Czym są krewniacy względni? Charakterystyka i przykłady



To się nazywa krewni krewni (coprimos lub kuzyni w stosunku do siebie) do dowolnej pary liczb całkowitych, które nie mają wspólnego dzielnika, z wyjątkiem 1.

Innymi słowy, dwie liczby całkowite są kuzynami względnymi, jeśli w ich rozkładach w liczbach pierwszych nie mają wspólnego czynnika.

Na przykład, jeśli wybrano 4 i 25, rozkład czynników podstawowych każdego z nich wynosi odpowiednio 2² i 5². Jak wiadomo, nie mają one żadnego wspólnego czynnika, dlatego 4 i 25 są względnymi kuzynami.

Z drugiej strony, jeśli wybrane zostaną 6 i 24, podczas przeprowadzania ich rozkładu w czynnikach pierwszych otrzymamy, że 6 = 2 * 3 i 24 = 2³ * 3.

Jak widać, te dwa ostatnie wyrażenia mają co najmniej jeden wspólny czynnik, dlatego nie są względnymi liczbami pierwszymi.

Względni kuzyni

Jedną z rzeczy, na które należy uważać, jest to, że stwierdzenie, że para liczb całkowitych jest liczbami względnymi, oznacza, że ​​nie oznacza to, że którykolwiek z nich jest liczbą pierwszą.

Z drugiej strony powyższą definicję można podsumować w następujący sposób: dwie liczby całkowite „a” i „b” są liczbami względnymi, jeśli i tylko wtedy, gdy największym wspólnym dzielnikiem tych liczb jest 1, czyli mcd ( a, b) = 1.

Dwa bezpośrednie wnioski z tej definicji są następujące:

-Jeśli „a” (lub „b”) jest liczbą pierwszą, to mcd (a, b) = 1.

-Jeśli „a” i „b” są liczbami pierwszymi, to mcd (a, b) = 1.

Oznacza to, że jeśli co najmniej jedna z wybranych liczb jest liczbą pierwszą, to bezpośrednio para liczb jest liczbami względnymi.

Inne funkcje

Inne wyniki używane do określenia, czy dwie liczby są liczbami względnymi, to:

-Jeśli dwie liczby całkowite są kolejne, są to względni kuzyni.

-Dwie liczby naturalne „a” i „b” są liczbami względnymi, jeśli i tylko wtedy, gdy liczby „(2 ^ a) -1” i „(2 ^ b) -1” są liczbami względnymi.

-Dwie liczby całkowite „a” i „b” są liczbami względnymi, jeśli i tylko wtedy, gdy wykreślając punkt (a, b) w płaszczyźnie kartezjańskiej, skonstruują linię przechodzącą przez początek (0,0) i (a , b), nie zawiera żadnych punktów z pełnymi współrzędnymi.

Przykłady

1.- Rozważmy liczby całkowite 5 i 12. Podstawowymi rozkładami obu liczb są odpowiednio: 5 i 2² * 3. Podsumowując, gcd (5,12) = 1, zatem 5 i 12 są liczbami względnymi.

2.- Niech liczby -4 i 6. Następnie -4 = -2² i 6 = 2 * 3, tak aby wyświetlacz LCD (-4,6) = 2 ≠ 1. W konkluzji -4 i 6 nie są względnymi kuzynami.

Jeśli przystąpimy do wykreślenia linii przechodzącej przez uporządkowane pary (-4,6) i (0,0) i określenia równania tej linii, możemy sprawdzić, czy przechodzi ona przez punkt (-2,3).

Ponownie stwierdza się, że -4 i 6 nie są względnymi kuzynami.

3.- Liczby 7 i 44 są liczbami względnymi i można je szybko zakończyć dzięki powyższemu, ponieważ 7 jest liczbą pierwszą.

4.- Rozważmy liczby 345 i 346. Będąc dwoma kolejnymi liczbami sprawdzamy, że mcd (345,346) = 1, a więc 345 i 346 są liczbami względnymi.

5.- Jeśli rozważane są liczby 147 i 74, są to względni kuzyni, ponieważ 147 = 3 * 7² i 74 = 2 * 37, dlatego gcd (147,74) = 1.

6.- Liczby 4 i 9 są liczbami względnymi. Aby to wykazać, można zastosować drugą wyżej wymienioną charakterystykę. W efekcie 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 i 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.

Uzyskane liczby to 15 i 511. Dekompozycje czynników pierwszych tych liczb to odpowiednio 3 * 5 i 7 * 73, więc mcd (15,511) = 1.

Jak widać, użycie drugiej charakterystyki jest zadaniem dłuższym i bardziej pracochłonnym niż weryfikacja bezpośrednio.

7.- Rozważ liczby -22 i -27. Następnie liczby te można przepisać w następujący sposób: -22 = -2 * 11 i -27 = -3³. Dlatego gcd (-22, -27) = 1, więc -22 i -27 są liczbami względnymi.

Referencje

  1. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., i Soto, A. (1998). Wprowadzenie do teorii liczb. EUNED.
  2. Bourdon, P. L. (1843). Elementy arytmetyczne. Księgarnia Lordów i Dzieci Synów Calleji.
  3. Castañeda, S. (2016). Kurs podstawowy z teorii liczb. Uniwersytet Północy.
  4. Guevara, M. H. (s.f.). Zestaw całych liczb. EUNED.
  5. Wyższy Instytut Kształcenia Nauczycieli (Hiszpania), J. L. (2004). Liczby, formularze i objętości w środowisku dziecka. Ministerstwo Edukacji.
  6. Palmer, C. I. i Bibb, S. F. (1979). Praktyczna matematyka: arytmetyka, algebra, geometria, trygonometria i suwak logarytmiczny (przedruk wyd.). Reverte.
  7. Rock, N. M. (2006). Algebra I jest łatwa! Tak łatwo. Team Rock Press.
  8. Smith, S.A. (2000). Algebra. Pearson Education.
  9. Szecsei, D. (2006). Podstawowa matematyka i pre-algebra (zilustrowane ed.). Prasa zawodowa.
  10. Toral, C. i Preciado, M. (1985). 2. Kurs matematyczny. Progreso wydawnicze.
  11. Wagner, G., Caicedo, A., i Colorado, H. (2010). Podstawowe zasady arytmetyki. ELIZCOM S.A.S.