Prawa wykładników (z rozwiązanymi przykładami i ćwiczeniami)

The prawa wykładników są tymi, które odnoszą się do tej liczby, która wskazuje, ile razy liczba podstawowa musi być pomnożona sama przez się. Wykładniki są również znane jako moce. Wzmocnienie to operacja matematyczna składająca się z podstawy (a), wykładnika (m) i mocy (b), która jest wynikiem operacji.

Wykładniki są zwykle używane, gdy używane są bardzo duże ilości, ponieważ są to tylko skróty, które reprezentują mnożenie tej samej liczby określoną liczbę razy. Wykładniki mogą być zarówno pozytywne, jak i negatywne.

Indeks

• 1 Wyjaśnienie praw wykładników
  • 1.1 Pierwsze prawo: moc wykładnika równa 1
  • 1.2 Drugie prawo: moc wykładnika równa 0
  • 1.3 Prawo trzecie: wykładnik ujemny
  • 1.4 Czwarte prawo: mnożenie uprawnień z jednakową podstawą
  • 1.5 Piąte prawo: podział władzy z jednakową podstawą
  • 1.6 Szóste prawo: mnożenie uprawnień z inną bazą
  • 1.7 Siódme prawo: podział władzy z inną bazą
  • 1.8 Ósma ustawa: moc mocy
  • 1.9 Prawo dziewiąte: wykładnik ułamkowy
• 2 rozwiązane ćwiczenia
  • 2.1 Ćwiczenie 1
  • 2.2 Ćwiczenie 2
• 3 referencje

Wyjaśnienie praw wykładników

Jak wspomniano wcześniej, wykładniki są formą skróconą, która kilkakrotnie reprezentuje mnożenie liczb, gdzie wykładnik odnosi się tylko do liczby po lewej stronie. Na przykład:

2³ = 2 * 2 * 2 = 8

W takim przypadku liczba 2 jest podstawą mocy, która zostanie pomnożona 3 razy, jak wskazuje wykładnik, znajdujący się w prawym górnym rogu bazy. Istnieją różne sposoby czytania wyrażenia: 2 podniesione do 3 lub 2 podniesione do kostki.

Wykładniki wskazują również, ile razy można je podzielić, a aby odróżnić tę operację od mnożenia, wykładnik niesie ze sobą znak minus (-) przed nim (jest ujemny), co oznacza, że ​​wykładnik znajduje się w mianowniku frakcja. Na przykład:

2^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

Nie należy tego mylić z przypadkiem, w którym podstawa jest ujemna, ponieważ zależy ona od tego, czy wykładnik jest parzysty czy nieparzysty, aby określić, czy moc będzie dodatnia czy ujemna. Więc musisz:

- Jeśli wykładnik jest równy, moc będzie dodatnia. Na przykład:

(-7)² = -7 _* -7 = 49.

- Jeśli wykładnik jest nieparzysty, moc będzie ujemna. Na przykład:

(-2)⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Istnieje specjalny przypadek, w którym jeśli wykładnik jest równy 0, moc jest równa 1. Istnieje również możliwość, że podstawa wynosi 0; w takim przypadku, w zależności od narażenia, moc będzie nieokreślona lub nie.

Aby wykonywać operacje matematyczne z wykładnikami, należy przestrzegać kilku zasad lub reguł, które ułatwiają znalezienie rozwiązania dla tych operacji.

Pierwsze prawo: moc wykładnika równa 1

Gdy wykładnik wynosi 1, wynikiem będzie ta sama wartość bazy: a¹ = a.

Przykłady

9¹ = 9.

22¹ = 22.

895¹ = 895.

Drugie prawo: moc wykładnika równa 0

Gdy wykładnik wynosi 0, jeśli baza jest niezerowa, wynikiem będzie :, a⁰ = 1.

Przykłady

1⁰ = 1.

323⁰= 1.

1095⁰ = 1.

Trzecie prawo: wykładnik ujemny

Ponieważ exponte jest ujemne, wynik będzie ułamkiem, gdzie moc będzie mianownikiem. Na przykład, jeśli m jest dodatnie, to a^-m = 1 / a^m.

Przykłady

- 3^-1 = 1/3.

- 6^-2 = 1/6² = 1/36.

- 8^-3 = 1/8³ = 1/512.

Czwarte prawo: mnożenie mocy z równą podstawą

Aby pomnożyć moce, gdzie bazy są równe i różne od 0, baza jest zachowywana, a wykładniki dodawane: a^m _* aⁿ = a^{m + n}.    

