Właściwości homothety, typy i przykłady



The homotecia jest zmianą geometryczną w płaszczyźnie, w której z ustalonego punktu zwanego środkiem (O) odległości są mnożone przez wspólny współczynnik. W ten sposób każdy punkt P odpowiada produktowi P innego punktu transformacji, a te są wyrównane z punktem O.

Następnie homothety jest zgodnością między dwiema figurami geometrycznymi, gdzie przekształcone punkty są nazywane homotetycznymi, a te są wyrównane z punktem stałym i segmentami równoległymi do siebie.

Indeks

  • 1 Homotecia
  • 2 Właściwości
  • 3 typy
    • 3.1 Bezpośrednia homothety
    • 3.2 Odwróć homothety
  • 4 Skład
  • 5 Przykłady
    • 5.1 Pierwszy przykład
    • 5.2 Drugi przykład
  • 6 referencji

Homothety

Homothety jest transformacją, która nie ma przystającego obrazu, ponieważ z figury uzyskana zostanie jedna lub więcej figur o większym lub mniejszym rozmiarze niż oryginalna figura; to znaczy, że homothety przekształca wielokąt w inny podobny.

Aby spełnić homoseksualizm, muszą odpowiadać punktowi od punktu do punktu i prosto do prostej, tak aby pary homologicznych punktów były wyrównane z trzecim stałym punktem, który jest centrum homothety..

Podobnie pary linii, które je łączą, muszą być równoległe. Związek między takimi segmentami jest stałą zwaną współczynnikiem homothety (k); w taki sposób, że dom można zdefiniować jako:

Aby ten rodzaj transformacji mógł się rozpocząć, wybierz dowolny punkt, który będzie centrum homothety.

Od tego momentu segmenty linii są rysowane dla każdego wierzchołka figury, która ma zostać przekształcona. Skala, w której dokonuje się reprodukcji nowej figury, wynika z przyczyny homothety (k).

Właściwości

Jedną z głównych właściwości homothety jest to, że ze względu na homothety (k) wszystkie homotetyczne postacie są podobne. Wśród innych wyróżniających się właściwości są następujące:

- Centrum homothety (O) jest jedynym podwójnym punktem i przekształca się w siebie; to znaczy, nie zmienia się.

- Linie przechodzące przez środek przekształcają się (są podwójne), ale punkty, które go tworzą, nie są podwójne.

- Proste, które nie przechodzą przez środek, są przekształcane w równoległe linie; w ten sposób kąty homoseksualizmu pozostają takie same.

- Obraz segmentu przez homothety środka O i stosunek k jest segmentem równoległym do tego i ma k razy jego długość. Na przykład, jak widać na poniższym obrazie, segment AB przez homotetyczny spowoduje inny segment A'B ', tak że AB będzie równoległy do ​​A'B', a k będzie:

- Kąty homotetyczne są przystające; to znaczy, mają ten sam środek. Dlatego obraz kąta jest kątem, który ma tę samą amplitudę.

Z drugiej strony, homothety zmienia się w zależności od wartości jego współczynnika (k) i mogą wystąpić następujące przypadki:

- Jeśli stała k = 1, wszystkie punkty są ustalone, ponieważ przekształcają się same. Tak więc homotetyczna postać pokrywa się z oryginałem i transformacja będzie nazywana funkcją tożsamości.

- Jeśli k ≠ 1, jedynym stałym punktem będzie centrum homothety (O).

- Jeśli k = -1, homothety staje się centralną symetrią (C); to znaczy obrót wokół C nastąpi pod kątem 180 °o.

- Jeśli k> 1, rozmiar przekształconej liczby będzie większy niż rozmiar oryginału.

- Tak 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- Tak -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- Jeśli k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

Typy

Homothety można również podzielić na dwa typy, w zależności od wartości jego stosunku (k):

Bezpośrednia homothety

Zdarza się, gdy stała k> 0; to znaczy punkty homotetyczne znajdują się po tej samej stronie względem centrum:

Czynnik proporcjonalności lub stosunek podobieństwa między bezpośrednimi homotetycznymi postaciami zawsze będzie dodatni.

Odwrotna homoteza

Zdarza się, jeśli stała k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

Współczynnik proporcjonalności lub stosunek podobieństwa między homotetycznymi odwrotnymi liczbami zawsze będzie ujemny.

Skład

Gdy kilka ruchów jest wykonywanych kolejno, aż do uzyskania liczby równej oryginałowi, zachodzi kompozycja ruchów. Kompozycja kilku ruchów jest również ruchem.

Kompozycja między dwoma homoteizmami skutkuje nową homotecią; to znaczy, mamy produkt homotetyczny, w którym środek zostanie wyrównany ze środkiem dwóch oryginalnych transformacji, a stosunek (k) jest wynikiem dwóch powodów.

Tak więc w składzie dwóch homoseksuałów H1(Or1, k1) i H2(Or2, k2), mnożąc powody: k1 x k2 = 1 spowoduje jednorodność stosunku k3 = K1 x k2. Centrum tego nowego domu (O3) będzie znajdować się na linii prostej O.1 O2.

Homothety odpowiada płaskiej i nieodwracalnej zmianie; jeśli zastosuje się dwie homoteje o tym samym środku i proporcji, ale z innym znakiem, uzyskana zostanie oryginalna postać.

Przykłady

Pierwszy przykład

Zastosuj homothety do danego wielokąta środkowego (O), znajdującego się 5 cm od punktu A i którego współczynnik wynosi k = 0,7.

Rozwiązanie

Każdy punkt jest wybrany jako środek homothety, a z tego promienia są rysowane wierzchołki figury:

Odległość od środka (O) do punktu A wynosi OA = 5; dzięki temu możesz określić odległość jednego z punktów homotetycznych (OA), wiedząc również, że k = 0,7:

OA '= k x OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Proces można wykonać dla każdego wierzchołka lub można narysować homotetyczny wielokąt pamiętając, że dwa wielokąty mają równoległe boki:

Wreszcie transformacja wygląda tak:

Drugi przykład

Zastosuj homothety do danego wielokąta centrum (O), znajdującego się na 8,5 cm od punktu C i którego współczynnik y k = -2.

Rozwiązanie

Odległość od środka (O) do punktu C wynosi OC = 8,5; dzięki tym danym możliwe jest określenie odległości jednego z punktów homotetycznych (OC '), wiedząc również, że k = -2:

OC '= k x OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Po narysowaniu segmentów wierzchołków przekształconego wielokąta mamy punkty początkowe i ich homotetykę znajdujące się na przeciwnych końcach względem środka:

Referencje

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Rysunek techniczny: notatnik aktywności.
  2. Antonio Álvarez de la Rosa, J. L. (2002). Powinowactwo, homologia i homoseksualizm.
  3. Baer, ​​R. (2012). Algebra liniowa i geometria rzutowa. Courier Corporation.
  4. Hebert, Y. (1980). Matematyka ogólna, prawdopodobieństwa i statystyki.
  5. Meserve, B. E. (2014). Podstawowe pojęcia geometrii. Courier Corporation.
  6. Nachbin, L. (1980). Wprowadzenie do algebry. Reverte.