Równania wielomianowe (z rozwiązanymi ćwiczeniami)

The równania wielomianowe są stwierdzeniem, które podnosi równość dwóch wyrażeń lub członków, gdzie przynajmniej jedno z terminów składających się na każdą stronę równości to wielomiany P (x). Równania te są nazywane zgodnie ze stopniem ich zmiennych.

Ogólnie, równanie jest stwierdzeniem, które ustanawia równość dwóch wyrażeń, gdzie w co najmniej jednym z nich występują nieznane wielkości, które są nazywane zmiennymi lub niewiadomymi. Chociaż istnieje wiele typów równań, są one zazwyczaj klasyfikowane na dwa typy: algebraiczny i transcendentny.

Równania wielomianowe zawierać tylko wyrażeń algebraicznych, które mogą mieć jeden lub więcej niewiadomych związanych z równania. Według wykładnika (stopni) mają one mogą być podzielone na pierwszy stopień (liniowy) drugiego stopnia (kwadratowe), trzeci stopień (sześcienny), czwartej klasy (Quartic) w stopniu większym niż lub równa pięć irracjonalna.

Indeks

• 1 Charakterystyka
• 2 typy
  • 2.1 Pierwsza klasa
  • 2.2 Drugi stopień
  • 2.3 Resolver
  • 2.4 Wyższa klasa
• 3 rozwiązane ćwiczenia
  • 3.1 Pierwsze ćwiczenie
  • 3.2 Drugie ćwiczenie
• 4 odniesienia

Funkcje

Równania wielomianowe są wyrażeniami utworzonymi przez równość między dwoma wielomianami; to znaczy przez skończone sumy mnożników między nieznanymi wartościami (zmiennymi) i liczbami stałymi (współczynnikami), gdzie zmienne mogą mieć wykładniki, a ich wartość może być dodatnią liczbą całkowitą, w tym zerem.

Wykładniki określają stopień lub typ równania. Ten termin wyrażenia o największej wartości wykładnika będzie reprezentował bezwzględny stopień wielomianu.

Równania wielomianowe znane są również jako równania algebraiczne, ich współczynniki mogą być liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi, a zmienne są liczbami nieznanymi reprezentowanymi przez literę, na przykład: „x”.

Jeśli podstawiając wartość zmiennej „x” w P (x) wynik jest równy zero (0), to mówi się, że ta wartość spełnia równanie (jest to rozwiązanie) i jest ogólnie nazywana pierwiastkiem wielomianu.

Gdy powstaje równanie wielomianowe, chcesz znaleźć wszystkie korzenie lub rozwiązania.

Typy

Istnieje kilka typów równań wielomianowych, które są zróżnicowane w zależności od liczby zmiennych, a także od stopnia ich wykładnika.

Tak więc, równania wielomianowe, przy czym pierwszy okres jest wielomianem, który ma jeden nieznany, a ich poziom może być dowolną liczbą naturalną, (n), a drugi człon jest zero, może być wyrażona w następujący sposób:

a_{n *} xⁿ + a_{n-1 *} x^n-1 +... + a_{1 *} x¹ + a_{0 *} x₀ = 0

Gdzie:

- a_n, a_n-1 i a₀, są to rzeczywiste współczynniki (liczby).

- a_n różni się od zera.

- Wykładnik n jest dodatnią liczbą całkowitą, która reprezentuje stopień równania.

- x jest zmienną lub nieznaną, której należy szukać.

Absolutny lub większy stopień równania wielomianowego jest wykładnikiem o większej wartości spośród wszystkich tych, które tworzą wielomian; w ten sposób równania są klasyfikowane jako:

Pierwsza klasa

Wielomian równania pierwszego stopnia, znany także jako liniowe równań, są tymi, w których stopień (największy wykładnik) jest równa 1, wielomian ma postać P (x) = 0; i składa się z liniowego perspektywie i niezależne jeden. Jest napisany w sposób następujący:

ax + b = 0.

Gdzie:

- aib są liczbami rzeczywistymi i a ≠ 0.

- ax to termin liniowy.

- b jest terminem niezależnym.

Na przykład równanie 13x - 18 = 4x.

Aby rozwiązać równania liniowe, wszystkie terminy zawierające nieznane x muszą zostać przekazane na jedną stronę równości, a te, które nie mają, są przenoszone na drugą stronę, aby je wyczyścić i uzyskać rozwiązanie:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

W ten sposób dane równanie ma jedno rozwiązanie lub pierwiastek, czyli x = 2.

Druga klasa

Wielomian równania drugiego stopnia, znane również jako równania kwadratowego, są te, w którym stopień (największy wykładnik) jest równy 2, wielomian ma postać P (x) = 0, a składa się z kwadratowej jeden liniowy i jednego niezależnego. Wyraża się to w następujący sposób:

topór² + bx + c = 0.

Gdzie:

- a, b i c są liczbami rzeczywistymi i a ≠ 0.

- topór² jest terminem kwadratowym, a „a” to współczynnik terminu kwadratowego.

- bx jest terminem liniowym, a „b” jest współczynnikiem terminu liniowego.

- c to niezależny termin.

Rozpuszczalnik

Ogólnie rzecz biorąc, rozwiązanie tego typu równań można uzyskać, usuwając x z równania, i pozostawiamy je w następujący sposób, który nazywa się resolver:

Tam (b² - 4ac) jest nazywany wyróżnikiem równania i to wyrażenie określa liczbę rozwiązań, które może mieć równanie:

- Tak (b² - 4ac) = 0, równanie będzie miało jedno rozwiązanie, które jest podwójne; to znaczy, będziesz miał dwa równe rozwiązania.

