Właściwości równości

The właściwości równości odnoszą się do relacji między dwoma obiektami matematycznymi, liczbami lub zmiennymi. Jest oznaczony symbolem „=”, który zawsze przechodzi pomiędzy tymi dwoma obiektami. To wyrażenie służy do ustalenia, że ​​dwa obiekty matematyczne reprezentują ten sam obiekt; innymi słowy, dwa obiekty są tym samym.

Istnieją przypadki, w których używanie równości jest trywialne. Na przykład jasne jest, że 2 = 2. Jednak jeśli chodzi o zmienne, nie jest już trywialne i ma określone zastosowania. Na przykład, jeśli masz y = x, az drugiej strony x = 7, możesz stwierdzić, że y = 7 również.

Poprzedni przykład opiera się na jednej z właściwości równości, co będzie widoczne wkrótce. Właściwości te są niezbędne do rozwiązywania równań (równości zmiennych), które stanowią bardzo ważną część matematyki.

Indeks

• 1 Jakie są właściwości równości?
  • 1.1 Właściwość odblaskowa
  • 1.2 Właściwość symetryczna
  • 1.3 Własność przechodnia
  • 1.4 Jednolita własność
  • 1.5 Nieruchomość anulowana
  • 1.6 Właściwość zastępcza
  • 1.7 Własność władzy w równości
  • 1.8 Własność pierwiastka w równości
• 2 referencje

Jakie są właściwości równości?

Właściwość odblaskowa

Właściwość refleksyjna w przypadku równości stwierdza, że ​​każda liczba jest równa sobie i jest wyrażona jako b = b dla dowolnej liczby rzeczywistej b.

W szczególnym przypadku równości ta właściwość wydaje się być oczywista, ale w innym typie relacji między liczbami tak nie jest. Innymi słowy, nie każda relacja liczb rzeczywistych spełnia tę właściwość. Na przykład taki przypadek relacji „mniej niż” (<); ningún número es menor que sí mismo.

Właściwość symetryczna

Symetryczna właściwość równości mówi, że jeśli a = b, to b = a. Bez względu na kolejność w zmiennych, zostanie zachowana relacja równości.

Pewną analogię tej właściwości można zaobserwować w przypadku właściwości przemiennej w przypadku dodawania. Na przykład z powodu tej właściwości jest równoważne zapisanie y = 4 lub 4 = y.

Własność przechodnia

Własność przechodnia w równaniu stwierdza, że ​​jeśli a = b i b = c, to a = c. Na przykład 2 + 7 = 9 i 9 = 6 + 3; dlatego przez własność przechodnią mamy 2 + 7 = 6 + 3.

Prosta aplikacja jest następująca: załóżmy, że Julian ma 14 lat, a Mario jest w tym samym wieku co Rosa. Jeśli Rosa jest w tym samym wieku co Julian, ile lat ma Mario??

Za tym scenariuszem właściwość przechodnia jest używana dwukrotnie. Matematycznie jest to interpretowane w ten sposób: bądź „wiekiem Mario”, „wiekiem Rosy i” c ”wiekiem Juliana. Wiadomo, że b = c i że c = 14.

Dla właściwości przechodnich mamy b = 14; to znaczy Rosa ma 14 lat. Ponieważ a = b i b = 14, używając ponownie własności przechodnich, mamy a = 14; to znaczy, że wiek Mario wynosi również 14 lat.

Jednolita własność

Jednolita właściwość polega na tym, że jeśli obie strony równości zostaną dodane lub pomnożone przez tę samą kwotę, zachowana zostanie równość. Na przykład, jeśli 2 = 2, to 2 + 3 = 2 + 3, co jest jasne, a następnie 5 = 5. Ta właściwość ma większą użyteczność, jeśli chodzi o rozwiązanie równania.

Na przykład załóżmy, że jesteś proszony o rozwiązanie równania x-2 = 1. Dobrze jest pamiętać, że rozwiązanie równania polega na jednoznacznym określeniu zmiennej (lub zmiennych), w oparciu o konkretną liczbę lub wcześniej określoną zmienną.

Wracając do równania x-2 = 1, należy wyraźnie określić, ile jest warte x. Aby to zrobić, zmienna musi zostać wyczyszczona.

Błędnie nauczono, że w tym przypadku, ponieważ liczba 2 jest ujemna, przechodzi na drugą stronę równości ze znakiem pozytywnym. Ale nie jest właściwe, aby to powiedzieć w ten sposób.

Zasadniczo czynione jest stosowanie jednolitej właściwości, jak zobaczymy poniżej. Chodzi o usunięcie „x”; to znaczy, zostaw to samo po jednej stronie równania. Zgodnie z konwencją zwykle jest po lewej stronie.

W tym celu liczba, którą chcesz „wyeliminować”, to -2. Sposobem na to byłoby dodanie 2, ponieważ -2 + 2 = 0 i x + 0 = 0. Aby móc to zrobić bez zmiany równości, tę samą operację należy zastosować po drugiej stronie.

Umożliwia to realizację jednolitej właściwości: jako x-2 = 1, jeśli liczba 2 jest dodawana po obu stronach równości, właściwość jednolita mówi, że to samo nie jest zmieniane. Następnie mamy x-2 + 2 = 1 + 2, co jest równoważne stwierdzeniu, że x = 3. Dzięki temu równanie zostanie rozwiązane.