Przykłady

- 4⁴_* 4³ = 4^{4 + 3} = 4⁷

- 8¹ _* 8⁴ = 8^{1 + 4} = 8⁵

- 2² _* 2⁹ = 2^{2 + 9} = 2¹¹

Piąte prawo: podział władzy z jednakową podstawą

Aby podzielić moce, w których bazy są równe i różne od 0, baza jest zachowywana, a wykładniki są odejmowane w następujący sposób: a^m / aⁿ = a^m-n.    

Przykłady

- 9² / 9¹ = 9 ^{(2 - 1)} = 9¹.

- 6¹⁵ / 6¹⁰ = 6 ^(15–10) = 6⁵.

- 49¹² / 49⁶ = 49 ^(12–6) = 49⁶.

Szóste prawo: mnożenie mocy z inną bazą

W tym prawie mamy przeciwieństwo tego, co wyraża się w czwartym; to znaczy, jeśli istnieją różne bazy, ale z równymi wykładnikami, bazy są mnożone, a wykładnik jest utrzymywany: a^m _* b^m = (a_*b) ^m.

Przykłady

- 10² _* 20² = (10 _* 20)² = 200².

- 45¹¹_* 9¹¹ = (45 * 9)^{11 =} 405¹¹.

Innym sposobem przedstawienia tego prawa jest podniesienie mnożenia do mocy. Zatem wykładnik będzie należeć do każdego z terminów: (a_*b)^m= a^m_* b^m.

Przykłady

- (5_*8)⁴ = 5⁴_* 8⁴ = 40⁴.

- (23 * 7)⁶ = 23⁶_* 7⁶ = 161⁶.

Siódme prawo: podział władzy z inną bazą

Jeśli istnieją różne bazy, ale z równymi wykładnikami, bazy są podzielone i wykładnik jest zachowany: a^m / b^m = (a / b)^m.

Przykłady

- 30³ / 2³ = (30/2)³ = 15³.

- 440⁴ / 80⁴ = (440/80)⁴ = 5,5⁴.

Podobnie, gdy podział zostanie podniesiony do potęgi, wykładnik będzie należał do każdego z terminów: (a / b) ^m = a^m / b^m.

Przykłady

- (8/4)⁸ = 8⁸ / 4⁸ = 2⁸.

- (25/5)² = 25² / 5² = 5².

Jest przypadek, w którym wykładnik jest ujemny. Aby być pozytywnym, wartość licznika jest odwracana z wartością mianownika, w następujący sposób:

- (a / b)^-n = (b / a)ⁿ = bⁿ / aⁿ.

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5⁹ / 4⁴.

Ósme prawo: moc mocy

Kiedy masz moc, która jest podniesiona do innej mocy, czyli dwóch wykładników w tym samym czasie, baza jest utrzymywana, a wykładniki mnożą się: (a^m)ⁿ= a^{m *n}.

Przykłady

- (8³)² = 8 ^{(3 * 2)} = 8⁶.

- (13⁹)³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13²⁷.

- (238)¹⁰)¹² = 238^{(10 * 12)} = 238¹²⁰.

Prawo dziewiąte: wykładnik ułamkowy

Jeśli moc ma ułamek jako wykładnik, jest ona rozwiązywana przez przekształcenie jej w n-ty korzeń, gdzie licznik pozostaje jako wykładnik, a mianownik reprezentuje indeks główny:

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Oblicz operacje między mocami, które mają różne podstawy:

2⁴_* 4⁴ / 8².

Rozwiązanie

Stosując reguły wykładników, w liczniku mnoży się bazy i utrzymuje wykładnik w ten sposób:

2⁴_* 4⁴ / 8²= (2_*4)⁴ / 8²  = 8⁴ / 8²

Teraz, ponieważ mamy te same bazy, ale z różnymi wykładnikami, baza jest utrzymywana i wykładniki są odejmowane:

 8⁴ / 8² = 8^(4–2) = 8²

Ćwiczenie 2

Oblicz operacje między dużymi mocami a inną mocą:

(3²)³_* (2) _* 6⁵)^-2_* (2)²)³

Rozwiązanie

Stosując prawa, musisz:

(3²)³_* (2) _* 6⁵)^-2_* (2)²)³

= 3⁶_* 2^-2_* 2^-10 _* 2⁶

= 3⁶_* 2^{(-2) + (- 10)} _* 2⁶

= 3⁶ _*  2^-12_* 2⁶

= 3⁶ _* 2^{(-12) + (6)}

= 3⁶ _* 2⁶

= (3_*2)⁶

= 6⁶

= 46,656

Referencje

1. Aponte, G. (1998). Podstawy matematyki podstawowej. Pearson Education.
2. Corbalán, F. (1997). Matematyka stosowana w życiu codziennym.
3. Jiménez, J. R. (2009). Matematyka 1 SEP.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algebra i trygonometria.
5. Rees, P. K. (1986). Reverte.