Tło historyczne geometrii analitycznej

The Tło historyczne geometrii analitycznej sięgają XVII wieku, kiedy Pierre de Fermat i René Descartes zdefiniowali swoją podstawową ideę. Jego wynalazek nastąpił po modernizacji algebry i algebraicznej notacji François Viète.

To pole ma swoje podstawy w starożytnej Grecji, zwłaszcza w dziełach Apolloniusza i Euklidesa, którzy mieli wielki wpływ na tę dziedzinę matematyki.

Zasadniczą ideą geometrii analitycznej jest to, że relacja między dwiema zmiennymi, tak że jedna jest funkcją drugiej, definiuje krzywą.

Pomysł ten został opracowany po raz pierwszy przez Pierre'a de Fermata. Dzięki tym podstawowym ramom Isaac Newton i Gottfried Leibniz byli w stanie opracować obliczenia.

Francuski filozof Kartezjusz odkrył również algebraiczne podejście do geometrii, najwyraźniej na własną rękę. Prace Kartezjusza nad geometrią pojawiają się w jego słynnej książce Mowa o metodzie.

W tej książce wskazano, że kompas i geometryczne konstrukcje prostych krawędzi wymagają dodania, odejmowania, mnożenia i pierwiastków kwadratowych.

Geometria analityczna reprezentuje połączenie dwóch ważnych tradycji w matematyce: geometrii jako badania formy oraz arytmetyki i algebry, które mają związek z ilością lub liczbami. Dlatego geometria analityczna jest badaniem pola geometrii przy użyciu układów współrzędnych.

Historia

Tło geometrii analitycznej

Związek między geometrią i algebrą ewoluował w całej historii matematyki, chociaż geometria osiągnęła wcześniejszy stopień dojrzałości.

Na przykład grecki matematyk Euclid był w stanie zorganizować wiele wyników w swojej klasycznej książce Elementy.

Ale to starożytny grecki Apolloniusz z Pergi przewidział rozwój geometrii analitycznej w swojej książce Conics. Zdefiniował stożek jako przecięcie stożka i płaszczyzny.

Wykorzystując wyniki Euklidesa w podobnych trójkątach i osuszając okrąg, znalazł związek podany przez odległości od dowolnego punktu „P” stożka do dwóch prostopadłych linii, głównej osi stożka i stycznej w końcowym punkcie osi. Apollonius użył tej zależności, aby wywnioskować podstawowe właściwości stożków.

Późniejszy rozwój układów współrzędnych w matematyce pojawił się dopiero po dojrzewaniu algebry dzięki islamskim i indyjskim matematykom.

Do czasu, gdy geometria renesansowa została użyta do uzasadnienia rozwiązań problemów algebraicznych, ale algebra nie mogła wiele wnieść do geometrii.

Sytuacja ta ulegnie zmianie wraz z przyjęciem dogodnej notacji dla relacji algebraicznych i rozwoju koncepcji funkcji matematycznej, która była teraz możliwa.

XVI wiek

Pod koniec XVI wieku francuski matematyk François Viète wprowadził pierwszą systematyczną notację algebraiczną, używając liter do reprezentowania wielkości liczbowych, zarówno znanych, jak i nieznanych.

Opracował także potężne ogólne metody do pracy z wyrażeniami algebraicznymi i rozwiązywania równań algebraicznych.

Dzięki temu matematycy nie byli całkowicie zależni od figur geometrycznych i intuicji geometrycznej, aby rozwiązywać problemy.

Nawet niektórzy matematycy zaczęli rezygnować ze standardowego geometrycznego sposobu myślenia, zgodnie z którym zmienne liniowe długości i kwadratów odpowiadają obszarom, podczas gdy sześcienne odpowiadają objętościom.

Pierwszym krokiem był filozof i matematyk René Descartes oraz prawnik i matematyk Pierre de Fermat.