Podobnie, jeśli chcesz rozwiązać równanie (1/5) y-1 = 9, możesz przystąpić do używania jednolitej właściwości w następujący sposób:

Mówiąc bardziej ogólnie, można sformułować następujące stwierdzenia:

- Jeśli a-b = c-b, to a = c.

- Jeśli x-b = y, to x = y + b.

- Jeśli (1 / a) z = b, to z = a ×

- Jeśli (1 / c) a = (1 / c) b, to a = b.

Właściwość anulowania

Właściwość anulowania jest szczególnym przypadkiem jednolitej własności, szczególnie biorąc pod uwagę przypadek odejmowania i dzielenia (który ostatecznie odpowiada również dodawaniu i mnożeniu). Ta właściwość traktuje tę sprawę oddzielnie.

Na przykład, jeśli 7 + 2 = 9, a następnie 7 = 9-2. Lub jeśli 2y = 6, to y = 3 (dzielenie przez dwa po obu stronach).

Analogicznie do poprzedniego przypadku, poprzez właściwość anulowania można ustalić następujące stwierdzenia:

- Jeśli a + b = c + b, to a = c.

- Jeśli x + b = y, to x = y-b.

- Jeśli az = b, to z = b / a.

- Jeśli ca = cb, to a = b.

Właściwość zastępcza

Jeśli znamy wartość obiektu matematycznego, właściwość podstawienia stwierdza, że ​​tę wartość można zastąpić dowolnym równaniem lub wyrażeniem. Na przykład, jeśli b = 5 i a = bx, a następnie podstawiając wartość „b” w drugiej równości, mamy a = 5x.

Inny przykład jest następujący: jeśli „m” dzieli „n”, a także „n” dzieli „m”, to musi to być m = n.

W efekcie stwierdzenie, że „m” dzieli „n” (lub równoważnie, że „m” jest dzielnikiem „n”) oznacza, że ​​podział m ÷ n jest dokładny; to znaczy, dzieląc „m” przez „n”, otrzymujemy liczbę całkowitą, a nie liczbę dziesiętną. Można to wyrazić mówiąc, że istnieje liczba całkowita „k” taka, że ​​m = k × n.

Ponieważ „n” dzieli również „m”, to istnieje liczba całkowita „p” taka, że ​​n = p × m. Dla właściwości substytucji mamy, że n = p × k × n, a żeby tak się stało, istnieją dwie możliwości: n = 0, w którym to przypadku mielibyśmy tożsamość 0 = 0; lub p × k = 1, gdzie tożsamość musiałaby być n = n.

Załóżmy, że „n” jest niezerowe. Wtedy koniecznie p × k = 1; dlatego p = 1 i k = 1. Używając ponownie właściwości substytucji, gdy podstawia się k = 1 w równości m = k × n (lub równoważnie, p = 1 w n = p × m), w końcu otrzymuje się, że m = n, co było tym, co chcieliśmy wykazać.

Własność władzy w równości

Jak poprzednio zauważono, że jeśli operacja jest wykonywana jako suma, mnożenie, odejmowanie lub dzielenie w obu kategoriach równości, jest zachowywana, w taki sam sposób, w jaki można zastosować inne operacje, które nie zmieniają równości.

Najważniejsze jest, aby zawsze robić to po obu stronach równości i upewnić się z wyprzedzeniem, że operacja może zostać przeprowadzona. Tak jest w przypadku inicjacji; to znaczy, jeśli obie strony równania zostaną podniesione do tej samej mocy, nadal istnieje równość.

Na przykład jako 3 = 3, a następnie 3²= 3² (9 = 9). Ogólnie rzecz biorąc, podano liczbę całkowitą „n”, jeśli x = y, to xⁿ= yⁿ.

Własność korzenia w równości

Jest to szczególny przypadek wzmocnienia i jest stosowany, gdy moc jest liczbą całkowitą nie będącą liczbą całkowitą, taką jak ½, która reprezentuje pierwiastek kwadratowy. Ta właściwość stanowi, że jeśli ten sam korzeń zostanie zastosowany po obu stronach równości (tam, gdzie to możliwe), zachowana zostanie równość.

W przeciwieństwie do poprzedniego przypadku, musisz uważać na parzystość korzenia, która ma być zastosowana, ponieważ dobrze wiadomo, że parzysty pierwiastek liczby ujemnej nie jest dobrze zdefiniowany.

W przypadku, gdy rodnik jest równy, nie ma problemu. Na przykład, jeśli x³= -8, chociaż jest to równość, nie można na przykład zastosować pierwiastka kwadratowego po obu stronach. Jeśli jednak możesz zastosować pierwiastek sześcienny (co jest jeszcze wygodniejsze, jeśli chcesz wyraźnie znać wartość x), uzyskując, że x = -2.

Referencje

1. Aylwin, C. U. (2011). Logika, zestawy i liczby. Merida - Wenezuela: Rada Publikacji, Universidad de Los Andes.
2. Jiménez, J., Rofríguez, M., i Estrada, R. (2005). Matematyka 1 SEP. Próg.
3. Lira, M. L. (1994). Simon and Mathematics: Tekst matematyczny na drugi rok podstawowy: książka ucznia. Andres Bello.
4. Preciado, C. T. (2005). Kurs matematyczny 3o. Progreso wydawnicze.
5. Segovia, B. R. (2012). Działania matematyczne i gry z Miguelem i Lucią. Baldomero Rubio Segovia.
6. Toral, C. i Preciado, M. (1985). 2. Kurs matematyczny. Progreso wydawnicze.