Właściwości produktu, aplikacje i rozwiązane ćwiczenia



The Wektor produktu lub produktu krzyżowego Jest to sposób na pomnożenie dwóch lub więcej wektorów. Istnieją trzy sposoby mnożenia wektorów, ale żaden z nich nie jest mnożeniem w zwykłym znaczeniu tego słowa. Jedna z tych form jest znana jako produkt wektorowy, co skutkuje trzecim wektorem.

Produkt wektorowy, zwany także produktem krzyżowym lub produktem zewnętrznym, ma różne właściwości algebraiczne i geometryczne. Właściwości te są bardzo przydatne, zwłaszcza w badaniach fizyki.

Indeks

  • 1 Definicja
  • 2 Właściwości
    • 2.1 Właściwość 1
    • 2.2 Właściwość 2
    • 2.3 Właściwość 3
    • 2.4 Właściwość 4 (potrójny produkt skalarny)
    • 2.5 Właściwość 5 (potrójny produkt wektorowy)
    • 2.6 Nieruchomość 6
    • 2.7 Nieruchomość 7
    • 2.8 Właściwość 8
  • 3 aplikacje
    • 3.1 Obliczenie objętości równoległościanu
  • 4 rozwiązane ćwiczenia
    • 4.1 Ćwiczenie 1
    • 4.2 Ćwiczenie 2
  • 5 referencji

Definicja

Formalna definicja produktu wektorowego jest następująca: jeśli A = (a1, a2, a3) i B = (b1, b2, b3) są wektorami, to produkt wektorowy A i B, który oznaczymy jako AxB, to:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Ze względu na zapis AxB brzmi on jako „A cross B”.

Przykładem użycia produktu zewnętrznego jest to, że jeśli A = (1, 2, 3) i B = (3, -2, 4) są wektorami, to używając definicji produktu wektorowego mamy:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Innym sposobem wyrażenia produktu wektorowego jest zapis oznaczeń.

Obliczenie wyznacznika drugiego rzędu daje:

Dlatego formuła produktu wektorowego podana w definicji może zostać przepisana w następujący sposób:

Zazwyczaj jest to uproszczone w trzecim wyznaczniku rzędu w następujący sposób:

Gdzie i, j, k reprezentują wektory, które tworzą podstawę R3.

Korzystając z tego sposobu wyrażania produktu krzyżowego, mamy do czynienia z tym, że poprzedni przykład można przepisać jako:

Właściwości

Niektóre właściwości produktu wektorowego są następujące:

Nieruchomość 1

Jeśli A jest dowolnym wektorem w R3, Musimy:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Właściwości te są łatwe do sprawdzenia przy użyciu tylko definicji. Jeśli A = (a1, a2, a3) musimy:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Jeśli i, j, k reprezentują podstawę jednostkową R3, Możemy je zapisać w następujący sposób:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Następnie musimy spełnić następujące właściwości:

Jako reguła mnemoniczna, aby zapamiętać te właściwości, zwykle stosuje się następujący okrąg:

Należy zauważyć, że każdy wektor sam w sobie daje wektor 0, a pozostałe produkty można uzyskać przy następującej zasadzie:

Produkt krzyżowy dwóch kolejnych wektorów w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara daje następujący wektor; a biorąc pod uwagę kierunek przeciwny do ruchu wskazówek zegara, wynikiem jest następujący wektor ze znakiem ujemnym.

Dzięki tym właściwościom widzimy, że produkt wektorowy nie jest przemienny; na przykład wystarczy zauważyć, że i x j ≠ j x i. Następująca właściwość mówi nam, jak ogólnie odnoszą się do AxB i BxA.

Nieruchomość 2

Jeśli A i B są wektorami R3, Musimy:

AxB = - (BxA).

Demonstracja

Jeśli A = (a1, a2, a3) i B = (b1, b2, b3), z definicji produktu zewnętrznego mamy:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Możemy również zauważyć, że ten produkt nie jest skojarzony z następującym przykładem:

ix (ixj) = ixk = - j, ale (ixi) xj = 0xj = 0

Z tego możemy zauważyć, że:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Nieruchomość 3

Jeśli A, B, C są wektorami R3 r jest liczbą rzeczywistą, co jest prawdą:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Dzięki tym właściwościom możemy obliczyć produkt wektorowy za pomocą praw algebry, pod warunkiem, że kolejność jest przestrzegana. Na przykład:

Jeśli A = (1, 2, 3) i B = (3, -2, 4), możemy je przepisać na podstawie kanonicznej podstawy R3.

