Aplikacje dekompozycji addytywnej, partycje, grafika



The rozkład addytywny dodatniej liczby całkowitej wyraża się jako sumę dwóch lub więcej dodatnich liczb całkowitych. Mamy więc, że liczba 5 może być wyrażona jako 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 lub 5 = 1 + 2 + 2. Każdy z tych sposobów zapisu liczby 5 jest tym, co nazywamy rozkładem addytywnym.

Jeśli zwrócimy uwagę, możemy zauważyć, że wyrażenia 5 = 2 + 3 i 5 = 3 + 2 reprezentują ten sam skład; oba mają te same numery. Jednakże, dla wygody, każdy z dodatków jest zwykle zapisywany według kryterium najmniejszego do najwyższego.

Indeks

  • 1 Rozkład addytywny
  • 2 rozkład kanoniczny dodatku
  • 3 aplikacje
    • 3.1 Twierdzenie przykładowe
  • 4 partycje
    • 4.1 Definicja
  • 5 grafiki
  • 6 referencji

Rozkład addytywny

Jako inny przykład możemy przyjąć liczbę 27, którą możemy wyrazić jako:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Rozkład addytywny jest bardzo przydatnym narzędziem, które pozwala nam wzmocnić naszą wiedzę na temat systemów numerowania.

Addytywny rozkład kanoniczny

Kiedy mamy liczby większe niż dwie liczby, szczególny sposób ich rozłożenia to wielokrotności 10, 100, 1000, 10 000 itd., Które to tworzą. Ten sposób zapisu dowolnej liczby jest nazywany kanonicznym rozkładem addytywnym. Na przykład liczba 1456 może zostać podzielona w następujący sposób:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

Jeśli mamy numer 20 846 295, jego kanoniczny rozkład addytywny będzie następujący:

20 846 295 = 20 000 000 + 800 000 + 40 000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Dzięki tej dekompozycji widzimy, że wartość danej cyfry jest określana przez zajmowaną przez nią pozycję. Weźmy na przykład liczby 24 i 42:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Tutaj możemy zauważyć, że w 24 2 ma wartość 20 jednostek, a 4 4 jednostki; z drugiej strony, w 42 4 ma wartość 40 jednostek i 2 z dwóch jednostek. Tak więc, chociaż obie liczby używają tych samych cyfr, ich wartości są całkowicie różne w zależności od zajmowanej przez nie pozycji.

Aplikacje

Jedną z aplikacji, które możemy dać rozkładowi addytywnemu, jest pewien typ demonstracji, w którym bardzo przydatne jest wyświetlanie dodatniej liczby całkowitej jako sumy innych.

Przykładowe twierdzenie

Weźmy jako przykład następujące twierdzenie wraz z odpowiednimi demonstracjami.

- Niech Z będzie 4-cyfrową liczbą całkowitą, a następnie Z będzie podzielne przez 5, jeśli jego liczba odpowiadająca jednostkom wynosi zero lub pięć.

Demonstracja

Pamiętaj, co to jest podzielność. Jeśli mamy liczby całkowite „a” i „b”, mówimy, że „a” dzieli „b”, jeśli jest liczba całkowita „c” taka, że ​​b = a * c.

Jedna z właściwości podzielności mówi nam, że jeśli „a” i „b” są podzielne przez „c”, to odejmowanie „a-b” jest również podzielne przez „c”.

Niech Z będzie 4-cyfrową liczbą całkowitą; dlatego możemy napisać Z jako Z = ABCD.

Używając dekompozycji dodatku kanonicznego mamy to:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

Jasne jest, że A * 1000 + B * 100 + C * 10 jest podzielne przez 5. W tym celu mamy, że Z jest podzielne przez 5, jeśli Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) jest podzielne przez 5.

Ale Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D i D jest liczbą pojedynczej cyfry, więc jedynym sposobem podzielenia przez 5 jest to, że jest to 0 lub 5.

Dlatego Z jest podzielny przez 5, jeśli D = 0 lub D = 5.

Zauważ, że jeśli Z ma n cyfr, dowód jest dokładnie taki sam, tylko zmiany, które teraz zapisalibyśmy Z = A1A2... An a celem byłoby udowodnienie, że An to jest zero lub pięć.

Partycje

Mówimy, że podział dodatniej liczby całkowitej jest sposobem, w jaki możemy napisać liczbę jako sumę dodatnich liczb całkowitych.

Różnica między dekompozycją addytywną a partycją polega na tym, że podczas gdy w pierwszym jest zamierzone, że przynajmniej można ją rozłożyć na dwa lub więcej dodatków, w partycji nie ma tego ograniczenia.

Mamy więc:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Powyższe to partycje 5.

Oznacza to, że cała dekompozycja addytywna jest partycją, ale nie każda partycja jest koniecznie dekompozycją addytywną.

W teorii liczb podstawowe twierdzenie arytmetyczne gwarantuje, że każda liczba całkowita może być napisana wyłącznie jako produkt kuzynów.

Podczas studiowania partycji celem jest określenie, ile sposobów można zapisać dodatnią liczbę całkowitą jako sumę innych liczb całkowitych. Dlatego definiujemy funkcję partycji, jak pokazano poniżej.

Definicja

Funkcja podziału p (n) jest definiowana jako liczba sposobów, w których dodatnia liczba całkowita n może być zapisana jako suma liczb całkowitych dodatnich.

Wracając do przykładu 5, musimy:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

W ten sposób p (5) = 7.

Grafika

Zarówno partycje, jak i dekompozycje addytywne liczby n mogą być reprezentowane geometrycznie. Załóżmy, że mamy addytywną dekompozycję n. W tej dekompozycji dodatki mogą być ustawione tak, że członkowie sumy są uporządkowani od najniższej do najwyższej. Wtedy warto:

n = a1 + a2 + a3 +... + ar z

a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ ar.

Możemy rozłożyć ten rozkład w następujący sposób: w pierwszym wierszu zaznaczamy1-punkty, następnie w następnym zaznaczamy2-punktów, i tak dalej, aż dojdziesz dor.

Weźmy na przykład numer 23 i jego następującą dekompozycję jako przykład:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Zamawiamy ten rozkład i mamy:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Odpowiedni wykres to:

Podobnie, jeśli odczytamy ten wykres pionowo, a nie poziomo, możemy uzyskać rozkład, który może różnić się od poprzedniego. W przykładzie 23 podkreśla następujące:

Musimy więc 23 napisać to jako:

23 = 6 + 5 + 5 + 3 + 2 + 1 + 1.

Referencje

  1. G.H. Hardy i E. M. Wright. Wprowadzenie do teorii liczb. Oxford. Clarendon Press.
  2. Navarro C. Encyklopedia dydaktyczna 6. Od redakcji Santillana, S.A..
  3. Navarro C.Powiązanie z matematyką 6. Od redakcji Santillana, S.A..
  4. Niven i Zuckerman. Wprowadzenie do teorii liczb. Wapno.
  5. Ocena VV.AA Kryterium obszaru matematycznego: model kształcenia podstawowego. Wolters Kluwer Education.
  6. Encyklopedia dydaktyczna 6.