Czym są ukośne trójkąty? (z rozwiązanymi ćwiczeniami)

The ukośne trójkąty są te trójkąty, które nie są prostokątami. Oznacza to, że trójkąty takie, że żaden z jego kątów nie jest kątem prostym (jego pomiar wynosi 90º).

Bez kąta prostego twierdzenie Pitagorasa nie może być zastosowane do tych trójkątów.

Dlatego, aby poznać dane w trójkącie ukośnym, konieczne jest użycie innych formuł.

Formuły niezbędne do rozwiązania trójkąta ukośnego to tak zwane prawa sinusów i cosinusów, które zostaną opisane później.

Oprócz tych praw zawsze można wykorzystać fakt, że suma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180º..

Ukośne trójkąty

Jak powiedziano na początku, trójkąt ukośny jest trójkątem tak, że żaden z jego kątów nie wynosi 90 °.

Problem znalezienia długości boków trójkąta ukośnego, a także znalezienia pomiarów jego kątów, nazywa się „rozdzielczością trójkątów ukośnych”.

Ważnym faktem przy pracy z trójkątami jest to, że suma trzech wewnętrznych kątów trójkąta jest równa 180º. Jest to wynik ogólny, dlatego dla trójkątów skośnych można go zastosować.

Prawa piersi i cosinusów

Biorąc pod uwagę trójkąt ABC o bokach długości „a”, „b” i „c”:

- Prawo piersi stwierdza, że ​​a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), gdzie A, B i C są przeciwnymi kątami do „a”, „b” i „c” odpowiednio.

- Prawo cosinusów mówi, że: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Równoważnie można użyć następujących wzorów:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) lub a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

Za pomocą tych formuł można obliczyć dane trójkąta ukośnego.

Ćwiczenia

Oto kilka ćwiczeń, w których należy znaleźć brakujące dane z podanych trójkątów na podstawie pewnych danych.

Pierwsze ćwiczenie

Biorąc pod uwagę trójkąt ABC taki, że A = 45º, B = 60º i a = 12cm, oblicz pozostałe dane trójkąta.

Rozwiązanie

Używając tego, że suma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180º, musisz

C = 180º-45º-60º = 75º.

Te trzy kąty są już znane. Następnie postępuj zgodnie z prawem piersi, aby obliczyć brakujące dwie strony.

Wyrównane równania to 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Od pierwszej równości możesz usunąć „b” i to uzyskać

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14,696 cm.

Możesz także wyczyścić „c” i uzyskać to

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16,392 cm.

Drugie ćwiczenie

Biorąc pod uwagę trójkąt ABC taki, że A = 60º, C = 75º i b = 10cm, oblicz pozostałe dane trójkąta.

Rozwiązanie

Podobnie jak w poprzednim ćwiczeniu, B = 180º-60º-75º = 45º. Ponadto, używając prawa piersi, konieczne jest, aby a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), z którego uzyskano a = 10 * sin (60º) / sin (45º) = 5√6 ≈ 12,247 cm i c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13 660 cm.

Trzecie ćwiczenie

Biorąc pod uwagę trójkąt ABC taki, że a = 10 cm, b = 15 cm i C = 80 °, oblicz pozostałe dane trójkąta.

Rozwiązanie

W tym ćwiczeniu znany jest tylko jeden kąt, dlatego nie można rozpocząć tak jak w poprzednich dwóch ćwiczeniach. Ponadto nie można zastosować prawa piersi, ponieważ nie można rozwiązać żadnego równania.

Dlatego przystępujemy do stosowania prawa cosinusów. To jest wtedy

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0,173 ≈ 272,905 cm,

tak, że c ≈ 16,51 cm. Teraz, znając trzy strony, stosuje się prawo piersi i dostajesz

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51 cm / sin (80 °).

Stąd po wyczyszczeniu B uzyskuje wynik bez (B) = 15 * sin (80º) / 16,55 1 0,894, co oznacza, że ​​B ≈ 63,38º.

Teraz można uzyskać, że A = 180º - 80º - 63,38º ≈ 36,62º.

Czwarte ćwiczenie

Boki trójkąta ukośnego to a = 5 cm, b = 3 cm i c = 7 cm. Oblicz kąty trójkąta.

Rozwiązanie

Ponownie, prawo piersi nie może być stosowane bezpośrednio, ponieważ żadne równanie nie posłużyłoby do uzyskania wartości kątów.

Korzystając z prawa cosinusu, mamy c² = a² + b² - 2ab cos (C), gdzie, kiedy wyjaśnimy, mamy cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2, a zatem C = 120º.

Teraz, jeśli możesz zastosować prawo piersi i uzyskać 5 / grzech (A) = 3 / grzech (B) = 7 / grzech (120), gdzie możesz wyczyścić B i uzyskać to bez (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0,371, tak że B = 21,79º.

Ostatecznie ostatni kąt oblicza się za pomocą A = 180º-120º-21,79º = 38,21º.

Referencje

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometria (Wydrukuj ponownie). Postęp.
2. Leake, D. (2006). Trójkąty (zilustrowane ed.). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Pearson Education.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrie. Technologia CR.
5. Sullivan, M. (1997). Precalculus. Pearson Education.
6. Sullivan, M. (1997). Trygonometria i geometria analityczna. Pearson Education.