Zatem A = i + 2j + 3k i B = 3i - 2j + 4k. Następnie, stosując poprzednie właściwości:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Właściwość 4 (potrójny produkt skalarny)

Jak wspomnieliśmy na początku, istnieją inne sposoby mnożenia wektorów oprócz produktu wektorowego. Jednym z tych sposobów jest produkt skalarny lub produkt wewnętrzny, który jest oznaczony jako A ∙ B i którego definicja:

Jeśli A = (a1, a2, a3) i B = (b1, b2, b3), to A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Właściwość, która dotyczy obu produktów, jest znana jako potrójny produkt skalarny.

Jeśli A, B i C są wektorami R3, następnie A ∙ BxC = AxB ∙ C

Jako przykład, zobaczmy, że biorąc pod uwagę A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) i C = (- 5, 1, - 4), ta właściwość jest spełniona.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Z drugiej strony:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Kolejnym potrójnym produktem jest Ax (BxC), który jest znany jako produkt potrójny wektor.

Property 5 (potrójny produkt wektorowy)

Jeśli A, B i C są wektorami R3,  wtedy:

Ax (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Jako przykład, zobaczmy, że biorąc pod uwagę A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) i C = (- 5, 1, - 4), ta właściwość jest spełniona.

Z poprzedniego przykładu wiemy, że BxC = (- 18, - 22, 17). Obliczmy Ax (BxC):

Topór (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Z drugiej strony musimy:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Musimy więc:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, -4)

Nieruchomość 6

Jest to jedna z właściwości geometrycznych wektorów. Jeśli A i B są dwoma wektorami w R3 a Θ jest kątem, który powstaje między nimi, a następnie:

|| AxB || = || A |||| B || sin (Θ), gdzie || ∙ || oznacza moduł lub wielkość wektora.

Interpretacja geometryczna tej właściwości jest następująca:

Niech A = PR i B = PQ. Następnie kąt utworzony przez wektory A i B jest kątem P trójkąta RQP, jak pokazano na poniższym rysunku.

Dlatego obszar równoległoboku z sąsiednimi bokami PR i PQ wynosi || A |||| B || sin (Θ), ponieważ możemy przyjąć jako podstawę || A || a jego wysokość jest podana przez || B || sin (Θ).

Z tego powodu możemy stwierdzić, że || AxB || jest obszarem wspomnianego równoległoboku.

Przykład

Biorąc pod uwagę następujące wierzchołki czworoboku P (1, -2,3), Q (4, 3, -1), R (2, 2,1) i S (5,7, -3), pokaż, że wspomniany czworokąt jest równoległobokiem i znajdź jego obszar.

W tym celu najpierw określamy wektory, które określają kierunek boków czworoboku. To jest:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Jak możemy zaobserwować, A i C mają tego samego reżysera wektorów, dla którego mamy obydwa równoległe; w taki sam sposób jak w przypadku B i D. Stwierdzamy zatem, że PQRS jest równoległobokiem.

Aby uzyskać obszar wspomnianego równoległoboku, obliczamy BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Dlatego kwadratem będzie:

|| BxA ||2 = (- 6)2 + (- 2)2 + (- 7)2 = 36 + 4 + 49 = 89.

Można stwierdzić, że obszar równoległoboku będzie pierwiastkiem kwadratowym z 89.

Nieruchomość 7

Dwa wektory A i B są równoległe w R3 tak i tylko wtedy, gdy AxB = 0

Demonstracja

Jasne jest, że jeśli A lub B są wektorem zerowym, wynika z tego, że AxB = 0. Ponieważ wektor zerowy jest równoległy do ​​dowolnego innego wektora, właściwość jest prawidłowa.

Jeśli żaden z dwóch wektorów nie jest wektorem zerowym, mamy ich wielkości różniące się od zera; to znaczy oba || A || ≠ 0 jako || B || ≠ 0, więc będziemy musieli || AxB || = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy sin (Θ) = 0, a dzieje się tak tylko wtedy, gdy Θ = π lub Θ = 0.

Dlatego możemy wnioskować AxB = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy Θ = π lub Θ = 0, co zdarza się tylko wtedy, gdy oba wektory są równoległe do siebie.

Nieruchomość 8

Jeśli A i B są dwoma wektorami w R3, następnie AxB jest prostopadły do ​​A i B.

Demonstracja

W tym celu należy pamiętać, że dwa wektory są prostopadłe, jeśli A ∙ B jest równe zero. Ponadto wiemy, że:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, ale AxA jest równe 0. Dlatego musimy:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Dzięki temu możemy stwierdzić, że A i AxB są do siebie prostopadłe. W analogiczny sposób musimy:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Jako BxB = 0 musimy:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Dlatego AxB i B są względem siebie prostopadłe, a wraz z nimi wykazywana jest właściwość. Jest to bardzo przydatne, ponieważ pozwalają nam określić równanie płaszczyzny.

