Matematyka dyskretna, czym służą, teoria zbiorów



The dyskretna matematyka odpowiadają obszarowi matematyki odpowiedzialnemu za badanie zbioru liczb naturalnych; to znaczy zbiór skończonych i nieskończonych liczb policzalnych, w których elementy można liczyć osobno, jeden po drugim.

Zestawy te są znane jako zestawy dyskretne; Przykładem tych zbiorów są liczby całkowite, wykresy lub wyrażenia logiczne i są one stosowane w różnych dziedzinach nauki, głównie w informatyce lub informatyce.

Indeks

  • 1 Opis
  • 2 Do czego służy matematyka dyskretna??
    • 2.1 Kombinatoryczne
    • 2.2 Teoria rozkładu dyskretnego
    • 2.3 Teoria informacji
    • 2.4 Obliczenia
    • 2.5 Kryptografia
    • 2.6 Logika
    • 2.7 Teoria wykresów
    • 2.8 Geometria
  • 3 Teoria zbiorów
    • 3.1 Zestaw skończony
    • 3.2 Nieskończony zestaw księgowy
  • 4 odniesienia

Opis

W dyskretnych procesach matematycznych można policzyć na podstawie liczb całkowitych. Oznacza to, że liczby dziesiętne nie są używane, a zatem przybliżenie lub ograniczenia nie są używane, jak w innych obszarach. Na przykład jeden nieznany może być równy 5 lub 6, ale nigdy 4,99 lub 5,9.

Z drugiej strony, w graficznej reprezentacji zmienne będą dyskretne i są podawane ze skończonego zbioru punktów, które są liczone jeden po drugim, jak widać na obrazku:

Dyskretna matematyka rodzi się z potrzeby uzyskania dokładnego badania, które można połączyć i przetestować, aby zastosować je w różnych obszarach.

Do czego służy matematyka dyskretna??

Dyskretna matematyka jest używana w wielu obszarach. Do głównych należą:

Kombinatoryczny

Zbadaj skończone zbiory, w których elementy można uporządkować lub połączyć i policzyć.

Teoria rozkładu dyskretnego

Zbadaj zdarzenia występujące w przestrzeniach, w których próbki mogą być policzalne, w których rozkłady ciągłe są używane do przybliżenia rozkładów dyskretnych lub w inny sposób.

Teoria informacji

Odnosi się do kodowania informacji, wykorzystywanych do projektowania i przesyłania oraz przechowywania danych, takich jak na przykład sygnały analogowe.

IT

Dzięki dyskretnym rozwiązaniom matematycznym rozwiązuje się problemy za pomocą algorytmów, a także bada, co można obliczyć i jak to zrobić (złożoność).

Znaczenie dyskretnej matematyki w tym obszarze wzrosło w ostatnich dziesięcioleciach, zwłaszcza w zakresie rozwoju języków programowania i oprogramowanie.

Kryptografia

Opiera się na dyskretnej matematyce do tworzenia struktur bezpieczeństwa lub metod szyfrowania. Przykładem tej aplikacji są hasła, wysyłające oddzielnie bity zawierające informacje.

Dzięki badaniu właściwości liczb całkowitych i liczb pierwszych (teoria liczb) mogą tworzyć lub niszczyć te metody bezpieczeństwa.

Logika

Stosowane są struktury dyskretne, które zwykle tworzą skończony zbiór, aby udowodnić twierdzenia lub, na przykład, zweryfikować oprogramowanie.

Teoria wykresów

Umożliwia rozwiązywanie problemów logicznych za pomocą węzłów i linii tworzących typ wykresu, jak pokazano na poniższym obrazie:

Jest to obszar ściśle powiązany z matematyką dyskretną, ponieważ wyrażenia algebraiczne są dyskretne. Dzięki temu opracowywane są obwody elektroniczne, procesory, programowanie (algebra Boole'a) i bazy danych (algebra relacyjna)..

Geometria

Zbadaj kombinatoryczne właściwości obiektów geometrycznych, takich jak powłoka płaszczyzny. Z drugiej strony geometria obliczeniowa umożliwia opracowanie problemów geometrycznych poprzez zastosowanie algorytmów.

