Jaka jest suma kwadratów dwóch kolejnych liczb?

Wiedzieć jaka jest suma kwadratów dwóch kolejnych liczb, można znaleźć formułę, dzięki której wystarczy zastąpić liczby, aby uzyskać wynik.

Tę formułę można znaleźć w ogólny sposób, to znaczy można ją wykorzystać do dowolnej pary kolejnych liczb.

Mówiąc „kolejne liczby”, domyślnie mówimy, że obie liczby są liczbami całkowitymi. Mówiąc o „kwadratach”, mówi o kwadracie każdej liczby.

Na przykład, jeśli weźmiemy pod uwagę liczby 1 i 2, ich kwadraty to 1² = 1 i 2² = 4, dlatego suma kwadratów wynosi 1 + 4 = 5.

Z drugiej strony, jeśli zostaną pobrane liczby 5 i 6, ich kwadraty to 5² = 25 i 6² = 36, przy czym suma kwadratów wynosi 25 + 36 = 61.

Jaka jest suma kwadratów dwóch kolejnych liczb?

Celem jest teraz uogólnienie tego, co zostało zrobione w poprzednich przykładach. W tym celu konieczne jest znalezienie ogólnego sposobu zapisania liczby całkowitej i jej następnej całości.

Jeśli obserwuje się dwie kolejne liczby całkowite, na przykład 1 i 2, można zauważyć, że 2 można zapisać jako 1 + 1. Ponadto, jeśli spojrzymy na liczby 23 i 24, wyciągniemy wniosek, że 24 można zapisać jako 23 + 1.

W przypadku ujemnych liczb całkowitych zachowanie to można również zweryfikować. W efekcie, jeśli wziąć pod uwagę -35 i -36, widać, że -35 = -36 + 1.

Dlatego, jeśli wybrano dowolną liczbę całkowitą „n”, wtedy liczba całkowita następująca po „n” to „n + 1”. Zatem związek między dwiema kolejnymi liczbami całkowitymi został już ustalony.

Jaka jest suma kwadratów?

Biorąc pod uwagę dwie kolejne liczby całkowite „n” i „n + 1”, ich kwadraty to „n²” i „(n + 1) ²”. Korzystając z właściwości godnych uwagi produktów, ten ostatni termin można zapisać w następujący sposób:

(n + 1) ² = n² + 2 * n * 1 + 1² = n² + 2n + 1.

Wreszcie suma kwadratów dwóch kolejnych liczb jest wyrażona przez:

n² + n² + 2n + 1 = 2n² + 2n + 1 = 2n (n + 1) +1.

Jeśli poprzednia formuła jest szczegółowa, można zauważyć, że wystarczy znać najmniejszą liczbę całkowitą „n”, aby wiedzieć, jaka jest suma kwadratów, to znaczy wystarczy użyć mniejszej z dwóch liczb całkowitych.

Inna perspektywa uzyskanej formuły to: wybrane liczby są mnożone, a następnie uzyskany wynik mnoży się przez 2, a na końcu dodaje się 1.

Z drugiej strony pierwszy szczyt po prawej jest liczbą parzystą, a po dodaniu 1 wynik będzie nieparzysty. To mówi, że wynik dodania kwadratów dwóch kolejnych liczb zawsze będzie liczbą nieparzystą.

Można również zauważyć, że ponieważ dodawane są dwie liczby kwadratowe, wynik ten zawsze będzie dodatni.

Przykłady

1.- Rozważmy liczby całkowite 1 i 2. Najmniejsza liczba całkowita to 1. Używając powyższego wzoru, wnioskujemy, że suma kwadratów wynosi: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4+ 1 = 5. Co zgadza się z rachunkami na początku.

2.- Jeśli zostaną wzięte liczby całkowite 5 i 6, to suma kwadratów będzie wynosić 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, co również pokrywa się z wynikiem uzyskanym na początku.

3.- Jeśli wybrano liczby całkowite -10 i -9, to suma ich kwadratów wynosi: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.

4.- Niech liczby całkowite w tej sposobności -1 i 0, a następnie suma ich kwadratów otrzyma 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1.

Referencje

1. Bouzas, P. G. (2004). Algebra w szkole średniej: współpraca w matematyce. Edycje Narcea.
2. Cabello, R. N. (2007). Moce i korzenie. Książki publiczne.
3. Cabrera, V. M. (1997). Obliczenie 4000. Progreso wydawnicze.
4. Guevara, M. H. (s.f.). Zestaw całych liczb. EUNED.
5. Oteyza, E. d. (2003). Albegra. Pearson Education.
6. Smith, S.A. (2000). Algebra. Pearson Education.
7. Thomson. (2006). Przekazywanie GED: matematyka. InterLingua Publishing.