy.

Termin „zmienna” podkreśla, że ​​przedmiotowy obiekt nie jest stały, ale zmienia się. Tak jest w przypadku równania, w którym zmienne są używane do określenia rozwiązań, które w zasadzie są nieznane.

Ogólnie rzecz biorąc, zmienna algebraiczna może być traktowana jako litera reprezentująca jakiś obiekt, niezależnie od tego, czy jest on stały, czy nie.

Podobnie jak zmienne algebraiczne są używane do reprezentowania obiektów matematycznych, możemy również rozważyć symbole reprezentujące operacje matematyczne.

Na przykład symbol „+” reprezentuje operację „suma”. Innymi przykładami są różne notacje symboliczne logicznego łącznika w przypadku zdań i zbiorów.

Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne jest kombinacją zmiennych algebraicznych za pomocą wcześniej zdefiniowanych operacji. Przykładami tego są podstawowe operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia między liczbami, lub logiczne łączniki w zdaniach i zbiorach.

Rozumowanie algebraiczne odpowiada za wyrażenie argumentu lub argumentu matematycznego za pomocą wyrażeń algebraicznych.

Ta forma ekspresji pomaga uprościć i skrócić pisanie, ponieważ wykorzystuje notacje symboliczne i pozwala nam lepiej zrozumieć rozumowanie, prezentując je w jaśniejszy i bardziej precyzyjny sposób.

Przykłady

Zobaczmy kilka przykładów, które pokazują, jak rozumowanie algebraiczne jest używane. Bardzo regularnie służy do rozwiązywania problemów logiki i rozumowania, jak zobaczymy wkrótce.

Rozważ dobrze znaną propozycję matematyczną „suma dwóch liczb jest przemienna”. Zobaczmy, jak możemy wyrazić to twierdzenie algebraicznie: podając dwie liczby „a” i „b”, co oznacza to twierdzenie, że a + b = b + a.

Rozumowanie użyte do interpretacji pierwotnego twierdzenia i wyrażenia go w terminach algebraicznych jest rozumowaniem algebraicznym.

Możemy również wspomnieć o słynnym wyrażeniu „kolejność czynników nie zmienia produktu”, co odnosi się do faktu, że iloczyn dwóch liczb jest również przemienny, i algebraicznie wyrażony jako axb = bxa.

Podobnie, właściwości asocjacyjne i dystrybucyjne mogą być wyrażone (i faktycznie wyrażone) algebraicznie dla dodania i produktu, w którym uwzględniono odejmowanie i dzielenie..

Ten rodzaj rozumowania obejmuje bardzo szeroki język i jest używany w wielu różnych kontekstach. W zależności od każdego przypadku, w tych kontekstach musimy rozpoznawać wzorce, interpretować stwierdzenia i uogólniać i formalizować ich wyrażanie w terminach algebraicznych, zapewniając prawidłowe i sekwencyjne rozumowanie.

Rozwiązane ćwiczenia

Oto kilka problemów logicznych, które rozwiążemy za pomocą rozumowania algebraicznego:

Pierwsze ćwiczenie

Jaka jest liczba, która poprzez usunięcie połowy jest równa jeden?

Rozwiązanie

Aby rozwiązać ten typ ćwiczeń, bardzo przydatne jest przedstawienie wartości, którą chcemy określić za pomocą zmiennej. W tym przypadku chcemy znaleźć liczbę, która po usunięciu połowy daje numer jeden. Oznaczyć x poszukiwanej liczby.

„Usunięcie połowy” do liczby oznacza podzielenie jej przez 2. Zatem powyższe można wyrazić algebraicznie jako x / 2 = 1, a problem sprowadza się do rozwiązania równania, które w tym przypadku jest liniowe i bardzo proste do rozwiązania. Wyczyszczenie x uzyskujemy, że rozwiązaniem jest x = 2.

Podsumowując, 2 to liczba, która poprzez usunięcie połowy jest równa 1.

Drugie ćwiczenie

Ile minut pozostało do północy, jeśli brakowało 10 minut 5/3 tego, czego teraz brakuje?

Rozwiązanie

Oznacz jako „z” liczbę minut pozostałych do północy (można użyć dowolnej innej litery). To znaczy, że teraz brakuje „z” minut na północ. Oznacza to, że brakowało 10 minut „z + 10” minut na północ, a to odpowiada 5/3 tego, czego obecnie brakuje; to znaczy (5/3) z.

Następnie problem zostaje zredukowany do rozwiązania równania z + 10 = (5/3) z. Mnożąc obie strony równości przez 3, otrzymasz równanie 3z + 30 = 5z.

Teraz, grupując zmienną „z” po jednej stronie równości, otrzymujemy 2z = 15, co oznacza, że ​​z = 15.

Dlatego do północy pozostało 15 minut.

Trzecie ćwiczenie

W plemieniu, które praktykuje handel wymienny, istnieją następujące równoważności

- Włócznia i naszyjnik zostają zamienione na tarczę.

- Włócznia jest odpowiednikiem noża i naszyjnika.

- Dwie tarcze są wymieniane na trzy jednostki noży.

Ile kołnierzyków jest odpowiednikiem włóczni??

Rozwiązanie

Sean:

Co = naszyjnik

L = włócznia

E = tarcza

Cu = nóż

Następnie mamy następujące relacje:

Co + L = E

L = Co + Cu

2E = 3Cu

Problem sprowadza się do rozwiązania układu równań. Pomimo większej liczby niewiadomych niż równania, system ten można rozwiązać, ponieważ nie pytają nas o konkretne rozwiązanie, ale jedną ze zmiennych zależną od innej. Musimy jedynie wyrazić „Co” w funkcji „L”.

Z drugiego równania mamy Cu = L - Co. Zastępując w trzecim otrzymujemy E = (3L - 3Co) / 2. Wreszcie, zastępując pierwsze równanie i upraszczając je, otrzymujemy, że 5Co = L; to znaczy, że włócznia równa się pięciu kołnierzom.

Referencje

  1. Billstein, R., Libeskind, S., i Lott, J. W. (2013). Matematyka: podejście do rozwiązywania problemów dla nauczycieli edukacji podstawowej. López Mateos Editores.
  2. Źródła, A. (2016). PODSTAWOWA MATEMATYKA. Wprowadzenie do obliczeń. Lulu.com.
  3. García Rua, J. i Martínez Sánchez, J. M. (1997). Podstawowa matematyka podstawowa. Ministerstwo Edukacji.
  4. Rees, P. K. (1986). Algebra. Reverte.
  5. Rock, N. M. (2006). Algebra I jest łatwa! Tak łatwo. Team Rock Press.
  6. Smith, S.A. (2000). Algebra. Pearson Education.
  7. Szecsei, D. (2006). Podstawowa matematyka i pre-algebra (zilustrowane ed.). Prasa zawodowa.