Teoria zbiorów

W dyskretnych zestawach matematyki (skończone i nieskończone numeryczne) głównym celem badania. Teorię zbiorów opublikował George Cantor, który wykazał, że wszystkie nieskończone zbiory mają ten sam rozmiar.

Zestaw to grupa elementów (liczb, rzeczy, zwierząt i ludzi, między innymi), które są dobrze zdefiniowane; to znaczy, istnieje relacja, zgodnie z którą każdy element należy do zbioru, i jest wyrażana na przykład do ∈ A.

W matematyce istnieją różne zestawy, które grupują pewne liczby według ich cech. Na przykład masz:

- Zestaw liczb naturalnych N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... + ∞.

- Zestaw liczb całkowitych E = -∞ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... + ∞.

- Podzbiór liczb wymiernych Q * = -∞ ..., - ¼, - ½, 0, ¼, ½, ... ∞.

- Zestaw liczb rzeczywistych R = -∞ ..., - ½, -1, 0, ½, 1, ... ∞.

Zestawy są nazywane literami alfabetu, pisane wielką literą; natomiast elementy są nazywane małymi literami, wewnątrz nawiasów klamrowych () i oddzielone przecinkami (,). Są one zwykle przedstawiane na diagramach, takich jak Venna i Caroll, a także obliczeniowo.

W przypadku podstawowych operacji, takich jak połączenie, przecięcie, uzupełnienie, różnica i produkt kartezjański, zbiory i ich elementy są zarządzane w oparciu o relację przynależności.

Istnieje kilka rodzajów zestawów, z których najbardziej studiowano w dyskretnej matematyce:

Skończony zestaw

Jest to taka, która ma skończoną liczbę elementów i odpowiada naturalnej liczbie. Na przykład A = 1, 2, 3,4 jest skończonym zbiorem, który ma 4 elementy.

Nieskończony zestaw księgowy

Jest to ta, w której istnieje zgodność między elementami zbioru a liczbami naturalnymi; to znaczy, że z elementu można wymienić kolejno wszystkie elementy zestawu.

W ten sposób każdy element będzie odpowiadał każdemu elementowi zbioru liczb naturalnych. Na przykład:

Zbiór liczb całkowitych Z = ... -2, -1, 0, 1, 2 ... może być wymieniony jako Z = 0, 1, -1, 2, -2 .... W ten sposób możliwe jest nawiązanie relacji jeden-do-jednego między elementami Z i liczbami naturalnymi, jak pokazano na poniższym obrazku:

Jest to metoda stosowana do rozwiązywania ciągłych problemów (modeli i równań), które muszą zostać przekształcone w dyskretne problemy, w których rozwiązanie znane jest z aproksymacji rozwiązania problemu ciągłego.

W inny sposób dyskretyzacja próbuje wyodrębnić skończoną ilość z nieskończonego zbioru punktów; w ten sposób jednostka ciągła jest przekształcana w pojedyncze jednostki.

Zasadniczo ta metoda jest wykorzystywana w analizie numerycznej, jak na przykład w rozwiązaniu równania różniczkowego, za pomocą funkcji, która jest reprezentowana przez skończoną ilość danych w swojej domenie, nawet gdy jest ciągła.

Innym przykładem dyskretyzacji jest wykorzystanie do konwersji sygnału analogowego na cyfrowy, gdy ciągłe jednostki sygnału są konwertowane na pojedyncze jednostki (są dyskretne), a następnie kodowane i kwantyzowane w celu uzyskania sygnału cyfrowego.

Referencje

  1. Grimaldi, R. P. (1997). Matematyka dyskretna i kombinatoryczna. Addison Wesley Iberoamericana.
  2. Ferrando, V. Gregori. (1995). Matematyka dyskretna Reverte.
  3. Jech, T. (2011). Ustaw teorię. Stanford Encyclopedia of Philosophy.
  4. José Francisco Villalpando Becerra, A. G. (2014). Matematyka dyskretna: aplikacje i ćwiczenia. Grupa redakcyjna Patria.
  5. Landau, R. (2005). Computing, pierwszy kurs naukowy.
  6. Merayo, F. G. (2005). Matematyka dyskretna. Thomson Editorial.
  7. Rosen, K. H. (2003). Matematyka dyskretna i jej zastosowania. McGraw-Hill.
  8. Schneider, D. G. (1995). Logiczne podejście do dyskretnej matematyki.