Metoda interpolacji liniowej, rozwiązane ćwiczenia

The interpolacja liniowa jest metodą, która wywodzi się z ogólnej interpolacji Newtona i pozwala określić przez przybliżenie nieznaną wartość, która jest między dwoma podanymi liczbami; to znaczy istnieje wartość pośrednia. Dotyczy to również funkcji przybliżonych, gdzie wartości f_(a) i f_(b) są znane i chcesz znać pośrednik f_(x).

Istnieją różne typy interpolacji, takie jak liniowe, kwadratowe, sześcienne i wyższe, najprostszym jest przybliżenie liniowe. Cena, którą należy zapłacić za pomocą interpolacji liniowej, polega na tym, że wynik nie będzie tak dokładny, jak przy przybliżeniach przez funkcje wyższych stopni.

Indeks

• 1 Definicja
• 2 Metoda
• 3 rozwiązane ćwiczenia
  • 3.1 Ćwiczenie 1
  • 3.2 Ćwiczenie 2
• 4 odniesienia

Definicja

Interpolacja liniowa to proces, który pozwala wywnioskować wartość między dwiema dobrze zdefiniowanymi wartościami, które mogą być w tabeli lub na wykresie liniowym.

Na przykład, jeśli wiesz, że 3 litry mleka są warte 4 USD, a 5 litrów jest warte 7 USD, ale chcesz wiedzieć, jaka jest wartość 4 litrów mleka, interpolowana w celu określenia tej wartości pośredniej.

Metoda

Aby oszacować pośrednią wartość funkcji, funkcja f jest aproksymowana_(x) za pomocą linii prostej r_(x), co oznacza, że ​​funkcja zmienia się liniowo z „x” dla rozciągnięcia „x = a” i „x = b”; to znaczy dla wartości „x” w przedziale (x₀, x₁) i (i₀, i₁), wartość „y” jest podawana przez linię między punktami i wyrażana jest następującą relacją:

(i - i₀) ÷ (x - x₀) = (i₁ - i₀) ÷ (x₁ - x₀)

Aby interpolacja była liniowa, konieczne jest, aby wielomian interpolacji miał stopień pierwszy (n = 1), aby dopasował się do wartości x₀ i x_1.

Interpolacja liniowa opiera się na podobieństwie trójkątów, tak że, wyprowadzając geometrycznie z poprzedniego wyrażenia, możemy uzyskać wartość „y”, która reprezentuje nieznaną wartość dla „x”.

W ten sposób musisz:

a = tan Ɵ = (strona przeciwna₁ ÷ sąsiadująca noga₁) = (przeciwna strona₂ ÷ sąsiadująca noga₂)

Wyrażone w inny sposób:

(i - i₀) ÷ (x - x₀) = (i₁ - i₀) ÷ (x₁ - x₀)

Czyszczenie „i” wyrażeń masz:

(i - i₀) _* (x₁ - x₀) = (x - x₀) _* (i₁ - i₀)

(i - i₀) = (i₁ - i₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

W ten sposób otrzymujemy ogólne równanie interpolacji liniowej:

y = y_{0 +} (i₁ - i₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Zasadniczo interpolacja liniowa daje niewielki błąd w stosunku do rzeczywistej wartości funkcji true, chociaż błąd jest minimalny w porównaniu do sytuacji, w której intuicyjnie wybierasz liczbę zbliżoną do liczby, którą chcesz znaleźć.

Ten błąd występuje podczas próby przybliżenia wartości krzywej linią prostą; dla tych przypadków rozmiar interwału musi być zmniejszony, aby przybliżenie było bardziej precyzyjne.

Aby uzyskać lepsze wyniki w odniesieniu do podejścia, zaleca się użycie funkcji klasy 2, 3 lub nawet wyższej do wykonywania interpolacji. W tych przypadkach twierdzenie Taylora jest bardzo przydatnym narzędziem.

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Liczbę bakterii na jednostkę objętości występującą w inkubacji po x godzinach przedstawiono w poniższej tabeli. Chcesz wiedzieć, jaka jest objętość bakterii w czasie 3,5 godziny.

Rozwiązanie

Tabela referencyjna nie określa wartości, która wskazuje ilość bakterii przez czas 3,5 godziny, ale ma coraz wyższe wartości odpowiadające odpowiednio czasowi 3 i 4 godzin. W ten sposób:

x₀ = 3 i₀ = 91

x = 3,5 y =?

x₁ = 4 i₁ = 135

Teraz stosuje się równanie matematyczne, aby znaleźć wartość interpolowaną, która jest następująca:

y = y_{0 +} (i₁ - i₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)].

Następnie zastępowane są odpowiednie wartości:

y = 91 + (135 - 91) _* [(3,5 - 3) ÷ (4 - 3)]

y = 91 + (44)_* [(0,5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 _* 0,5

y = 113.

W ten sposób uzyskuje się, że przez czas 3,5 godziny ilość bakterii wynosi 113, co stanowi poziom pośredni między objętością bakterii istniejących w czasie 3 i 4 godzin.

Ćwiczenie 2

Luis ma fabrykę lodów i chce zrobić badanie, aby ustalić, jakie dochody osiągnął w sierpniu z poniesionych wydatków. Menedżer firmy tworzy wykres, który wyraża tę relację, ale Luis chce wiedzieć:

Jakie są dochody w sierpniu, jeśli wydano 55 000 USD??

Rozwiązanie

Wykres przedstawia wartości dochodów i wydatków. Luis chce wiedzieć, jaki jest sierpniowy dochód, jeśli fabryka ma wydatek 55 000 USD. Ta wartość nie jest odzwierciedlona bezpośrednio na wykresie, ale wartości wyższe i niższe niż to.

Najpierw tworzona jest tabela, z której można łatwo powiązać wartości:

Teraz formuła interpolacji jest używana do określenia wartości y

y = y_{0 +} (i₁ - i₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Następnie zastępowane są odpowiednie wartości:

y = 56 000 + (78 000 - 56 000) _* [(55 000 - 45 000) ÷ (62 000 - 45 000)]

y = 56 000 + (22 000) _* [(10 000) ÷ (17 000)]

y = 56 000 + (22 000) _* (0,588)

y = 56 000 + 12 936

y = 68,936 USD.

Jeśli w sierpniu wydano 55 000 USD, dochód wyniósł 68 936 USD.

Referencje

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra i trygonometria z geometrią analityczną. Pearson Education.
2. Harpe, P. d. (2000). Tematy w teorii grup geometrycznych. University of Chicago Press.
3. Hazewinkel, M. (2001). Interpolacja liniowa ”, Encyklopedia matematyki.
4. , J. M. (1998). Elementy metod numerycznych dla inżynierii. UASLP.
5. , E. (2002). Chronologia interpolacji: od starożytnej astronomii po nowoczesne przetwarzanie sygnałów i obrazów. Postępowanie w IEEE.
6. numeryczny, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.