- Tak (b² - 4ac)> 0, równanie będzie miało dwa różne rzeczywiste rozwiązania.

- Tak (b² - 4ac) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

Na przykład masz równanie 4x² + 10x - 6 = 0, aby je rozwiązać, najpierw zidentyfikuj terminy a, bi ic, a następnie zastąp je wzorem:

a = 4

b = 10

c = -6.

Istnieją przypadki, w których równania wielomianowe drugiego stopnia nie mają trzech terminów i dlatego są one rozwiązywane inaczej:

- W przypadku, gdy równania kwadratowe nie mają terminu liniowego (to znaczy b = 0), równanie będzie wyrażone jako topór² + c = 0. Aby go rozwiązać, usuwa się x² i pierwiastki kwadratowe są stosowane w każdym elemencie, pamiętając, że dwa możliwe znaki, które mogą mieć nieznane, są brane pod uwagę:

topór² + c = 0.

x² = - c ÷ a

Na przykład 5 x² - 20 = 0.

5 x² = 20

x² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x₁ = 2.

x₂ = -2.

- Gdy równanie kwadratowe nie ma niezależnego terminu (tj. C = 0), równanie zostanie wyrażone jako ax² + bx = 0. Aby rozwiązać ten problem, musimy wyodrębnić wspólny współczynnik nieznanego x w pierwszym elemencie; ponieważ równanie jest równe zero, prawdą jest, że co najmniej jeden z czynników będzie równy 0:

topór² + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

W ten sposób musisz:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Na przykład: masz równanie 5x² + 30x = 0. Pierwszy czynnik:

5x² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Generowane są dwa czynniki, którymi są x i (5x + 30). Uważa się, że jedno z nich będzie równe zero, a drugie rozwiązanie zostanie podane:

x₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x₂ = -6.

Większy stopień

Równania wielomianowe o większym stopniu to równania od trzeciego stopnia, które mogą być wyrażone lub rozwiązane za pomocą ogólnego równania wielomianowego dla dowolnego stopnia:

a_{n *} xⁿ + a_{n-1 *} x^n-1 +... + a_{1 *} x¹ + a_{0 *} x₀ = 0

Jest to używane, ponieważ równanie o stopniu większym niż dwa jest wynikiem faktoryzacji wielomianu; to znaczy, wyraża się jako mnożenie wielomianów stopnia pierwszego lub większego, ale bez rzeczywistych korzeni.

Rozwiązanie tego typu równań jest bezpośrednie, ponieważ mnożenie dwóch czynników będzie równe zero, jeśli którykolwiek z czynników jest zerowy (0); dlatego każde znalezione równanie wielomianowe musi zostać rozwiązane, dopasowując każdy jego współczynnik do zera.

Na przykład masz równanie trzeciego stopnia (sześcienny) x³ + x² +4x + 4 = 0. Aby rozwiązać ten problem, należy wykonać następujące kroki:

- Warunki są pogrupowane:

x³ + x² +4x + 4 = 0

(x³ + x² ) + (4x + 4) = 0.

- Kończyny są rozbite, aby uzyskać wspólny czynnik nieznanego:

x² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x² + 4)_*(x + 1) = 0.

- W ten sposób uzyskuje się dwa czynniki, które muszą być równe zero:

(x² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Widać, że czynnik (x² + 4) = 0 nie będzie miało rzeczywistego rozwiązania, podczas gdy współczynnik (x + 1) = 0 tak. Dlatego rozwiązaniem jest:

(x + 1) = 0

x = -1.

Rozwiązane ćwiczenia

Rozwiąż następujące równania:

Pierwsze ćwiczenie

(2x² + 5)_*(x - 3)_*(1 + x) = 0.

Rozwiązanie

W tym przypadku równanie jest wyrażone jako mnożenie wielomianów; to znaczy, że jest to uwzględniane. Aby go rozwiązać, każdy współczynnik musi być równy zero:

- 2x² + 5 = 0, nie ma rozwiązania.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Zatem podane równanie ma dwa rozwiązania: x = 3 i x = -1.

Drugie ćwiczenie

x⁴ - 36 = 0.

Rozwiązanie

Otrzymano wielomian, który można przepisać jako różnicę kwadratów, aby uzyskać szybsze rozwiązanie. Zatem równanie pozostaje:

(x² + 6)_*(x² - 6) = 0.

Aby znaleźć rozwiązanie równań, oba czynniki są równe zero:

(x² + 6) = 0, nie ma rozwiązania.

(x² - 6) = 0

x² = 6

x = ± √6.

Zatem początkowe równanie ma dwa rozwiązania:

x = √6.

x = - √6.

Referencje

1. Andres, T. (2010). Olimpiada Matematyczna Tresure. Springer. Nowy Jork.
2. Angel, A. R. (2007). Algebra elementarna Pearson Education,.
3. Baer, ​​R. (2012). Algebra liniowa i geometria rzutowa. Courier Corporation.
4. Baldor, A. (1941). Algebra Hawana: Kultura.
5. Castaño, H. F. (2005). Matematyka przed obliczeniem. Uniwersytet Medellin.
6. Cristóbal Sánchez, M. R. (2000). Podręcznik matematyczny do przygotowania olimpijskiego. Universitat Jaume I.
7. Kreemly Pérez, M. L. (1984). Superior Algebra I.
8. Massara, N. C.-L. (1995). Matematyka 3.