Techniki analizy wymiarowej, zasada jednorodności i ćwiczenia

The analiza wymiarowa jest narzędziem szeroko stosowanym w różnych gałęziach nauki i inżynierii, aby lepiej zrozumieć zjawiska związane z obecnością różnych wielkości fizycznych. Wielkości mają wymiary iz nich pochodzą różne jednostki miary.

Pochodzenie koncepcji wymiaru znajduje się we francuskim matematyku Josephie Fourierze, który ją wymyślił. Fourier zrozumiał także, że aby dwa równania były porównywalne, muszą być jednorodne pod względem wymiarów. Oznacza to, że nie można dodawać metrów z kilogramami.

Zatem analiza wymiarowa jest odpowiedzialna za badanie wielkości, wymiarów i jednorodności równań fizycznych. Z tego powodu często używa się go do sprawdzania relacji i obliczeń lub do konstruowania hipotez dotyczących skomplikowanych pytań, które można następnie eksperymentalnie przetestować..

Tak więc, analiza wymiarowa jest idealnym narzędziem do wykrywania błędów w obliczeniach w celu sprawdzenia zgodności lub niezgodności z jednostek używanych w nim, w szczególności poprzez umieszczenie ostrość w jednostkach ostatecznych wyników.

Ponadto analiza wymiarowa służy do projekcji systematycznych eksperymentów. Pozwala zmniejszyć liczbę niezbędnych eksperymentów, a także ułatwić interpretację uzyskanych wyników.

Jedną z fundamentalnych podstaw analizy wymiarowej jest to, że możliwe jest przedstawienie dowolnej wielkości fizycznej jako iloczynu mocy mniejszej ilości, znanych jako wielkości podstawowe, z których pochodzi reszta.

Indeks

• 1 Podstawowe wielkości i formuła wymiarowa
• 2 Techniki analizy wymiarowej
  • 2.1 Metoda Rayleigha
  • 2.2 Metoda Buckingham
• 3 Zasada jednorodności wymiarowej
  • 3.1 Zasada podobieństwa
• 4 Aplikacje
• 5 rozwiązanych ćwiczeń
  • 5.1 Pierwsze ćwiczenie
  • 5.2 Drugie ćwiczenie
• 6 referencji

Podstawowe wielkości i formuła wymiarowa

W fizyce są one uważane za niezbędne, aby te, które pozwalają express do innych pod względem tych ilościach. Umownie, wybraliśmy następujące: długość (L), czas (t), masę (M), przy czym prąd (I), temperatury (θ), intensywność światła (j) ilość substancji (N).

Przeciwnie, reszta jest uważana za wielkości pochodne. Niektóre z nich to między innymi: obszar, objętość, gęstość, prędkość, przyspieszenie.

Równość matematyczna jest zdefiniowana jako formuła wymiarowa, która przedstawia zależność między ilością pochodną a podstawową.

Techniki analizy wymiarowej

Istnieje kilka technik lub metod analizy wymiarowej. Dwa z najważniejszych są następujące:

Metoda Rayleigha

Rayleigh, który był obok Fouriera, jednego z prekursorów analizy wymiarowej, opracował bezpośrednią i bardzo prostą metodę, która pozwala nam uzyskać elementy bezwymiarowe. W tej metodzie przestrzegane są następujące kroki:

1- Zdefiniowano potencjalną funkcję znakową zmiennej zależnej.

2- Każda zmienna jest zmieniana przez odpowiadające jej wymiary.

3- Ustalono równania warunku jednorodności.

4- Naprawiono nieznane n-p.

5- Zastąp wykładniki, które zostały obliczone i ustalone w równaniu potencjalnym.

6- Przesuń grupy zmiennych, aby zdefiniować bezwymiarowe liczby.