Podstawy geometrii analitycznej

Kartezjusz i Fermat niezależnie założyli geometrię analityczną w latach trzydziestych XVI wieku, przyjmując algebrę Viète'a do badania locus geometrycznego.

Ci matematycy zdali sobie sprawę, że algebra była narzędziem o dużej mocy w geometrii i wymyśliła to, co dziś nazywa się geometrią analityczną.

Dokonany postęp polegał na pokonaniu Viète za pomocą liter reprezentujących odległości, które są zmienne zamiast stałych..

Kartezjusz użył równań do badania geometrycznie zdefiniowanych krzywych i podkreślił potrzebę uwzględnienia ogólnych krzywych algebraiczno-graficznych równań wielomianowych w stopniach „x” i „y”.

Ze swojej strony Fermat podkreślił, że każdy związek między współrzędnymi „x” i „i” określa krzywą.

Korzystając z tych pomysłów, zrestrukturyzował oświadczenia Apolloniusza o terminach algebraicznych i przywrócił niektóre z utraconych dzieł..

Fermat wskazał, że każde równanie kwadratowe w „x” i „y” można umieścić w standardowej postaci jednej ze stożkowych sekcji. Mimo to Fermat nigdy nie opublikował swojej pracy na ten temat.

Dzięki jego postępom, co Archimedes mógł rozwiązać tylko z wielką trudnością i dla pojedynczych przypadków, Fermat i Kartezjusz mogli rozwiązać go szybko i dla dużej liczby krzywych (znanych obecnie jako krzywe algebraiczne).

Ale jego idee zyskały ogólną akceptację dzięki wysiłkom innych matematyków w drugiej połowie XVII wieku.

Matematycy Frans van Schooten, Florimond de Beaune i Johan de Witt pomogli rozwinąć pracę Decartesa i dodali ważny dodatkowy materiał.

Wpływ

W Anglii John Wallis spopularyzował geometrię analityczną. Użył równań do zdefiniowania stożków i wyprowadzenia ich właściwości. Chociaż swobodnie używał ujemnych współrzędnych, to Izaak Newton użył dwóch skośnych osi, aby podzielić płaszczyznę na cztery ćwiartki.

Newton i niemiecki Gottfried Leibniz zrewolucjonizowali matematykę pod koniec XVII wieku, niezależnie wykazując siłę obliczeń.

Newton zademonstrował znaczenie metod analitycznych w geometrii i jej roli w rachunku różniczkowym, kiedy stwierdził, że każda kostka (lub jakakolwiek krzywa algebraiczna trzeciego stopnia) ma trzy lub cztery równania standardowe dla odpowiednich osi współrzędnych. Z pomocą samego Newtona szkocki matematyk John Stirling udowodnił to w 1717 roku.

Geometria analityczna trzech i więcej wymiarów

Chociaż zarówno Kartezjusz, jak i Fermat sugerowali użycie trzech współrzędnych do badania krzywych i powierzchni w przestrzeni, trójwymiarowa geometria analityczna rozwijała się powoli do 1730 roku.

Matematycy Euler, Hermann i Clairaut stworzyli ogólne równania dla cylindrów, stożków i powierzchni rewolucji.

Na przykład Euler użył równań do translacji w przestrzeni, aby przekształcić ogólną powierzchnię kwadratową, tak że jej główne osie pokrywały się z osiami współrzędnych.

Euler, Joseph-Louis Lagrange i Gaspard Monge stworzyli geometrię analityczną niezależną od geometrii syntetycznej (nie analitycznej).

Referencje

1. Rozwój geometrii analitycznej (2001). Odzyskany z encyklopedii.com
2. Historia geometrii analitycznej (2015). Odzyskany z maa.org
3. Analiza (matematyka). Odzyskany z britannica.com
4. Geometria analityczna. Odzyskany z britannica.com
5. Kartezjusz i narodziny geometrii analitycznej. Odzyskany z sciencedirect.com