Wyjaśnienie ważnych produktów i ćwiczenia rozwiązane



The niezwykłe produkty są to operacje algebraiczne, w których wyrażane są mnożenia wielomianów, które nie muszą być rozwiązywane tradycyjnie, ale za pomocą pewnych reguł można znaleźć ich wyniki.

Wielomiany są mnożone przez siebie, dlatego mogą mieć dużą liczbę terminów i zmiennych. Aby skrócić ten proces, stosuje się reguły niezwykłych produktów, które pozwalają na mnożenie bez konieczności przechodzenia przez termin..

Indeks

  • 1 Godne uwagi produkty i przykłady
    • 1.1 Kwadrat dwumianowy
    • 1.2 Produkt sprzężonych dwumianów
    • 1.3 Produkt dwóch dwumianów ze wspólnym terminem
    • 1.4 Wielomian kwadratowy
    • 1.5 Dwumian do kostki
    • 1.6 Wiadro trójmianu
  • 2 Ćwiczenia rozwiązane dla niezwykłych produktów
    • 2.1 Ćwiczenie 1
    • 2.2 Ćwiczenie 2
  • 3 referencje

Godne uwagi produkty i przykłady

Każdy niezwykły produkt jest formułą, która wynika z faktoryzacji, złożonej z wielomianów różnych terminów, takich jak dwumian lub trójmian, zwanych czynnikami.

Czynniki są podstawą mocy i mają wykładnik. Gdy czynniki się mnożą, należy dodać wykładniki.

Istnieje kilka niezwykłych formuł produktów, niektóre są bardziej używane niż inne, w zależności od wielomianów i są następujące:

Kwadrat dwumianowy

Jest to mnożenie samego dwumianu, wyrażonego w postaci mocy, w której terminy są dodawane lub odejmowane:

a. Dwumian sumy do kwadratu: jest równy kwadratowi pierwszego terminu plus dwukrotność iloczynu wyrazów plus kwadrat drugiego terminu. Wyraża się to w następujący sposób:

(a + b)2 = (a + b) * (a + b).

Poniższy rysunek pokazuje, w jaki sposób produkt został opracowany zgodnie z wyżej wymienioną regułą. Wynik nazywa się trójmianem idealnego kwadratu.

Przykład 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

Przykład 2

(4a + 2b) = (4a)2 + 2 (4a * 2b) + (2b)2

(4a + 2b) = 8a2 + 2 (8ab) + 4b2

(4a + 2b) = 8a2 + 16 ab + 4b2.

b. Dwumian odejmowania do kwadratu: ta sama reguła dotyczy dwumianu sumy, tyle że w tym przypadku drugi termin jest ujemny. Jego formuła jest następująca:

(a - b)2 = [(a) + (- b)]2

(a - b)2 = a2 +2a * (-b) + (-b)2

(a - b)2  = a2 - 2ab + b2.

Przykład 1

(2x - 6)2 = (2x)2 - 2 (2x * 6) + 62

(2x - 6)2  = 4x2 - 2 (12x) + 36

(2x - 6)2 = 4x2 - 24x + 36.

Produkt sprzężonych dwumianów

Dwa dwumianowe są sprzężone, gdy drugie terminy każdego z nich mają różne znaki, to znaczy, że pierwszy z nich jest dodatni, a drugi ujemny lub odwrotnie. Rozwiąż, podnosząc każdy kwadrat monomii i odejmuj. Jego formuła jest następująca:

(a + b) * (a - b)

Na poniższym rysunku opracowano iloczyn dwóch sprzężonych dwumianów, w którym zaobserwowano, że wynikiem jest różnica kwadratów.

Przykład 1

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b)2)

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 - 9b2.

Produkt dwóch dwumianów ze wspólnym terminem

Jest to jeden z najbardziej złożonych i mało używanych niezwykłych produktów, ponieważ jest mnożeniem dwóch dwumianów, które mają wspólny termin. Reguła wskazuje:

  • Kwadrat wspólnego terminu.
  • Plus dodaj terminy, które nie są powszechne, a następnie pomnóż je przez wspólny termin.
  • Plus suma mnożenia terminów, które nie są powszechne.

Jest on przedstawiony we wzorze: (x + a) * (x + b) i jest rozwijany jak pokazano na obrazku. Rezultatem jest kwadratowa trójmianowa nie doskonała.

(x + 6) * (x + 9) = x2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)

(x + 6) * (x + 9) = x2 + 15x + 54.

Istnieje możliwość, że drugi termin (inny termin) jest ujemny, a jego formuła jest następująca: (x + a) * (x - b).

Przykład 2

(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4–2)* 7x + (4 * -2)

(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + (2)* 7x - 8

(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + 14x - 8.

