Jaka jest domena i kondominium funkcji? (Z rozwiązanymi przykładami)

Koncepcje domena i domena przeciwna funkcji są one powszechnie nauczane na kursach rachunkowych nauczanych na początku kariery uniwersyteckiej.

Przed zdefiniowaniem domeny i domeny musisz wiedzieć, jaka jest funkcja. Funkcja f jest prawem (regułą) korespondencji między elementami dwóch zbiorów.

Zestaw, którego elementy są wybierane, nazywany jest domeną funkcji, a zbiór, do którego te elementy są wysyłane przez f, nazywany jest domeną przeciwną.

W matematyce funkcja z domeną A i przeciwną domeną B jest oznaczona wyrażeniem f: A → B.

Powyższe wyrażenie mówi, że elementy zestawu A są wysyłane do zestawu B zgodnie z prawem korespondencji f.

Funkcja przypisuje każdemu elementowi zestawu A pojedynczy element zestawu B.

Domena i domena licznika

Biorąc pod uwagę rzeczywistą funkcję zmiennej rzeczywistej f (x), mamy do czynienia z domeną funkcji, która będzie wszystkimi tymi liczbami rzeczywistymi, tak że w przypadku oceny w f wynik będzie liczbą rzeczywistą.

Ogólnie, przeciwdomena funkcji jest zbiorem liczb rzeczywistych R. Kontrowersja nazywana jest także zestawem przybycia lub kodomainą funkcji f.

Przeciw-domeną funkcji jest zawsze R?

Nie. Tak długo, jak funkcja nie jest szczegółowo badana, jest zwykle traktowana jako przeciw-domena zbioru liczb rzeczywistych R.

Ale gdy funkcja zostanie zbadana, bardziej odpowiedni zestaw może być traktowany jako przeciw-domena, która będzie podzbiorem R.

Odpowiedni zestaw wymieniony w poprzednim akapicie pasuje do obrazu funkcji.

Definicja obrazu lub zakresu funkcji f odnosi się do wszystkich wartości, które pochodzą z oceny elementu domeny w f.

Przykłady

Poniższe przykłady ilustrują sposób obliczania domeny funkcji i jej obrazu.

Przykład 1

Niech f będzie funkcją rzeczywistą zdefiniowaną przez f (x) = 2.

Domeną f są wszystkie liczby rzeczywiste, tak że po ocenie w f wynik jest liczbą rzeczywistą. Przeciw-domena w tej chwili jest równa R.

Ponieważ dana funkcja jest stała (zawsze równa 2), nie ma znaczenia, jaka liczba rzeczywista jest wybrana, ponieważ przy jej ocenie w f wynik zawsze będzie równy 2, co jest liczbą rzeczywistą.

Dlatego domeną danej funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste; to znaczy A = R.

Teraz, gdy wiadomo, że wynik funkcji jest zawsze równy 2, mamy do czynienia z tym, że obraz funkcji jest tylko liczbą 2, dlatego przeciwdomena funkcji może zostać przedefiniowana jako B = Img (f) = 2.

Dlatego f: R → 2.

Przykład 2

Niech g będzie funkcją rzeczywistą zdefiniowaną przez g (x) = √x.

Podczas gdy obraz g nie jest znany, przeciwna domena g to B = R.

Dzięki tej funkcji należy wziąć pod uwagę, że pierwiastki kwadratowe są zdefiniowane tylko dla liczb nieujemnych; to znaczy dla liczb większych lub równych zero. Na przykład √-1 nie jest liczbą rzeczywistą.

Dlatego domeną funkcji g muszą być wszystkie liczby większe lub równe zero; to jest, x ≥ 0.

Dlatego A = [0, + ∞).

Aby obliczyć zakres, należy zauważyć, że każdy wynik g (x), będący pierwiastkiem kwadratowym, będzie zawsze większy lub równy zero. To znaczy B = [0, + ∞).

Podsumowując, g: [0, + ∞) → [0, + ∞).

Przykład 3

Jeśli mamy funkcję h (x) = 1 / (x-1), mamy tę funkcję, która nie jest zdefiniowana dla x = 1, ponieważ w mianowniku uzyskuje się zero, a podział przez zero nie jest zdefiniowany.

Z drugiej strony, dla każdej innej wartości rzeczywistej wynik będzie liczbą rzeczywistą. Dlatego domeną są wszystkie reale z wyjątkiem jednego; to znaczy A = R.

W ten sam sposób można zaobserwować, że jedyną wartością, której nie można uzyskać w wyniku jest 0, ponieważ dla ułamka równego zero licznik musi wynosić zero.

Dlatego obraz funkcji jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem zera, więc jest traktowany jako domena licznika B = R 0.

Podsumowując, h: R 1 → R 0.

Obserwacje

Domena i obraz nie muszą być tym samym zestawem, jak pokazano w przykładach 1 i 3.

Gdy funkcja jest wykreślona na płaszczyźnie kartezjańskiej, domena jest reprezentowana przez oś X i domenę licznika lub zakres jest reprezentowany przez oś Y.

Referencje

1. Fleming, W. i Varberg, D. E. (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W. i Varberg, D. E. (1989). Precalculus mathematics: podejście do rozwiązywania problemów (2, ilustrowany ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W. i Varberg, D. (1991). Algebra i trygonometria z geometrią analityczną. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 wyd.). Nauka Cengage.
5. Leal, J. M., i Viloria, N. G. (2005). Płaska geometria analityczna. Merida - Wenezuela: Redakcja Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Pearson Education.
7. Purcell, E. J., Varberg, D. i Rigdon, S. E. (2007). Obliczanie (Wydanie dziewiąte). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Rachunek różniczkowy z wczesnymi funkcjami transcendentalnymi dla nauki i inżynierii (Wydanie drugie). Hypotenuse.
9. Scott, C. A. (2009). Geometria płaszczyzny kartezjańskiej, część: Stożki analityczne (1907) (przedruk wyd.). Źródło pioruna.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculus. Pearson Education.