Przypadki i przykłady częściowych frakcji



The częściowe ułamki są to ułamki utworzone przez wielomiany, w których mianownik może być wielomianem liniowym lub kwadratowym, a ponadto może być podniesiony do pewnej mocy. Czasami, gdy mamy funkcje wymierne, bardzo przydatne jest przepisanie tej funkcji jako sumy ułamków cząstkowych lub ułamków prostych.

Dzieje się tak dlatego, że w ten sposób możemy lepiej manipulować tymi funkcjami, szczególnie w tych przypadkach, w których konieczne jest zintegrowanie tej aplikacji. Funkcja wymierna jest po prostu ilorazem między dwoma wielomianami i może być prawidłowa lub niewłaściwa.

Jeśli stopień wielomianu licznika jest mniejszy niż mianownik, nazywa się go własną funkcją wymierną; w przeciwnym razie nazywana jest niewłaściwą funkcją racjonalną.

Indeks

  • 1 Definicja
  • 2 przypadki
    • 2.1 Przypadek 1
    • 2.2 Przypadek 2
    • 2.3 Przypadek 3
    • 2.4 Przypadek 4
  • 3 aplikacje
    • 3.1 Kompleksowe obliczenia
    • 3.2 Prawo akcji masowej
    • 3.3 Równania różniczkowe: równanie logistyczne
  • 4 odniesienia

Definicja

Gdy mamy niewłaściwą funkcję wymierną, możemy podzielić wielomian licznika między wielomianem mianownika, a następnie przepisać ułamek p (x) / q (x), zgodnie z algorytmem podziału jako t (x) + s (x) / q (x), gdzie t (x) jest wielomianem, a s (x) / q (x) jest własną funkcją wymierną.

Częściowy ułamek to każda właściwa funkcja wielomianów, których mianownik ma postać (ax + b)n o (topór2+ bx + c)n, jeśli topór wielomianowy2 + bx + c nie ma rzeczywistych korzeni, a n jest liczbą naturalną.

Aby przepisać funkcję wymierną w ułamkach cząstkowych, pierwszą rzeczą do zrobienia jest uwzględnienie mianownika q (x) jako iloczynu współczynników liniowych i / lub kwadratowych. Po wykonaniu tej czynności określane są częściowe frakcje, które zależą od charakteru wymienionych czynników.

Sprawy

Rozważamy kilka przypadków osobno.

Przypadek 1

Wszystkie współczynniki q (x) są liniowe i żaden nie jest powtarzany. To jest:

q (x) = (a1x + b1) (a2x + b2) ... (asx + bs)

Tam żaden czynnik liniowy nie jest identyczny z innym. W takim przypadku napiszemy:

p (x) / q (x) = A1/ (a1x + b1) + A2/ (a2x + b2) ... + As/ (asx + bs).

Gdzie A1,A2,..., As są stałymi, które chcesz znaleźć.

Przykład

Chcemy rozłożyć funkcję wymierną na proste frakcje:

(x - 1) / (x3+3x2+2x)

Kontynuujemy faktoryzację mianownika, to znaczy:

x3 + 3x2 + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Następnie:

(x - 1) / (x3+3x2+2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Stosując najmniejszą wspólną wielokrotność, możesz uzyskać to:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Chcemy uzyskać wartości stałych A, B i C, które można znaleźć zastępując pierwiastki, które anulują każde z terminów. Zastępując 0 dla x, mamy:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Zastępowanie - 1 dla x mamy:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Zastępowanie - 2 dla x mamy:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2C

C = -3/2.

W ten sposób uzyskuje się wartości A = -1/2, B = 2 i C = -3/2..

Jest inna metoda na uzyskanie wartości A, B i C. Jeśli po prawej stronie równania x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x łączymy terminy, mamy:

x - 1 = (A + B + C) x2 + (3A + 2B + C) x + 2A.

Ponieważ jest to równość wielomianów, mamy współczynniki lewej strony muszą być równe współczynnikom prawej strony. Powoduje to następujący układ równań:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Podczas rozwiązywania tego układu równań otrzymujemy wyniki A = -1/2, B = 2 i C = -3/2.

Wreszcie, zastępując uzyskane wartości, musimy:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Przypadek 2

Wszystkie współczynniki q (x) są liniowe, a niektóre są powtarzane. Załóżmy, że (ax + b) jest czynnikiem powtarzającym się razy „s”; następnie do tego czynnika odpowiada suma częściowych ułamków „s”.

As/ (ax + b)s + As-1/ (ax + b)s-1 +... + A1/ (ax + b).

Gdzie As,As-1,..., A1 są to stałe, które należy określić. W poniższym przykładzie pokażemy, jak określić te stałe.

Przykład

Rozkład na częściowe części:

(x - 1) / (x2(x - 2)3)

Funkcję wymierną piszemy jako sumę ułamków cząstkowych w następujący sposób:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = A / x2 + B / x + C / (x - 2)3 + D / (x - 2)2 + E / (x - 2).

Następnie:

x - 1 = A (x - 2)3 + B (x - 2)3x + Cx2 + D (x - 2) x2 + E (x - 2)2x2

Zastępując 2 dla x, musimy:

7 = 4C, to znaczy C = 7/4.

Zastępując 0 dla x, mamy:

- 1 = -8A lub A = 1/8.

Zastępując te wartości w poprzednim równaniu i rozwijając, musimy:

x - 1 = 1/8 (x3 - 6x2 + 12x - 8) + Bx (x3 - 6x2 + 12x - 8) + 7 / 4x2 +Dx3 - 2Dx2 + Np2(x2 - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x4 + (1/8 - 6B + D - 4E) x3 + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x2 +(3/2 - 8B) x - 1.

Dopasowując współczynniki otrzymujemy następujący układ równań:

B + E = 0;

1/8 - 6B + D - 4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Rozwiązując system, mamy:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Z tego powodu musimy:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = (1/8) / x2 + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)3 + (5/4) / (x - 2)2 - (3/16) / (x - 2).

Przypadek 3

Współczynniki q (x) są kwadratowe liniowe, bez powtarzania żadnego czynnika kwadratowego. W tym przypadku współczynnik kwadratowy (ax2 + bx + c) odpowiada częściowemu ułamkowi (Ax + B) / (ax)2 + bx + c), gdzie stałe A i B są tymi, które chcesz określić.

Poniższy przykład pokazuje, jak postępować w tym przypadku

Przykład

Rozkład na proste frakcje a (x + 1) / (x3 - 1).

Najpierw przechodzimy do czynnika mianownika, który daje nam wynik:

(x - 1) = (x - 1) (x + x + 1).

Widzimy to (x2 + x + 1) jest nieredukowalnym kwadratowym wielomianem; to znaczy, nie ma prawdziwych korzeni. Jego rozkład na częściowe frakcje będzie następujący:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x + 1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x2 + x +1)

Z tego otrzymujemy następujące równanie:

x + 1 = (A + B) x2 +(A - B + C) x + (A - C)

Korzystając z równości wielomianów, uzyskujemy następujący system:

A + B = 0;

A - B + C = 1;

A - C = 1;

Z tego systemu mamy A = 2/3, B = - 2/3 i C = 1/3. Zastępując, musimy:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x + 1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x2 + x +1).

Przypadek 4

Wreszcie przypadek 4 to taki, w którym współczynniki q (x) są liniowe i kwadratowe, gdzie niektóre liniowe współczynniki kwadratowe są powtarzane.

W tym przypadku tak (topór2 + bx + c) to współczynnik kwadratowy, który jest powtarzany razy „s”, a następnie ułamek cząstkowy odpowiadający współczynnikowi (ax)2 + bx + c) będzie:

(A1x + B) / (topór2 + bx + c) + ... + (As-1x + Bs-1) / (ax)2 + bx + c)s-1 + (Asx + Bs) / (ax)2 + bx + c)s

Gdzie As, As-1,..., A i Bs, Bs-1,..., B to stałe, które chcesz określić.

Przykład

Chcemy podzielić następującą funkcję wymierną na częściowe frakcje:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2)

Jak x2 - 4x + 5 jest nieredukowalnym czynnikiem kwadratowym, mamy, że jego rozkład na częściowe frakcje daje:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2) = A / x + (Bx + C) / (x2 - 4x +5) + (Dx + E) / (x2 - 4x + 5)2

Upraszczając i rozwijając, mamy:

x - 2 = A (x2 - 4x + 5)2 + (Bx + C) (x2 - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x4 + (- 8A - 4B + C) x3 + (26A + 5B - 4C + D) x2 + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Z powyższego mamy następujący układ równań:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Podczas rozwiązywania systemu musimy:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 i E = - 3/5.

Zastępując uzyskane wartości mamy:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x2 - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x2 - 4x + 5)2

Aplikacje

Kompleksowe obliczenia

Frakcje cząstkowe są wykorzystywane głównie do badania rachunku całkowego. Poniżej zobaczymy przykłady tworzenia całek przy użyciu ułamków częściowych.

Przykład 1

Chcemy obliczyć całkę:

Widzimy, że mianownik q (x) = (t + 2)2(t + 1) składa się z czynników liniowych, w których jeden z tych powtórzeń; za to jesteśmy w przypadku 2.

Musimy:

1 / (t + 2)2(t + 1) = A / (t + 2)2 +B / (t + 2) + C / (t + 1)

Przepisujemy równanie i mamy:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)2

Jeśli t = - 1, musimy:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Jeśli t = - 2, daje nam:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Następnie, jeśli t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Zastępowanie wartości A i C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Z powyższego mamy B = - 1.

Przepisujemy całkę jako:

Kontynuujemy rozwiązywanie go metodą zastępczą:

Powoduje to:

Przykład 2

Rozwiąż następującą całkę:

W tym przypadku możemy uwzględnić współczynnik q (x) = x2 - 4 jako q (x) = (x - 2) (x + 2). Oczywiście jesteśmy w przypadku 1. Dlatego:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Może być również wyrażone jako:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Jeśli x = - 2, mamy:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

A jeśli x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Musimy więc rozwiązać podaną całkę równoważną rozwiązaniu:

Daje nam to w wyniku:

Przykład 3

Rozwiąż całkę:

Mamy q (x) = 9x4 + x2 , że możemy uwzględniać q (x) = x2(9x2 + 1).

Przy tej okazji mamy powtarzany współczynnik liniowy i czynnik kwadratowy; to znaczy, jesteśmy w przypadku 3.

Musimy:

1 / x2(9x2 + 1) = A / x2 + B / x + (Cx + D) / (9x2 + 1)

1 = A (9x2 + 1) + Bx (9x2 + 1) + Cx2 + Dx2

Grupując i używając równości wielomianów, mamy:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Z tego układu równań musimy:

D = - 9 i C = 0

W ten sposób mamy:

Rozwiązując powyższe mamy:

Prawo akcji masowej

Interesujące zastosowanie frakcji cząstkowych zastosowanych do rachunku całkowego znajduje się w chemii, a dokładniej w prawie działania masowego.

Przypuśćmy, że mamy dwie substancje, A i B, które łączą się i tworzą substancję C, tak że pochodna ilości C względem czasu jest proporcjonalna do iloczynu ilości A i B w danym momencie.

Możemy wyrazić prawo akcji masowej w następujący sposób:

W tym wyrażeniu α jest początkową ilością gramów odpowiadającą A i β początkowej ilości gramów odpowiadającej B.

Ponadto r i s oznaczają liczbę gramów odpowiednio A i B, które łączą się, tworząc r + s gramy C. Z kolei x oznacza liczbę gramów substancji C w czasie t, a K to stała proporcjonalności. Powyższe równanie można przepisać jako:

Dokonanie następującej zmiany:

Mamy to równanie:

Z tego wyrażenia możemy uzyskać:

Jeśli tak a a b, częściowe frakcje mogą być wykorzystane do integracji.

Przykład

Weźmy na przykład substancję C, która powstaje z połączenia substancji A z B, w taki sposób, że spełnione jest prawo mas, gdzie wartości aib wynoszą odpowiednio 8 i 6. Podaj równanie, które daje nam wartość gramów C w funkcji czasu.

Zastępując wartości z danego prawa masowego, mamy:

Podczas rozdzielania zmiennych mamy:

Tutaj 1 / (8 - x) (6 - x) można zapisać jako sumę ułamków cząstkowych, jak następuje:

Tak więc 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Jeśli zastąpimy x na 6, mamy B = 1/2; i zastępując x na 8, mamy A = - 1/2.

Łącząc przez częściowe ułamki mamy:

Daje nam to w wyniku:

Równania różniczkowe: równanie logistyczne

Innym zastosowaniem, które można podać ułamkom cząstkowym, jest równanie różniczkowe logistyczne. W prostych modelach mamy tempo wzrostu populacji proporcjonalne do jego wielkości; to jest:

Ten przypadek jest ideałem i jest uważany za realistyczny, dopóki nie zdarzy się, że zasoby dostępne w systemie są niewystarczające do utrzymania populacji.

W takich sytuacjach rozsądniej jest myśleć, że istnieje maksymalna pojemność, którą nazwiemy L, którą system może utrzymać, oraz że tempo wzrostu jest proporcjonalne do wielkości populacji pomnożonej przez dostępny rozmiar. Argument ten prowadzi do następującego równania różniczkowego:

Wyrażenie to nazywane jest logistycznym równaniem różniczkowym. Jest to rozdzielne równanie różniczkowe, które można rozwiązać za pomocą metody całkowania przez ułamki cząstkowe.

Przykład

Przykładem może być rozważenie populacji, która rośnie zgodnie z następującym równaniem różniczkowym logicznym y '= 0,0004y (1000 - y), którego początkowe dane wynoszą 400. Chcemy poznać wielkość populacji w czasie t = 2, gdzie t jest mierzone od lat.

Jeśli piszemy i „z notacją Leibniza jako funkcję zależną od t, musimy:

Całka lewej strony może zostać rozwiązana za pomocą metody integracji przez częściowe ułamki:

Ta ostatnia równość może zostać przepisana w następujący sposób:

- Zastępując y = 0 mamy A równe 1/1000.

- Zastępując y = 1000 mamy B równe 1/1000.

Z tymi wartościami całka zostaje w następujący sposób:

Rozwiązaniem jest:

Korzystanie z danych początkowych:

Po wyczyszczeniu i wyszliśmy:

Następnie mamy to przy t = 2:

Podsumowując, po 2 latach wielkość populacji wynosi około 597,37.

Referencje

  1. A, R. A. (2012). Matematyka 1. Uniwersytet w Andach. Rada Publikacji.
  2. Cortez, I. i Sanchez, C. (s.f.). 801 rozwiązanych całek. Narodowy Eksperymentalny Uniwersytet Tachira.
  3. Leithold, L. (1992). OBLICZENIE z geometrią analityczną. HARLA, S.A..
  4. Purcell, E. J., Varberg, D. i Rigdon, S. E. (2007). Obliczanie. Meksyk: Pearson Education.
  5. Saenz, J. (s.f.). Kompleksowy rachunek różniczkowy. Hypotenuse.