Obliczanie przybliżeń przy użyciu mechanizmu różnicowego

Przybliżenie w matematyce jest liczbą, która nie jest dokładną wartością czegoś, ale jest tak bliska, że ​​jest uważana za przydatną jako dokładna wartość.

Gdy w matematyce dokonywane są przybliżenia, dzieje się tak dlatego, że ręcznie trudno jest (lub czasami jest to niemożliwe) znać dokładną wartość tego, co jest pożądane.

Głównym narzędziem podczas pracy z aproksymacjami jest różnica funkcji.

Różnica funkcji f, oznaczona przez Δf (x), jest nie większa niż pochodna funkcji f pomnożona przez zmianę zmiennej niezależnej, to znaczy Δf (x) = f '(x) * Δx.

Czasem używane są df i dx zamiast Δf i Δx.

Podejścia z wykorzystaniem mechanizmu różnicowego

Formuła stosowana do przybliżenia przez różnicę powstaje właśnie z definicji pochodnej funkcji jako granicy.

Ta formuła jest podawana przez:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Tutaj rozumie się, że Δx = x-x0, a zatem x = x0 + Δx. Używając tego wzoru można przepisać jako

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Należy zauważyć, że „x0” nie jest wartością dowolną, ale wartością taką, że f (x0) jest łatwo znana; Ponadto „f (x)” jest tylko wartością, którą chcemy przybliżyć.

Czy są lepsze przybliżenia?

Odpowiedź brzmi: tak. Poprzedni jest najprostszym z przybliżeń nazywanych „przybliżeniem liniowym”.

Dla lepszej jakości aproksymacje (błąd jest mniejszy) stosowane są wielomiany z większą liczbą pochodnych zwanych „wielomianami Taylora”, a także inne metody numeryczne, takie jak między innymi metoda Newtona-Raphsona..

Strategia

Strategia do naśladowania to:

- Wybierz odpowiednią funkcję f, aby wykonać przybliżenie i wartość „x”, tak aby f (x) była wartością, którą chcesz przybliżyć.

- Wybierz wartość „x0”, bliską „x”, tak aby f (x0) było łatwe do obliczenia.

- Oblicz Δx = x-x0.

- Oblicz pochodną funkcji i f '(x0).

- Zastąp dane we wzorze.

Rozwiązane ćwiczenia aproksymacyjne

W dalszej części znajduje się seria ćwiczeń, w których przybliżenia są wykonywane przy użyciu mechanizmu różnicowego.

Pierwsze ćwiczenie

Około √3.

Rozwiązanie

Zgodnie ze strategią należy wybrać odpowiednią funkcję. W tym przypadku można zauważyć, że funkcją do wyboru musi być f (x) = √x, a przybliżona wartość to f (3) = √3.

Teraz musimy wybrać wartość „x0” bliską „3”, aby f (x0) był łatwy do obliczenia. Jeśli wybierzesz „x0 = 2”, masz „x0” bliskie „3”, ale f (x0) = f (2) = √2 nie jest łatwe do obliczenia.

Wygodna wartość „x0” to „4”, ponieważ „4” jest bliskie „3”, a także f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Jeśli „x = 3” i „x0 = 4”, to Δx = 3-4 = -1. Teraz przystępujemy do obliczania pochodnej f. To znaczy, f '(x) = 1/2 * √x, tak że f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Zastępując wszystkie wartości w formule otrzymujesz:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Jeśli używany jest kalkulator, uzyskuje się, że ≈3≈1.73205 ... Pokazuje, że poprzedni wynik jest dobrym przybliżeniem rzeczywistej wartości.

Drugie ćwiczenie

Około √10.

Rozwiązanie

Tak jak poprzednio, jest on wybierany jako funkcja f (x) = √x iw tym przypadku x = 10.

Wartość x0, którą należy wybrać przy tej okazji, to „x0 = 9”. Mamy wtedy Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 i f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Oceniając w formule, masz to

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3,1666 ...

Za pomocą kalkulatora otrzymujesz √10 ≈ 3.1622776 ... Tutaj możesz również zobaczyć, że dobre przybliżenie zostało uzyskane przed.

Trzecie ćwiczenie

Przybliżony ³10, gdzie ³√ oznacza korzeń sześcienny.

Rozwiązanie

Oczywiście funkcją, która powinna być użyta w tym ćwiczeniu, jest f (x) = ³√x, a wartość „x” musi wynosić „10”.

Wartość zbliżona do „10”, taka jak jej korzeń sześcianu, jest znana jako „x0 = 8”. Następnie mamy Δx = 10-8 = 2 if (x0) = f (8) = 2. Mamy również, że f '(x) = 1/3 * ³√x², a w konsekwencji f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Zastępując dane we wzorze, uzyskuje się, że:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2,166666 ... .

Kalkulator mówi, że ³√10 ≈ 2.15443469 ... Dlatego znalezione przybliżenie jest dobre.

Czwarte ćwiczenie

Approxime ln (1.3), gdzie „ln” oznacza funkcję logarytmu naturalnego.

Rozwiązanie

Najpierw wybierana jest funkcja f (x) = ln (x), a wartość „x” wynosi 1,3. Teraz, wiedząc trochę o funkcji logarytmu, możemy wiedzieć, że ln (1) = 0, a także „1” jest bliskie „1.3”. Dlatego „x0 = 1” jest wybierane, a więc Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

Z drugiej strony f '(x) = 1 / x, tak że f' (1) = 1. Przy ocenie w danej formule musisz:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.

Podczas korzystania z kalkulatora musisz podać ln (1.3) ≈ 0.262364 ... Tak więc przybliżenie jest dobre.

Referencje

1. Fleming, W. i Varberg, D. E. (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W. i Varberg, D. E. (1989). Precalculus mathematics: podejście do rozwiązywania problemów (2, ilustrowany ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W. i Varberg, D. (1991). Algebra i trygonometria z geometrią analityczną. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 wyd.). Nauka Cengage.
5. Leal, J. M., i Viloria, N. G. (2005). Płaska geometria analityczna. Merida - Wenezuela: Redakcja Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Pearson Education.
7. Purcell, E. J., Varberg, D. i Rigdon, S. E. (2007). Obliczanie (Wydanie dziewiąte). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Rachunek różniczkowy z wczesnymi funkcjami transcendentalnymi dla nauki i inżynierii (Wydanie drugie). Hypotenuse.
9. Scott, C. A. (2009). Geometria płaszczyzny kartezjańskiej, część: Stożki analityczne (1907) (przedruk wyd.). Źródło pioruna.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculus. Pearson Education.