Jakie są rodzaje integralności?



The typy całek w obliczeniach znajdujemy: nieokreślone całki i całki zdefiniowane. Chociaż całki określone mają znacznie więcej zastosowań niż całki nieokreślone, należy najpierw nauczyć się rozwiązywać całki nieokreślone.

Jednym z najbardziej atrakcyjnych zastosowań całek określonych jest obliczenie objętości bryły rewolucji.

Oba typy całek mają te same właściwości liniowości, a także techniki integracji nie zależą od typu całki.

Ale mimo że jest bardzo podobny, istnieje główna różnica; w pierwszym typie całki wynikiem jest funkcja (która nie jest specyficzna), podczas gdy w drugim typie wynikiem jest liczba.

Dwa podstawowe typy całek

Świat całek jest bardzo szeroki, ale w nim możemy wyróżnić dwa podstawowe typy całek, które mają wielką przydatność w życiu codziennym.

1- Całki nieokreślone

Jeśli F '(x) = f (x) dla wszystkich x w domenie f, mówimy, że F (x) jest pierwotną, prymitywną lub całką f (x).

Z drugiej strony zauważ, że (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), co oznacza, że ​​całka funkcji nie jest unikalna, ponieważ nadanie różnym wartościom stałej C uzyskamy różne środki przeciwdziałające.

Z tego powodu F (x) + C nazywa się nieokreśloną całką f (x), a C nazywa się stałą całkowania i zapisujemy ją w następujący sposób

Jak widać, całka nieokreślona funkcji f (x) jest rodziną funkcji.

Na przykład, jeśli chcesz obliczyć całkę nieokreśloną funkcji f (x) = 3x², musisz najpierw znaleźć pierwotną f (x).

Łatwo zauważyć, że F (x) = x³ jest pierwotną, ponieważ F '(x) = 3x². Dlatego można stwierdzić, że

∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.

2- Zdefiniowane całki

Niech y = f (x) będzie funkcją rzeczywistą, ciągłą w zamkniętym przedziale [a, b] i niech F (x) będzie pierwotną f (x). Nazywa się całką oznaczoną f (x) między granicami a i b do liczby F (b) -F (a) i jest oznaczana następująco

Powyższy wzór jest lepiej znany jako „Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego”. Tutaj „a” nazywa się dolną granicą, a „b” górną. Jak widać, całka oznaczona funkcji jest liczbą.

W tym przypadku, jeśli obliczona zostanie określona całka f (x) = 3x² w przedziale [0.3], zostanie uzyskana liczba.

Aby określić tę liczbę, wybieramy F (x) = x³ jako pierwotną wartość f (x) = 3x². Następnie obliczamy F (3) -F (0), co daje nam wynik 27-0 = 27. Podsumowując, całka oznaczona f (x) w przedziale [0.3] wynosi 27.

Można podkreślić, że jeśli wybrano G (x) = x³ + 3, to G (x) jest pierwotną f (x) inną niż F (x), ale nie ma to wpływu na wynik, ponieważ G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Z tego powodu w zdefiniowanych całkach nie pojawia się stała całkowania.

Jedną z najbardziej przydatnych aplikacji tego typu całki jest to, że pozwala obliczyć powierzchnię (objętość) płaskiej figury (bryły obrotowej), ustanawiając odpowiednie funkcje i granice integracji (i oś obrotu).

W obrębie zdefiniowanych całek możemy znaleźć różne jego rozszerzenia, na przykład całki liniowe, całki powierzchniowe, całki niewłaściwe, całki wielokrotne, między innymi, wszystkie z bardzo przydatnymi zastosowaniami w nauce i inżynierii.

Referencje

  1. Casteleiro, J. M. (2012). Czy łatwo jest się zintegrować? Podręcznik samouka. Madryt: ESIC.
  2. Casteleiro, J. M. i Gómez-Álvarez, R. P. (2002). Kompleksowe obliczenia (Ilustrowany ed.). Madryt: Redakcja ESIC.
  3. Fleming, W. i Varberg, D. E. (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
  4. Fleming, W. i Varberg, D. E. (1989). Precalculus mathematics: podejście do rozwiązywania problemów (2, ilustrowany ed.). Michigan: Prentice Hall.
  5. Kishan, H. (2005). Rachunek całkowy. Atlantic Publishers & Distributors.
  6. Purcell, E. J., Varberg, D. i Rigdon, S. E. (2007). Obliczanie (Wydanie dziewiąte). Prentice Hall.