Może się również zdarzyć, że oba różne terminy są negatywne. Jego formuła będzie: (x - a) * (x - b).

Przykład 3

(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5)* (3b) + (-6 * -5)

(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 + (-11) * (3b) + (30)

(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 - 33b + 30.

Kwadrat wielomianowy

W tym przypadku istnieje więcej niż dwa terminy i aby je rozwinąć, każdy z nich jest podniesiony do kwadratu i dodany razem z dwukrotnością mnożenia jednego terminu do drugiego; jego wzór to: (a + b + c)2 a wynik operacji jest trójmianem do kwadratu.

Przykład 1

(3x + 2y + 4z)2 = (3x)2 + (2 lata)2 + (4z)2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z)2 = 9x2 + 4y2 + 16z2 + 12xy + 24xz + 16yz.

Dwumian do kostki

To niezwykły złożony produkt. Aby go rozwinąć, pomnóż dwumian przez jego kwadrat w następujący sposób:

a. Dla dwumianu do sześcianu o sumie:

  • Sześcian pierwszego terminu plus potrójny kwadrat pierwszego członu do drugiego.
  • Plus potrójny pierwszy termin, na drugi kwadrat.
  • Plus sześcian drugiego terminu.

(a + b)3 = (a + b) * (a + b)2

(a + b)3 = (a + b) * (a2 + 2ab + b2)

(a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Przykład 1

(a + 3)3 = a3 + 3 (a)2*(3) + 3 (a)*(3)2 + (3)3

(a + 3)3 = a3 + 3 (a)2*(3) + 3 (a)*(9) + 27

(a + 3)3 = a3 + 9 a2 + 27a + 27.

b. Dla dwumianu w kostce odejmowania:

  • Sześcian pierwszego terminu, minus trzykrotność kwadratu pierwszego wyrazu do drugiego.
  • Plus potrójny pierwszy termin, na drugi kwadrat.
  • Mniej sześcianu drugiego terminu.

(a - b)3 = (a - b) * (a - b)2

(a - b)3 = (a - b) * (a2 - 2ab + b2)

(a - b)3 = a3 - 2a2b + ab2 - ba2 + 2ab2 - b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3.

Przykład 2

(b - 5)3 = b3 + 3 (b)2*(-5) + 3 (b)*(-5)2 + (-5)3

(b - 5)3 = b3 + 3 (b)2*(-5) + 3 (b)*(25) -125

(b - 5)3 = b3 - 15b2 +75b - 125.

Wiadro trójmianu

Rozwija się przez pomnożenie jej przez kwadrat. Jest to niezwykły produkt bardzo obszerny, ponieważ do kostki są 3 terminy, plus trzy razy każdy kwadrat do kwadratu, pomnożony przez każdy z warunków, plus sześciokrotność iloczynu trzech terminów. Lepiej widziany:

(a + b + c)3 = (a + b + c) * (a + b + c)2

(a + b + c)3 = (a + b + c) * (a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c)3 = A3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc.

Przykład 1

Rozwiązane ćwiczenia niezwykłych produktów

Ćwiczenie 1

Opracuj następującą dwumian do kostki: (4x - 6)3.

Rozwiązanie

Przypominając, że dwumian do sześcianu jest równy pierwszemu terminowi podniesionemu do sześcianu, a nie potrójnemu kwadratowi pierwszego członu do drugiego; plus potrójny pierwszy termin, przez drugi kwadrat, minus sześcian drugiego terminu.

(4x - 6)3 = (4x)3 - 3 (4x)2(6) + 3 (4x) * (6)2 - (6)2

(4x - 6)3 = 64x3 - 3 (16x2) (6) + 3 (4x)* (36) - 36

(4x - 6)3 = 64x3 - 288x2 + 432x - 36.

Ćwiczenie 2

Opracuj następujący dwumian: (x + 3) (x + 8).

Rozwiązanie

Istnieje dwumian, w którym występuje wspólny termin, czyli x, a drugi termin jest dodatni. Aby go rozwinąć, musisz jedynie określić ten wspólny termin, plus sumę terminów, które nie są powszechne (3 i 8), a następnie pomnożyć je przez wspólny termin, plus sumę mnożenia terminów, które nie są powszechne.

(x + 3) (x + 8) = x2 + (3 + 8) x + (3*8)

(x + 3) (x + 8) = x2 + 11x + 24.

Referencje

  1. Angel, A. R. (2007). Algebra elementarna. Pearson Education,.
  2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra i trygonometria z geometrią analityczną. Pearson Education.
  3. Das, S. (s.f.). Matematyka Plus 8. Wielka Brytania: Ratna Sagar.
  4. Jerome E. Kaufmann, K. L. (2011). Algebra podstawowa i pośrednia: podejście łączone. Floryda: Cengage Learning.
  5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.