Techniki liczenia technicznego, zastosowania i przykłady



The techniki liczenia to seria metod prawdopodobieństwa do policzenia możliwej liczby układów w zestawie lub kilku zestawach obiektów. Są one używane, gdy tworzenie kont ręcznie staje się skomplikowane ze względu na dużą liczbę obiektów i / lub zmiennych.

Na przykład rozwiązanie tego problemu jest bardzo proste: wyobraź sobie, że twój szef prosi cię o policzenie ostatnich produktów, które dotarły w ciągu ostatniej godziny. W takim przypadku możesz przejść i policzyć produkty pojedynczo.

Wyobraź sobie jednak, że problem polega na tym, że twój szef prosi cię o policzenie, ile grup po 5 produktów tego samego typu można utworzyć z tymi, którzy przybyli w ciągu ostatniej godziny. W takim przypadku obliczenia stają się skomplikowane. Tak zwane techniki liczenia są stosowane w tego typu sytuacjach.  

Techniki te są kilka, ale najważniejsze są podzielone na dwie podstawowe zasady, którymi są mnożnik i dodatek; permutacje i kombinacje.

Indeks

  • 1 zasada multiplikatywności
    • 1.1 Aplikacje
    • 1.2 Przykład
  • 2 Zasada addytywności 
    • 2.1 Aplikacje
    • 2.2 Przykład
  • 3 permutacje
    • 3.1 Aplikacje
    • 3.2 Przykład
  • 4 Kombinacje
    • 4.1 Aplikacje
    • 4.2 Przykład
  • 5 referencji 

Zasada multiplikatywności

Aplikacje

Zasada multiplikatywności, wraz z dodatkiem, ma podstawowe znaczenie dla zrozumienia działania technik liczenia. W przypadku multiplikatywnego składa się z następujących elementów:

Wyobraź sobie działanie, które obejmuje określoną liczbę kroków (suma jest oznaczona jako „r”), gdzie pierwszy krok można wykonać z form N1, drugi etap N2 i krok „r” formularzy. W tym przypadku działanie można wykonać z liczby formularzy wynikających z tej operacji: N1 x N2 x ... .x Nr formularzy

Dlatego ta zasada jest nazywana multiplikatywną i oznacza, że ​​każdy z kroków, które są potrzebne do przeprowadzenia działania, musi być wykonywany jeden po drugim. 

Przykład

Wyobraźmy sobie osobę, która chce zbudować szkołę. W tym celu należy wziąć pod uwagę, że podstawa budynku może być zbudowana na dwa różne sposoby: cement lub beton. Jeśli chodzi o ściany, mogą być wykonane z adobe, cementu lub cegły.

Jeśli chodzi o dach, może on być wykonany z cementu lub blachy ocynkowanej. Ostatecznie ostateczne malowanie można wykonać tylko w jeden sposób. Powstaje następujące pytanie: Ile sposobów musi zbudować szkoła??

Najpierw rozważamy liczbę kroków, które będą podstawą, ścianami, dachem i obrazem. W sumie 4 kroki, więc r = 4.

Oto lista N:

N1 = sposoby budowania bazy = 2

N2 = sposoby budowania ścian = 3

N3 = sposoby wykonania dachu = 2

N4 = sposoby tworzenia farby = 1

Dlatego liczba możliwych formularzy byłaby obliczana według wzoru opisanego powyżej:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 sposobów ukończenia szkoły.

Zasada addytywności

Aplikacje

Zasada ta jest bardzo prosta i polega na tym, że w przypadku istnienia kilku alternatyw do wykonania tej samej czynności możliwe sposoby składają się z sumy różnych możliwych sposobów wykonania wszystkich alternatyw.

Innymi słowy, jeśli chcemy przeprowadzić działanie z trzema alternatywami, gdzie pierwsza alternatywa może być wykonana w formach M, druga w postaci N i ostatnia w formach W, aktywność może być wykonana z: M + N + ... + W form.

Przykład

Wyobraź sobie tym razem osobę, która chce kupić rakietę tenisową. W tym celu ma do wyboru trzy marki: Wilson, Babolat lub Head.

Kiedy idzie do sklepu, widzi, że rakieta Wilsona można kupić z uchwytem o dwóch różnych rozmiarach, L2 lub L3 w czterech różnych modelach i może być nawleczona lub bez sznurka.

Rakieta Babolat, z drugiej strony, ma trzy uchwyty (L1, L2 i L3), istnieją dwa różne modele i może być również nawleczona lub bez naciągania.

Rakieta Head z drugiej strony ma tylko jeden uchwyt, L2, w dwóch różnych modelach i tylko bez sznurka. Pytanie brzmi: ile sposobów ta osoba musi kupić swoją rakietę??

M = Liczba sposobów wyboru rakiety Wilsona

N = Liczba sposobów wyboru rakiety Babolat

W = Liczba sposobów wyboru rakiety czołowej

Tworzymy zasadę mnożnika:

M = 2 x 4 x 2 = 16 form

N = 3 x 2 x 2 = 12 form

W = 1 x 2 x 1 = 2 formy

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 sposobów na wybór rakiety.

Aby wiedzieć, kiedy stosować zasadę multiplikatywną i dodatek, wystarczy sprawdzić, czy działanie ma szereg kroków do wykonania, a jeśli istnieje kilka alternatyw, dodatek.

Permutacje

Aplikacje

Aby zrozumieć, czym jest permutacja, ważne jest wyjaśnienie, jaka jest kombinacja, aby je rozróżnić i wiedzieć, kiedy z nich korzystać.

Kombinacja byłaby układem elementów, w których nie jesteśmy zainteresowani pozycją, którą zajmuje każdy z nich.

Z drugiej strony permutacja byłaby układem elementów, w których interesuje nas położenie, które zajmuje każdy z nich.

Podajmy przykład, aby lepiej zrozumieć różnicę.

Przykład

Wyobraź sobie klasę składającą się z 35 uczniów i następujących sytuacji:

  1. Nauczyciel chce, aby troje jego uczniów pomogło mu utrzymać klasę w czystości lub dostarczyć materiały innym uczniom, kiedy tego potrzebuje.
  2. Nauczyciel chce wyznaczyć delegatów klasowych (prezydenta, asystenta i finansistę).

Rozwiązaniem byłoby:

  1. Wyobraź sobie, że głosując na Juana, Marię i Lucię wybiera się czyszczenie klasy lub dostarczanie materiałów. Oczywiście można było utworzyć inne trzyosobowe grupy spośród 35 możliwych studentów.

Musimy zadać sobie następujące pytania: czy ważne jest, aby kolejność lub pozycja zajmowana przez każdego z uczniów w momencie ich wyboru??

Jeśli się nad tym zastanowimy, zobaczymy, że to naprawdę nie jest ważne, ponieważ grupa zajmie się obydwoma zadaniami jednakowo. W tym przypadku jest to kombinacja, ponieważ nie interesuje nas położenie elementów.

  1. Teraz wyobraź sobie, że John został wybrany na prezydenta, Maria jako asystentka, a Lucia jako finansowa.

Czy w takim przypadku zamówienie będzie ważne? Odpowiedź brzmi: tak, ponieważ jeśli zmienimy elementy, wynik ulegnie zmianie. To znaczy, jeśli zamiast postawić Juana na stanowisku prezydenta, stawiamy go jako asystenta, a Maria jako prezydenta, ostateczny rezultat się zmieni. W tym przypadku jest to permutacja.

Po zrozumieniu różnicy otrzymamy wzory permutacji i kombinacji. Jednak najpierw musimy zdefiniować termin „n!” (W silni), ponieważ będzie on używany w różnych formułach.

n! = do produktu od 1 do n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n

Używanie go z liczbami rzeczywistymi:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 10 = 3,628,800

 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120

Formuła permutacji byłaby następująca:

nPr = n! / (n-r)!

Dzięki niemu możemy znaleźć układy, w których kolejność jest ważna i gdzie n elementów jest różnych.

Kombinacje

Aplikacje

Jak już wcześniej komentowaliśmy, kombinacje są układami, w których nie dbamy o położenie elementów.

Jego formuła jest następująca:

nCr = n! / (n-r)! r!

Przykład

Jeśli jest 14 uczniów, którzy chcą zgłosić się na ochotnika do sprzątania klasy, ile grup sprzątających może utworzyć każda grupa 5 osób??

Rozwiązaniem byłoby zatem następujące:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = Grupy 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002

Referencje

  1. Jeffrey, R.C., Prawdopodobieństwo i sztuka sądu, Cambridge University Press. (1992).
  2. William Feller, „Wprowadzenie do teorii prawdopodobieństwa i jej zastosowań", (Vol 1), 3rd Ed, (1968), Wiley
  3. Finetti, Bruno de (1970). „Podstawy logiczne i pomiar prawdopodobieństwa subiektywnego”. Akt psychologiczny.
  4. Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Wprowadzenie do statystyki matematycznej (Wyd. 6). Górna rzeka siodła: Pearson.
  5. Franklin, J. (2001) Nauka o hipotezie: dowody i prawdopodobieństwo przed Pascalem,Johns Hopkins University Press.