Metoda minimalnego kwadratu, rozwiązane ćwiczenia i funkcje



Metoda najmniej kwadratów jest jedną z najważniejszych aplikacji w przybliżaniu funkcji. Chodzi o to, aby znaleźć krzywą taką, że przy danym zestawie uporządkowanych par funkcja ta lepiej przybliża dane. Funkcją może być linia, krzywa kwadratowa, krzywa sześcienna itp..

Ideą metody jest zminimalizowanie sumy kwadratów różnic w rzędnych (komponent Y), między punktami wygenerowanymi przez wybraną funkcję a punktami należącymi do zbioru danych.

Indeks

  • 1 metoda najmniejszych kwadratów
  • 2 rozwiązane ćwiczenia
    • 2.1 Ćwiczenie 1
    • 2.2 Ćwiczenie 2
  • 3 Po co to jest??
  • 4 odniesienia

Metoda najmniejszych kwadratów

Przed podaniem metody musimy najpierw jasno określić, co oznacza „lepsze podejście”. Przypuśćmy, że szukamy linii y = b + mx, która najlepiej reprezentuje zbiór n punktów, mianowicie (x1, y1), (x2, y2) ..., (xn, yn).

Jak pokazano na poprzednim rysunku, jeśli zmienne x i y były powiązane linią y = b + mx, to dla x = x1 odpowiednia wartość y wynosiłaby b + mx1. Jednak ta wartość różni się od prawdziwej wartości y, która wynosi y = y1.

Przypomnijmy, że w płaszczyźnie odległość między dwoma punktami jest określona następującym wzorem:

Mając to na uwadze, aby określić, jak wybrać linię y = b + mx, która najlepiej przybliża dane, sensowne jest użycie wyboru linii, która minimalizuje sumę kwadratów odległości między punktami jako kryteriów i prosto.

Ponieważ odległość między punktami (x1, y1) i (x1, b + mx1) wynosi y1- (b + mx1), nasz problem sprowadza się do znalezienia liczb m i b takich, że następująca suma jest minimalna:

Linia, która spełnia ten warunek, jest znana jako „przybliżenie linii najmniejszych kwadratów do punktów (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)”.

Gdy problem zostanie rozwiązany, musimy wybrać metodę, aby znaleźć przybliżenie najmniejszych kwadratów. Jeśli punkty (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) są wszystkie na linii y = mx + b, musielibyśmy być współliniowe i:

W tym wyrażeniu:

Wreszcie, jeśli punkty nie są współliniowe, to y-Au = 0, a problem można przełożyć na znalezienie wektora lub takiego, że norma euklidesowa jest minimalna.

Znalezienie wektora minimalizacji nie jest tak trudne, jak mogłoby się wydawać. Ponieważ A jest macierzą nx2, a u jest macierzą 2 × 1, mamy, że wektor Au jest wektorem w Rn i należy do obrazu A, który jest podprzestrzenią Rn o wymiarze nie większym niż dwa.

Zakładamy, że n = 3, aby pokazać, która procedura powinna być przestrzegana. Jeśli n = 3, obraz A będzie płaszczyzną lub linią przechodzącą przez początek.

Niech v będzie wektorem minimalizującym. Na rysunku obserwujemy, że y-Au jest zminimalizowane, gdy jest ortogonalne do obrazu A. Oznacza to, że jeśli v jest wektorem minimalizującym, to zdarza się, że:

Następnie możemy wyrazić powyższe w ten sposób:

Może się to zdarzyć tylko, jeśli:

Wreszcie, wyczyszczenie v, musimy:

Można to zrobić od AtA jest odwracalne, o ile n punktów podanych jako dane nie są współliniowe.

Teraz, jeśli zamiast szukać linii, chcemy znaleźć parabolę (której wyrażenie będzie miało postać y = a + bx + cx2), które było lepszym przybliżeniem n punktów danych, procedura byłaby opisana poniżej.

Gdyby n punktów danych znajdowało się we wspomnianej paraboli, musiałoby to:

Następnie:

W podobny sposób możemy napisać y = Au. Jeśli wszystkie punkty nie znajdują się w paraboli, mamy, że y-Au różni się od zera dla każdego wektora u, a naszym problemem jest ponownie: znaleźć wektor u w R3 tak, że jego norma || y-Au || być jak najmniejszy.

Powtarzając poprzednią procedurę, możemy dojść do szukanego wektora:

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Znajdź linię, która najlepiej pasuje do punktów (1,4), (-2,5), (3, -1) i (4,1).

Rozwiązanie

Musimy:

Następnie:

Dlatego dochodzimy do wniosku, że linia, która najlepiej pasuje do punktów, jest określana przez:

Ćwiczenie 2

Załóżmy, że obiekt jest upuszczony z wysokości 200 m. Podczas upadku podejmowane są następujące środki:

Wiemy, że wysokość tego obiektu, po upływie czasu t, daje:

Jeśli chcemy uzyskać wartość g, możemy znaleźć parabolę, która jest lepszym przybliżeniem do pięciu punktów podanych w tabeli, a zatem mielibyśmy współczynnik towarzyszący2 rozsądne przybliżenie to (-1/2) g, jeśli pomiary są dokładne.

Musimy:

A potem:

Punkty danych są korygowane przez następujące wyrażenie kwadratowe:

Następnie musisz:

Jest to wartość, która jest dość zbliżona do właściwej, która wynosi g = 9,81 m / s2. Aby uzyskać dokładniejsze przybliżenie g, konieczne byłoby rozpoczęcie od bardziej precyzyjnych obserwacji.

Po co to jest??

W problemach występujących w naukach przyrodniczych lub społecznych wygodnie jest pisać relacje zachodzące między różnymi zmiennymi za pomocą jakiegoś matematycznego wyrażenia.

Na przykład możemy powiązać koszt (C), dochód (I) i zyski (U) w ekonomii za pomocą prostej formuły:

W fizyce możemy powiązać przyspieszenie spowodowane grawitacją, czas, w którym obiekt spada i wysokość obiektu zgodnie z prawem:

W poprzednim wyrażeniu so jest początkową wysokością obiektu i vo jest twoja początkowa prędkość.

Jednak znalezienie takich formuł nie jest prostym zadaniem; Zwykle do obowiązków profesjonalisty należy praca z wieloma danymi i powtarzanie kilku eksperymentów (w celu sprawdzenia, czy uzyskane wyniki są stałe), aby znaleźć relacje między różnymi danymi.

Typowym sposobem osiągnięcia tego jest przedstawienie danych uzyskanych w płaszczyźnie jako punktów i poszukiwanie funkcji ciągłej, która optymalnie zbliża się do tych punktów.

Jednym ze sposobów znalezienia funkcji, która „najlepiej przybliża” dane, jest metoda najmniejszych kwadratów.

Ponadto, jak widzieliśmy również w ćwiczeniu, dzięki tej metodzie możemy uzyskać przybliżenia dość zbliżone do stałych fizycznych.

Referencje

  1. Charles W Curtis Algebra liniowa. Springer-Velarg
  2. Kai Lai Chung Podstawowa teoria użyteczności z procesami stochastycznymi. Springer-Verlag New York Inc
  3. Richar L Burden i J.Douglas Faires. Analiza numeryczna (7ed). Thompson Learning.
  4. Stanley I. Grossman. Zastosowania algebry liniowej. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
  5. Stanley I. Grossman. Algebra liniowa MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO