Przyspieszenie kątowe Jak to obliczyć i przykłady



The przyspieszenie kątowe jest odmianą, która wpływa na prędkość kątową z uwzględnieniem jednostki czasu. Jest reprezentowany przez grecką literę alfa, α. Przyspieszenie kątowe jest wielkością wektorową; dlatego składa się z modułu, kierunku i sensu.

Jednostką pomiaru przyspieszenia kątowego w układzie międzynarodowym jest radian na sekundę do kwadratu. W ten sposób przyspieszenie kątowe pozwala określić, jak prędkość kątowa zmienia się w czasie. Często bada się przyspieszenie kątowe związane z równomiernie przyspieszonymi ruchami kołowymi.

W ten sposób, w jednorodnie przyspieszonym ruchu kołowym, wartość przyspieszenia kątowego jest stała. Przeciwnie, w jednolitym ruchu kołowym wartość przyspieszenia kątowego wynosi zero. Przyspieszenie kątowe jest odpowiednikiem ruchu kołowego do przyspieszenia stycznego lub liniowego w ruchu prostoliniowym.

W rzeczywistości jego wartość jest wprost proporcjonalna do wartości przyspieszenia stycznego. Zatem im większe przyspieszenie kątowe kół roweru, tym większe przyspieszenie.

Dlatego przyspieszenie kątowe występuje zarówno w kołach roweru, jak iw kołach dowolnego innego pojazdu, o ile występuje zmiana prędkości obrotowej koła.

Podobnie, przyspieszenie kątowe występuje również w kole, ponieważ podczas ruchu rozpoczyna się równomiernie przyspieszany ruch kołowy. Oczywiście przyspieszenie kątowe można również znaleźć w karuzeli.

Indeks

  • 1 Jak obliczyć przyspieszenie kątowe?
    • 1.1 Równomiernie przyspieszony ruch kołowy
    • 1.2 Moment obrotowy i przyspieszenie kątowe
  • 2 Przykłady
    • 2.1 Pierwszy przykład
    • 2.2 Drugi przykład
    • 2.3 Trzeci przykład
  • 3 referencje

Jak obliczyć przyspieszenie kątowe?

Ogólnie rzecz biorąc, chwilowe przyspieszenie kątowe jest zdefiniowane z następującego wyrażenia:

α = dω / dt

W tym wzorze ω jest prędkością kątową wektora, a t jest czasem.

Średnie przyspieszenie kątowe można również obliczyć z następującego wyrażenia:

α = Δω / Δt

W konkretnym przypadku ruchu płaskiego zdarza się, że zarówno prędkość kątowa, jak i przyspieszenie kątowe są wektorami o kierunku prostopadłym do płaszczyzny ruchu.

Z drugiej strony moduł przyspieszenia kątowego można obliczyć z przyspieszenia liniowego za pomocą następującego wyrażenia:

α = a / R

W tym wzorze a oznacza przyspieszenie styczne lub liniowe; a R jest promieniem bezwładności ruchu kołowego.

Ruch kołowy równomiernie przyspieszony

Jak już wspomniano powyżej, przyspieszenie kątowe występuje w równomiernie przyspieszonym ruchu kołowym. Z tego powodu interesujące jest poznanie równań, które rządzą tym ruchem:

ω = ω0 + α ∙ t

θ = θ0 + ω0 ∙ t + 0,5 ∙ α ∙ t2

ω2 = ω02 + 2 ∙ α ∙ (θ - θ0)

W tych wyrażeniach θ jest kątem przemieszczanym w ruchu kołowym, θ0 jest początkowym kątem, ω0 jest początkową prędkością kątową, a ω jest prędkością kątową.

Moment obrotowy i przyspieszenie kątowe

W przypadku ruchu liniowego, zgodnie z drugim prawem Newtona, do uzyskania pewnego przyspieszenia wymagana jest siła. Ta siła jest wynikiem pomnożenia masy ciała i przyspieszenia, które doświadczyło tego samego.

