Jak zdobyć obszar Pentagonu?

The obliczany jest obszar pięciokąta metodą znaną jako triangulacja, którą można zastosować do dowolnego wielokąta. Metoda ta polega na podzieleniu pięciokąta na kilka trójkątów.

Następnie obliczany jest obszar każdego trójkąta i na koniec dodawane są wszystkie znalezione obszary. Rezultatem będzie obszar pięciokąta.

Pentagon można również podzielić na inne kształty geometryczne, takie jak trapez i trójkąt, jak na rysunku po prawej stronie.

Problem polega na tym, że długość głównej podstawy i wysokość trapezu nie są łatwe do obliczenia. Ponadto musisz obliczyć wysokość czerwonego trójkąta.

Jak obliczyć powierzchnię pięciokąta?

Ogólną metodą obliczania powierzchni pięciokąta jest triangulacja, ale metoda może być bezpośrednia lub trochę dłuższa w zależności od tego, czy pięciokąt jest regularny, czy nie..

Powierzchnia zwykłego pięciokąta

Przed obliczeniem obszaru należy wiedzieć, czym jest apothem.

Apothem regularnego pięciokąta (wielokąt regularny) jest najmniejszą odległością od środka pięciokąta (wielokąta) do środka jednej strony pięciokąta (wielokąta).

Innymi słowy, apothem jest długością odcinka linii, która biegnie od środka pięciokąta do środka boku.

Rozważmy regularny pięciokąt taki, że długość jego boków to „L”. Aby obliczyć apothem, najpierw podziel centralny kąt α między liczbą boków, to znaczy α = 360º / 5 = 72º.

Teraz, używając współczynników trygonometrycznych, długość apothema jest obliczana jak pokazano na poniższym obrazku.

Dlatego apothem ma długość L / 2 tan (36 °) = L / 1,45.

Podczas tworzenia triangulacji pięciokąta otrzymasz postać podobną do poniższej.

5 trójkątów ma ten sam obszar (ponieważ jest to zwykły pięciokąt). Dlatego obszar pięciokąta jest 5 razy większy od trójkąta. To jest: obszar pięciokąta = 5 * (L * ap / 2).

Zastępując wartość apothem otrzymujemy, że pole wynosi A = 1,72 * L².

Dlatego, aby obliczyć powierzchnię zwykłego pięciokąta, wystarczy znać długość boku.

Powierzchnia nieregularnego pięciokąta

Zaczyna się od nieregularnego pięciokąta, tak że długości jego boków to L1, L2, L3, L4 i L5. W tym przypadku apothem nie można używać tak, jak wcześniej.

Po wykonaniu triangulacji otrzymasz postać podobną do następującej:

Teraz przystępujemy do rysowania i obliczania wysokości tych 5 wewnętrznych trójkątów.

Następnie obszary wewnętrznych trójkątów wynoszą T1 = L1 * h1 / 2, T2 = L2 * h2 / 2, T3 = L3 * h3 / 2, T4 = L4 * h4 / 2 i T5 = L5 * h5 / 2.

Wartości odpowiadające h1, h2, h3, h4 i h5 są odpowiednio wysokościami każdego trójkąta.

Ostatecznie obszar pięciokąta jest sumą tych 5 obszarów. To znaczy A = T1 + T2 + T3 + T4 + T5.

Jak widać, obliczenie powierzchni nieregularnego pięciokąta jest bardziej złożone niż obliczenie powierzchni pięciokąta regularnego.

Wyznacznik Gaussa

Istnieje również inna metoda, za pomocą której można obliczyć obszar dowolnego nieregularnego wielokąta, zwanego wyznacznikiem Gaussa.

Ta metoda polega na narysowaniu wielokąta w płaszczyźnie kartezjańskiej, a następnie obliczeniu współrzędnych każdego wierzchołka.

Wierzchołki są wymienione w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i na koniec obliczane są pewne wyznaczniki, aby ostatecznie uzyskać obszar danego wielokąta.

Referencje

1. Alexander, D. C. i Koeberlein, G. M. (2014). Podstawowa geometria dla studentów. Nauka Cengage.
2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra i trygonometria z geometrią analityczną. Pearson Education.
3. Lofret, E. H. (2002). Księga tabel i wzorów / Księga tabliczek mnożenia i wzorów. Imaginator.
4. Palmer, C. I. i Bibb, S. F. (1979). Praktyczna matematyka: arytmetyka, algebra, geometria, trygonometria i suwak logarytmiczny (przedruk wyd.). Reverte.
5. Posamentier, A. S. i Bannister, R. L. (2014). Geometria, jej elementy i struktura: wydanie drugie. Courier Corporation.
6. Quintero, A. H. i Costas, N. (1994). Geometria. Redakcja, UPR.
7. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrie. Redakcja Tecnologica de CR.
8. Tora, F. B. (2013). Matematyka Pierwsza jednostka dydaktyczna ESO, Tom 1. Redakcyjny klub uniwersytecki.
9. Víquez, M., Arias, R. i Araya, J. (s.f.). Matematyka (szósty rok). EUNED.