Metoda Buckingham

Metoda ta opiera się na twierdzeniu Buckinghama lub twierdzeniu pi, które stwierdza, co następuje:

Jeśli związek pomiędzy jednakowego poziomu wymiarową „n” wielkości fizycznych lub zmiennych, które pojawiają się w tym „p” w różnych podstawowych wymiarach zapewnia jednorodność stosunek dimesionalmente między n-p są także, niezależne grupy bezwymiarowe.

Zasada jednorodności wymiarowej

Zasada Fouriera, znana również jako zasada jednorodności wymiarowej, wpływa na prawidłową strukturę wyrażeń łączących wielkości fizyczne algebraicznie.

Jest to zasada, która ma spójność matematyczną i stwierdza, że ​​jedyną opcją jest odjęcie lub dodanie wielkości fizycznych o tym samym charakterze. Dlatego nie jest możliwe dodanie masy o długości lub czasie z powierzchnią itp..

Podobnie zasada stwierdza, że ​​aby równania fizyczne były poprawne na poziomie wymiarowym, całkowite terminy członków dwóch stron równości muszą mieć ten sam wymiar. Zasada ta pozwala zagwarantować spójność równań fizycznych.

Zasada podobieństwa

Zasada podobieństwa jest rozszerzeniem charakteru jednorodności na poziomie wymiarowym równań fizycznych. Mówi się, co następuje:

Prawa fizyczne pozostają niezmienione w porównaniu ze zmianą wymiarów (wielkości) faktów fizycznych w tym samym systemie jednostek, niezależnie od tego, czy są to zmiany rzeczywistej czy wymyślonej postaci.

Najwyraźniejsze zastosowanie zasady podobieństwa jest podane w analizie właściwości fizycznych modelu wykonanego w mniejszej skali, aby później wykorzystać wyniki w obiekcie w rzeczywistym rozmiarze.

Ta praktyka ma fundamentalne znaczenie w takich dziedzinach, jak projektowanie i produkcja samolotów i statków oraz w dużych pracach hydraulicznych.

Aplikacje

Wśród wielu zastosowań analizy wymiarowej możemy wyróżnić te wymienione poniżej.

- Zlokalizuj możliwe błędy w przeprowadzonych operacjach

- Rozwiązuj problemy, których rozdzielczość przedstawia pewną trudność matematyczną nie do pokonania.

- Projektuj i analizuj modele na małą skalę.

- Dokonuj obserwacji, w jaki sposób możliwe modyfikacje wpływają na model.

Ponadto analiza wymiarów jest często stosowana w badaniach mechaniki płynów.

Znaczenie analizy wymiarowej w mechanice płynów jest ze względu na trudności w tworzeniu pewnych równań przepływu, jak również trudności w rozwiązywaniu, uniemożliwiając uzyskanie relacji empirycznych. Dla Wymaga to przechodząc do metody eksperymentalnej.

Rozwiązane ćwiczenia

Pierwsze ćwiczenie

Znajdź wymiarowe równanie prędkości i przyspieszenia.

Rozwiązanie

Ponieważ v = s / t, prawdą jest, że: [v] = L / T = L ∙ T^-1

Podobnie:

a = v / t

[a] = L / T² = L ∙ T^-2

Drugie ćwiczenie

Określ wymiarowe równanie wielkości ruchu.

Rozwiązanie

Ponieważ pęd jest iloczynem masy i prędkości, prawdą jest, że p = m ∙ v

Dlatego:

[p] = M ∙ L / T = M ∙ L ∙ T^-2

Referencje

1. Analiza wymiarowa (n.d.). W Wikipedii. Pobrane 19 maja 2018 r. Z en.wikipedia.org.
2. Analiza wymiarowa (n.d.). W Wikipedii. Pobrane 19 maja 2018 r. Z en.wikipedia.org.
3. Langhaar, H. L. (1951), Analiza wymiarowa i teoria modeli, Wiley.
4. Fidalgo Sánchez, José Antonio (2005). Fizyka i chemia. Everest
5. David C. Cassidy, Gerald James Holton, Floyd James Rutherford (2002). Zrozumienie fizyki. Birkhäuser.