Jednak w przypadku ruchu kołowego siła wymagana do nadania przyspieszenia kątowego jest nazywana momentem obrotowym. Krótko mówiąc, moment obrotowy można rozumieć jako siłę kątową. Jest oznaczony grecką literą τ (wymawiane „tau”).

Podobnie, należy wziąć pod uwagę, że w ruchu obrotowym moment bezwładności I ciała wykonuje rolę masy w ruchu liniowym. W ten sposób moment obrotowy ruchu kołowego jest obliczany z następującym wyrażeniem:

τ = I α

W tym wyrażeniu I jest momentem bezwładności ciała względem osi obrotu.

Przykłady

Pierwszy przykład

Określ chwilowe przyspieszenie kątowe poruszającego się ciała przechodzącego ruch obrotowy, biorąc pod uwagę jego położenie w obrocie Θ (t) = 4 t3 i. (Gdzie i jest wektorem jednostkowym w kierunku osi x).

Określ także wartość chwilowego przyspieszenia kątowego, gdy minęło 10 sekund od początku ruchu.

Rozwiązanie

Wyrażenie prędkości kątowej można uzyskać z wyrażenia pozycji:

ω (t) = d Θ / dt = 12 t2i (rad / s)

Po obliczeniu chwilowej prędkości kątowej chwilowe przyspieszenie kątowe można obliczyć w funkcji czasu.

α (t) = dω / dt = 24 t i (rad / s2)

Aby obliczyć wartość chwilowego przyspieszenia kątowego, gdy upłynęło 10 sekund, wystarczy zastąpić wartość czasu w poprzednim wyniku.

α (10) = = 240 i (rad / s2)

Drugi przykład

Określ średnie przyspieszenie kątowe ciała, które doświadcza ruchu kołowego, wiedząc, że jego początkowa prędkość kątowa wynosiła 40 rad / s, a po 20 sekundach osiągnęła prędkość kątową 120 rad / s.

Rozwiązanie

Z następującego wyrażenia można obliczyć średnie przyspieszenie kątowe:

α = Δω / Δt

α = (ωf  - ω0) / (tf - t0 ) = (120 - 40) / 20 = 4 rad / s

Trzeci przykład

Jakie będzie przyspieszenie kątowe koła, które zaczyna poruszać się z równomiernie przyspieszonym ruchem kołowym, aż po 10 sekundach osiągnie prędkość kątową 3 obrotów na minutę? Jakie będzie przyspieszenie styczne ruchu kołowego w tym okresie czasu? Promień koła wynosi 20 metrów.

Rozwiązanie

Po pierwsze, konieczne jest przekształcenie prędkości kątowej z obrotów na minutę na radiany na sekundę. W tym celu przeprowadzana jest następująca transformacja:

ωf = 3 rpm = 3 ∙ (2 Π Π) / 60 = Π / 10 rad / s

Po przeprowadzeniu tej transformacji możliwe jest obliczenie przyspieszenia kątowego, ponieważ:

ω = ω0 + α ∙ t

Π / 10 = 0 + α ∙ 10

α = Π / 100 rad / s2

Przyspieszenie styczne wynika z działania następującego wyrażenia:

α = a / R

a = α ∙ R = 20 ∙ Π / 100 = Π / 5 m / s2

Referencje

  1. Resnik, Halliday i Krane (2002). Tom 1 Fizyki. Cecsa.
  2. Thomas Wallace Wright (1896). Elementy mechaniki, w tym kinematyka, kinetyka i statyka. E i FN Spon.
  3. P. P. Teodorescu (2007). „Kinematyka”. Systemy mechaniczne, modele klasyczne: mechanika cząstek. Springer.
  4. Kinematyka sztywnego ciała stałego. (n.d.). W Wikipedii. Pobrane 30 kwietnia 2018 r. Z es.wikipedia.org.
  5. Przyspieszenie kątowe. (n.d.). W Wikipedii. Pobrane 30 kwietnia 2018 r. Z es.wikipedia.org.
  6. Resnick, Robert i Halliday, David (2004). 4. fizyka. CECSA, Meksyk
  7. Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Fizyka dla naukowców i inżynierów (Wydanie szóste). Brooks / Cole.