Czym są granice trygonometryczne? (z rozwiązanymi ćwiczeniami)

The granice trygonometryczne są one granicami funkcji, które tworzą funkcje trygonometryczne.

Istnieją dwie definicje, które muszą być znane, aby zrozumieć, w jaki sposób oblicza się limit trygonometryczny.

Te definicje to:

- Granica funkcji „f”, gdy „x” zmierza do „b”: polega na obliczeniu wartości, do której f (x) zbliża się, gdy „x” zbliża się do „b”, bez osiągnięcia „b”.

- Funkcje trygonometryczne: funkcje trygonometryczne to funkcje sinus, cosinus i tangens, oznaczone odpowiednio sin (x), cos (x) i tan (x).

Pozostałe funkcje trygonometryczne są uzyskiwane z trzech wymienionych powyżej funkcji.

Granice funkcji

Aby wyjaśnić pojęcie limitu funkcji, pokażemy kilka przykładów z prostymi funkcjami.

- Granica f (x) = 3, gdy „x” zmierza do „8” jest równa „3”, ponieważ funkcja jest zawsze stała. Bez względu na wartość „x” wartość f (x) zawsze będzie równa „3”.

- Limit f (x) = x-2, gdy „x” zmierza do „6” to „4”. Od kiedy „x” zbliża się do „6”, wtedy „x-2” zbliża się do „6-2 = 4”.

- Limit g (x) = x², gdy „x” zmierza do „3” jest równy 9, ponieważ gdy „x” zbliża się do „3”, to „x²” zbliża się do „3² = 9”.

Jak widać w poprzednich przykładach, obliczenie limitu polega na oszacowaniu wartości, do której zmierza „x” w funkcji, a wynikiem będzie wartość limitu, chociaż dotyczy to tylko funkcji ciągłych.

Czy są bardziej skomplikowane granice?

Odpowiedź brzmi: tak. Powyższe przykłady są najprostszymi przykładami ograniczeń. W książkach obliczeniowych główne ćwiczenia limitów to te, które generują nieokreśloność typu 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 i (∞) ^ 0.

Wyrażenia te nazywane są nieokreśleniami, ponieważ są wyrażeniami, które matematycznie nie mają sensu.

Oprócz tego, w zależności od funkcji związanych z pierwotnym limitem, wynik uzyskany przy rozwiązywaniu nieokreślonych wartości może być różny w każdym przypadku.

Przykłady prostych granic trygonometrycznych

Aby rozwiązać granice, zawsze bardzo przydatne jest poznanie wykresów związanych z tymi funkcjami. Poniżej znajdują się wykresy funkcji sinus, cosinus i stycznej.

Niektóre przykłady prostych limitów trygonometrycznych to:

- Oblicz limit sin (x), gdy „x” zmierza do „0”.

Podczas przeglądania wykresu widać, że jeśli „x” zbliża się do „0” (zarówno po lewej, jak i prawej stronie), to wykres sinusoidalny również zbliża się do „0”. Dlatego limit sin (x), gdy „x” zmierza do „0”, to „0”.

- Oblicz limit cos (x), gdy „x” zmierza do „0”.

Obserwując wykres cosinusowy, można zauważyć, że gdy „x” jest bliskie „0”, wykres cosinusowy jest bliski „1”. Oznacza to, że limit cos (x), gdy „x” zmierza do „0”, jest równy „1”.

Limit może istnieć (być liczbą), jak w poprzednich przykładach, ale może się również zdarzyć, że nie istnieje, jak pokazano w poniższym przykładzie.

- Limit tan (x), gdy „x” zmierza do „Π / 2” po lewej stronie, jest równy „+ ∞”, jak widać na wykresie. Z drugiej strony limit tan (x), gdy „x” zmierza do „-Π / 2” po prawej stronie, jest równy „-∞”.

Tożsamości granic trygonometrycznych

Dwie bardzo przydatne tożsamości przy obliczaniu limitów trygonometrycznych to:

- Limit „sin (x) / x”, gdy „x” zmierza do „0”, jest równy „1”.

- Limit „(1-cos (x)) / x”, gdy „x” zmierza do „0” jest równy „0”.

Tożsamości tej używa się bardzo często, gdy masz jakąś nieokreśloność.

Rozwiązane ćwiczenia

Rozwiąż następujące ograniczenia, używając tożsamości opisanych powyżej.

- Oblicz limit „f (x) = sin (3x) / x”, gdy „x” zmierza do „0”.

Jeśli funkcja „f” jest oceniana w „0”, uzyskana zostanie nieokreśloność typu 0/0. Dlatego musimy spróbować rozwiązać tę nieokreśloność, używając opisanych tożsamości.

Jedyną różnicą między tym limitem a tożsamością jest liczba 3, która pojawia się w funkcji sinus. Aby zastosować tożsamość, funkcja „f (x)” musi zostać przepisana w następujący sposób „3 * (sin (3x) / 3x)”. Teraz zarówno argument sinusa jak i mianownika są równe.

Kiedy więc „x” zmierza do „0”, użycie tożsamości powoduje „3 * 1 = 3”. Dlatego limit f (x), gdy „x” zmierza do „0”, jest równy „3”.

- Oblicz limit „g (x) = 1 / x - cos (x) / x”, gdy „x” zmierza do „0”.

Gdy „x = 0” jest podstawione w g (x), uzyskuje się określenie typu ∞-∞. Aby go rozwiązać, ułamki są odejmowane, co daje wynik „(1-cos (x)) / x”.

Teraz, stosując drugą tożsamość trygonometryczną, mamy granicę g (x), gdy „x” zmierza do „0”, jest równe 0.

- Oblicz limit „h (x) = 4tan (5x) / 5x”, gdy „x” zmierza do „0”.

Ponownie, jeśli ocenisz h (x) na „0”, otrzymasz określenie typu 0/0.

Przepisywanie tan (5x) jako sin (5x) / cos (5x) powoduje, że h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Użycie limitu 4 / cos (x), gdy „x” zmierza do „0” jest równe „4/1 = 4”, a pierwsza tożsamość trygonometryczna jest uzyskiwana tak, że granica h (x), gdy „x” zmierza „0” równa się „1 * 4 = 4”.

Obserwacja

Limity trygonometryczne nie zawsze są łatwe do rozwiązania. W tym artykule pokazano tylko podstawowe przykłady.

Referencje

1. Fleming, W. i Varberg, D. E. (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W. i Varberg, D. E. (1989). Precalculus mathematics: podejście do rozwiązywania problemów (2, ilustrowany ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W. i Varberg, D. (1991). Algebra i trygonometria z geometrią analityczną. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 wyd.). Nauka Cengage.
5. Leal, J. M., i Viloria, N. G. (2005). Płaska geometria analityczna. Merida - Wenezuela: Redakcja Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Pearson Education.
7. Purcell, E. J., Varberg, D. i Rigdon, S. E. (2007). Obliczanie (Wydanie dziewiąte). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Rachunek różniczkowy z wczesnymi funkcjami transcendentalnymi dla nauki i inżynierii (Wydanie drugie). Hypotenuse.
9. Scott, C. A. (2009). Geometria płaszczyzny kartezjańskiej, część: Stożki analityczne (1907) (przedruk wyd.). Źródło pioruna.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculus. Pearson Education.