Dzielić:
Historia geometrii euklidesowej, podstawowe pojęcia i przykłady
The Geometria euklidesowa odpowiada badaniu właściwości przestrzeni geometrycznych, w których spełnione są aksjomaty Euklidesa. Chociaż termin ten jest czasami używany do objęcia geometrii o lepszych wymiarach o podobnych właściwościach, jest zwykle synonimem klasycznej geometrii lub płaskiej geometrii..
W trzecim wieku a. C. Euclid i jego uczniowie napisali Elementy, dzieło, które obejmowało wiedzę matematyczną o czasie wyposażonym w strukturę logiczno-dedukcyjną. Od tego czasu geometria stała się nauką, początkowo w celu rozwiązania klasycznych problemów i przekształciła się w naukę formatywną, która pomaga rozumować.
Indeks
- 1 Historia
- 2 Podstawowe pojęcia
- 2.1 Wspólne pojęcia
- 2.2 Postulaty lub aksjomaty
- 3 Przykłady
- 3.1 Pierwszy przykład
- 3.2 Drugi przykład
- 3.3 Trzeci przykład
- 4 odniesienia
Historia
Aby porozmawiać o historii geometrii euklidesowej, należy zacząć od Euklidesa z Aleksandrii i Euklidesa Elementy.
Kiedy Egipt był w rękach Ptolemeusza I, po śmierci Aleksandra Wielkiego rozpoczął swój projekt w szkole w Aleksandrii.
Wśród mędrców, którzy nauczali w szkole, był Euclid. Przypuszcza się, że jego narodziny sięgają około 325 a. C. i jego śmierć 265 a. C. Możemy z całą pewnością wiedzieć, że udał się do szkoły Platona.
Przez ponad trzydzieści lat Euklides nauczał w Aleksandrii, budując swoje słynne elementy: zaczął pisać wyczerpujący opis matematyki swoich czasów. Nauki Euklidesa dawały doskonałych uczniów, takich jak Archimedes i Apolloniusz z Pergi.
Euklides był odpowiedzialny za ustrukturyzowanie odmiennych odkryć klasycznych Greków Elementy, ale w przeciwieństwie do swoich poprzedników nie ogranicza się do stwierdzenia, że twierdzenie jest prawdziwe; Euclides oferuje demonstrację.
The Elementy Są kompendium trzynastu książek. Po Biblii jest to najbardziej opublikowana książka, z ponad tysiącem wydań.
The Elementy jest arcydziełem Euklidesa w dziedzinie geometrii i oferuje definitywne potraktowanie geometrii dwóch wymiarów (płaszczyzny) i trzech wymiarów (przestrzeni), co jest źródłem tego, co obecnie wiemy jako geometria euklidesowa.
Podstawowe pojęcia
Elementy składają się z definicji, wspólnych pojęć i postulatów (lub aksjomatów), po których następują twierdzenia, konstrukcje i demonstracje.
- Punktem jest to, co nie ma części.
- Linia jest długością, która nie ma szerokości.
- Linia prosta jest tą, która leży równo względem punktów, które się w niej znajdują.
- Jeśli dwie linie są przecięte tak, że sąsiednie kąty są równe, kąty są nazywane prostymi, a linie są nazywane prostopadłymi..
- Równoległe linie są tymi, które będąc w tej samej płaszczyźnie, nigdy nie są cięte.
Po tych i innych definicjach Euclid przedstawia listę pięciu postulatów i pięciu pojęć.
Wspólne pojęcia
- Dwie rzeczy równe jednej trzeciej są sobie równe.
- Jeśli do tych samych rzeczy dodawane są równe rzeczy, wyniki są takie same.
- Jeśli równe rzeczy są odejmowane od tych samych rzeczy, wyniki są takie same.
- Rzeczy, które pasują do siebie, są sobie równe.
- Suma jest większa niż część.
Postulaty lub aksjomaty
- Dla dwóch różnych punktów przechodzi jedna i tylko jedna linia.
- Linie proste mogą rozciągać się w nieskończoność.
- Możesz narysować okrąg z dowolnym środkiem i dowolnym promieniem.
- Wszystkie kąty proste są takie same.
- Jeśli linia prosta przecina dwie linie proste, tak że kąty wewnętrzne tej samej strony sumują się do mniej niż dwóch kątów prostych, to dwie linie przecinają się na tej stronie.
Ten ostatni postulat jest znany jako postulat paraleli i został przeformułowany w następujący sposób: „Dla punktu poza linią można narysować pojedynczą równoległą do danej linii”.
Przykłady
Następnie niektóre twierdzenia Elementy posłużą do pokazania właściwości przestrzeni geometrycznych, w których spełnione są pięć postulatów Euklidesa; Ponadto zilustrują rozumowanie logiczno-dedukcyjne stosowane przez tego matematyka.
Pierwszy przykład
Propozycja 1.4. (LAL)
Jeśli dwa trójkąty mają dwa boki i kąt między nimi jest równy, to pozostałe boki i inne kąty są równe.
Demonstracja
Niech ABC i A'B'C 'będą dwoma trójkątami o AB = A'B', AC = A'C ', a kąty BAC i B'A'C' równe. Przejdź do trójkąta A'B'C ', tak że A'B' pokrywa się z AB i ten kąt B'A'C 'pokrywa się z kątem BAC.
Następnie linia A'C 'pokrywa się z linią AC, tak że C' pokrywa się z C. Następnie, postulatem 1, linia BC musi pokrywać się z linią B'C '. Dlatego te dwa trójkąty pokrywają się, a zatem ich kąty i boki są równe.
Drugi przykład
Propozycja 1.5. (Pons Asinorum)
Jeśli trójkąt ma dwie równe strony, to kąty przeciwległe do tych boków są równe.
Demonstracja
Załóżmy, że trójkąt ABC ma równe boki AB i AC.
Następnie trójkąty ABD i ACD mają dwie równe boki, a kąty między nimi są równe. Zatem, według twierdzenia 1.4, kąty ABD i ACD są równe.
Trzeci przykład
Twierdzenie 1.31
Możesz zbudować linię równoległą do linii podanej przez dany punkt.
BUDOWA
Dając linię L i punkt P, rysowana jest linia prosta M, która przechodzi przez P i przecina L. Wtedy linia prosta N jest rysowana przez P, która przecina L. Teraz śledzimy przez P prostą N, która przecina M, tworząc kąt równy kątowi, który L tworzy z M.
Afirmacja
N jest równoległy do L.
Demonstracja
Przypuśćmy, że L i N nie są równoległe i przecinają się w punkcie A. Niech B będzie punktem w L poza A. Rozważmy, że linia O przechodząca przez B i P. Następnie, O przycinamy do M tworząc kąty, które dodają mniej niż dwa proste.
Następnie o 1,5 linia O musi przeciąć linię L po drugiej stronie M, więc L i O przecinają się w dwóch punktach, co jest sprzeczne z postulatem 1. Dlatego L i N muszą być równoległe.
Referencje
- Euklides Elementy geometrii. Narodowy Autonomiczny Uniwersytet Meksyku
- Euklides Pierwsze sześć książek i jedenasty i dwunasty element Euklidesa
- Eugenio Filloy Yague. Dydaktyka i historia geometrii euklidesowej, Iberoamerican Editorial Group
- K.Ribnikov. Historia matematyki Mir Editorial
- Viloria, N. i Leal, J. (2005) Flat Analytical Geometry. Wenezuelski redakcja C.A.