Jakie są jednoczesne równania? (z rozwiązanymi ćwiczeniami)

The równań równoczesnych są te równania, które muszą być spełnione jednocześnie. Dlatego, aby mieć równania równoczesne, trzeba mieć więcej niż jedno równanie.

Gdy masz dwa lub więcej równań, które muszą mieć to samo rozwiązanie (lub te same rozwiązania), mówisz, że masz układ równań lub mówisz, że masz równania równoczesne.

Gdy masz równań równoczesnych, może się zdarzyć, że nie mają wspólnych rozwiązań lub mają skończoną ilość lub mają nieskończoną ilość.

Równania równoczesne

Biorąc pod uwagę dwa różne równania Eq1 i Eq2, mamy do czynienia z tym układem równań równań równoczesnych.

Równania równoczesne spełniają to, że jeśli S jest rozwiązaniem Eq1, to S jest również rozwiązaniem Eq2 i vice versa

Funkcje

Jeśli chodzi o układ równań równoczesnych, możesz mieć 2 równania, 3 równania lub N równań.

Najczęstszymi metodami używanymi do rozwiązywania równań równoczesnych są: podstawienie, wyrównanie i redukcja. Istnieje również inna metoda zwana regułą Cramera, która jest bardzo przydatna w systemach z więcej niż dwoma równoczesnymi równaniami.

Przykładem równań równoczesnych jest system

Eq1: x + y = 2

Eq2: 2x-y = 1

Można zauważyć, że x = 0, y = 2 jest rozwiązaniem Eq1, ale nie jest rozwiązaniem Eq2.

Jedynym powszechnym rozwiązaniem, które mają oba równania, jest x = 1, y = 1. Oznacza to, że x = 1, y = 1 jest rozwiązaniem układu równań równoczesnych.

Rozwiązane ćwiczenia

Następnie przystępujemy do rozwiązania przedstawionego powyżej układu równań równoczesnych za pomocą 3 wymienionych metod.

Pierwsze ćwiczenie

Rozwiąż układ równań Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 za pomocą metody podstawiania.

Rozwiązanie

Metoda substytucji polega na usunięciu jednej z niewiadomych jednego z równań, a następnie zastąpieniu jej w innym równaniu. W tym konkretnym przypadku możesz usunąć „y” z Eq1 i otrzymasz y = 2-x.

Przy zastępowaniu tej wartości „y” w Eq2 uzyskuje się, że 2x- (2-x) = 1. Dlatego otrzymujemy 3x-2 = 1, czyli x = 1.

Następnie, ponieważ wartość x jest znana, jest ona zastępowana w „y”, a y = 2-1 = 1.

Dlatego jedynym rozwiązaniem układu równań równoczesnych Eq1 i Eq2 jest x = 1, y = 1.

Drugie ćwiczenie

Rozwiąż układ równań Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 za pomocą metody wyrównania.

Rozwiązanie

Metoda wyrównania polega na usunięciu tego samego pytania z obu równań, a następnie wyrównaniu uzyskanych równań.

Usuwając „x” z obu równań, otrzymujemy x = 2-y, a x = (1 + y) / 2. Teraz te dwa równania są zrównane i otrzymujemy 2-y = (1 + y) / 2, gdzie okazuje się, że 4-2y = 1 + y.

Grupowanie nieznanego „y” po tej samej stronie skutkuje y = 1. Teraz, gdy już wiesz „i”, kontynuujesz wyszukiwanie wartości „x”. Przy zastępowaniu y = 1 otrzymujemy x = 2-1 = 1.

Dlatego powszechnym rozwiązaniem dla równań Eq1 i Eq2 jest x = 1, y = 1.

Trzecie ćwiczenie

Rozwiąż układ równań Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 za pomocą metody redukcji.

Rozwiązanie

Metoda redukcji polega na pomnożeniu równań podanych przez odpowiednie współczynniki, tak że podczas dodawania tych równań jedna ze zmiennych jest anulowana.

W tym konkretnym przykładzie nie ma potrzeby mnożenia żadnego równania przez żaden współczynnik, wystarczy dodać je razem. Dodając Eq1 plus Eq2 otrzymujemy 3x = 3, z którego otrzymujemy x = 1.

Przy ocenie x = 1 w Eq1 otrzymujemy 1 + y = 2, z którego okazuje się, że y = 1.

Dlatego x = 1, y = 1 jest jedynym rozwiązaniem równań równoczesnych Eq1 i Eq2.

Czwarte ćwiczenie

Rozwiąż układ równań równoczesnych Eq1: 2x-3y = 8 i Eq2: 4x-3y = 12.

Rozwiązanie

To ćwiczenie nie wymaga żadnej konkretnej metody, dlatego można zastosować metodę najbardziej wygodną dla każdego czytelnika.

W takim przypadku zostanie zastosowana metoda redukcji. Mnożenie Eq1 przez -2 daje równanie Eq3: -4x + 6y = -16. Teraz dodanie Eq3 i Eq2 daje 3y = -4, dlatego y = -4 / 3.

Teraz, oceniając y = -4 / 3 w Eq1, otrzymujemy 2x-3 (-4/3) = 8, gdzie 2x + 4 = 8, a zatem x = 2.

Podsumowując, jedynym rozwiązaniem układu równań równoczesnych Eq1 i Eq2 jest x = 2, y = -4 / 3.

Obserwacja

Metody opisane w tym artykule można zastosować do systemów z więcej niż dwoma równoczesnymi równaniami.

Im więcej równań i niewiadomych istnieje, tym bardziej skomplikowana jest procedura rozwiązywania systemu.

Każda metoda rozwiązywania układów równań przyniesie te same rozwiązania, tzn. Rozwiązania nie zależą od zastosowanej metody.

Referencje

1. Źródła, A. (2016). PODSTAWOWA MATEMATYKA. Wprowadzenie do obliczeń. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematyka: równania kwadratowe.: Jak rozwiązać równanie kwadratowe. Marilù Garo.
3. Haeussler, E. F. i Paul, R. S. (2003). Matematyka dla administracji i ekonomii. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., i Estrada, R. (2005). Matematyka 1 SEP. Próg.
5. Preciado, C. T. (2005). Kurs matematyczny 3o. Progreso wydawnicze.
6. Rock, N. M. (2006). Algebra I jest łatwa! Tak łatwo. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra i trygonometria. Pearson Education.