Przykład 1

Uzyskaj równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) i R (2, 1, 3).

Niech A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) i B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Następnie A = - i + 3j + k i B = i - 2j + k. Aby znaleźć płaszczyznę utworzoną przez te trzy punkty, wystarczy znaleźć wektor, który jest normalny do płaszczyzny, czyli AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Za pomocą tego wektora i biorąc punkt P (1, 3, 2) możemy określić równanie płaszczyzny w następujący sposób:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Mamy więc równanie płaszczyzny 5x + 2y - z - 9 = 0.

Przykład 2

Znajdź równanie płaszczyzny, która zawiera punkt P (4, 0, - 2) i to jest prostopadłe do każdej z płaszczyzn x - y + z = 0 i 2x + y - 4z - 5 = 0 .

Wiedząc, że wektor normalny do płaszczyzny ax + przez + cz + d = 0 jest (a, b, c), mamy to (1, -1,1) jest normalnym wektorem x - y + z = 0 y ( 2.1, - 4) jest normalnym wektorem 2x + y - 4z - 5 = 0.

Dlatego wektor normalny do płaszczyzny poszukiwanej musi być prostopadły do ​​(1, -1,1) i a (2, 1, - 4). Wspomniany wektor to:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Następnie mamy poszukiwaną płaszczyznę, która zawiera punkt P (4,0 - 2) i ma wektor (3,6,3) jako wektor normalny.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Aplikacje

Obliczanie objętości równoległościanu

Aplikacja, która ma potrójny produkt skalarny, ma być w stanie obliczyć objętość równoległościanu, którego krawędzie są podane przez wektory A, B i C, jak pokazano na rysunku:

Możemy wydedukować tę aplikację w następujący sposób: jak powiedzieliśmy wcześniej, wektor AxB jest wektorem normalnym do płaszczyzny A i B. Mamy również, że wektor - (AxB) jest kolejną wektorową normalną do wspomnianej płaszczyzny.

Wybieramy wektor normalny, który tworzy najmniejszy kąt z wektorem C; bez utraty ogólności, niech AxB będzie wektorem, którego kąt z C jest najmniejszy.

Mamy, że zarówno AxB, jak i C mają ten sam punkt początkowy. Ponadto wiemy, że obszar równoległoboku, który tworzy podstawę równoległościanu, to || AxB ||. Dlatego, jeśli wysokość równoległościanu jest podana przez h, to mamy jego objętość:

V = || AxB || h.

Z drugiej strony, rozważmy skalarny produkt pomiędzy AxB i C, który można opisać następująco:

Jednak dzięki właściwościom trygonometrycznym mamy h = || C || cos (Θ), więc musimy:

W ten sposób musimy:

Ogólnie rzecz biorąc, mamy, że objętość równoległościanu jest określona przez wartość bezwzględną potrójnego produktu skalarnego AxB ∙ C.

Rozwiązane ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Biorąc pod uwagę punkty P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) i S = (2, 6, 9), punkty te tworzą równoległościan, którego krawędzie są to PQ, PR i PS. Określ objętość wspomnianego równoległościanu.

Rozwiązanie

Jeśli weźmiemy:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Korzystając z właściwości potrójnego produktu skalarnego, musimy:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Dlatego mamy, że objętość wspomnianego równoległościanu wynosi 52.

Ćwiczenie 2

Określ objętość równoległościanu, którego krawędzie są podane przez A = PQ, B = PR i C = PS, gdzie punkty P, Q, R i S są (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) i (2, 2, 5), odpowiednio.

Rozwiązanie

Najpierw mamy A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Obliczamy AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Następnie obliczamy AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Zatem dochodzimy do wniosku, że objętość wspomnianego równoległościanu wynosi 1 jednostkę sześcienną.

Referencje

  1. Leithold, L. (1992). OBLICZENIE z geometrią analityczną. HARLA, S.A..
  2. Resnick, R., Halliday, D., i Krane, K. (2001). Fizyka tom 1. Meksyk: kontynentalny.
  3. Saenz, J. (s.f.). Obliczenia wektorowe 1ed. Hypotenuse.
  4. Spiegel, M. R. (2011). Analiza wektorowa 2ed. Mc Graw Hill.
  5. Zill, D. G. i Wright, W. (2011). Obliczanie różnych zmiennych 4ed. Mc Graw Hill.