4 ćwiczenia faktoringowe z rozwiązaniami

The ćwiczenia faktoringowe pomóc zrozumieć tę technikę, która jest szeroko stosowana w matematyce i polega na procesie pisania sumy jako iloczynu pewnych określeń.

Słowo faktoryzacja odnosi się do czynników, które są terminami, które mnożą inne terminy.

Na przykład w dekompozycji pierwszego czynnika liczby naturalnej, liczby pierwsze są nazywane czynnikami.

Oznacza to, że 14 można zapisać jako 2 * 7. W tym przypadku współczynniki pierwsze 14 wynoszą 2 i 7. To samo dotyczy wielomianów zmiennych rzeczywistych.

Oznacza to, że jeśli mamy wielomian P (x), to faktoring wielomianu polega na napisaniu P (x) jako iloczynu innych wielomianów o stopniu mniejszym niż stopień P (x).

Faktoring

Do obliczenia wielomianu stosuje się kilka technik, wśród których są godne uwagi produkty i obliczenia pierwiastków wielomianu.

Jeśli masz wielomian drugiego stopnia P (x), a x1 i x2 są prawdziwymi pierwiastkami P (x), to P (x) może być uwzględnione jako „a (x-x1) (x-x2)”, gdzie „a” to współczynnik towarzyszący mocy kwadratowej.

Jak obliczane są korzenie?

Jeśli wielomian ma stopień 2, korzenie można obliczyć za pomocą formuły zwanej „resolver”.

Jeśli wielomian ma stopień 3 lub wyższy, metoda Ruffiniego jest zwykle używana do obliczania pierwiastków.

4 ćwiczenia faktoringowe

Pierwsze ćwiczenie

Podaj następujący wielomian: P (x) = x²-1.

Rozwiązanie

Nie zawsze jest konieczne użycie resolvera. W tym przykładzie możesz użyć niezwykłego produktu.

Przepisując wielomian w następujący sposób, możesz zobaczyć, który niezwykły produkt użyć: P (x) = x² - 1².

Używając niezwykłego produktu 1, różnicy kwadratów, mamy, że wielomian P (x) może być podzielony na czynniki w następujący sposób: P (x) = (x + 1) (x-1).

Wskazuje to również, że pierwiastki P (x) to x1 = -1 i x2 = 1.

Drugie ćwiczenie

Współczynnik następującego wielomianu: Q (x) = x³ - 8.

Rozwiązanie

Istnieje niezwykły produkt, który mówi: a³-b³ = (a-b) (a² + ab + b²).

Wiedząc o tym, możemy przepisać wielomian Q (x) w następujący sposób: Q (x) = x³-8 = x³ - 2³.

Teraz, używając opisanego niezwykłego produktu, mamy faktoryzację wielomianu Q (x) jest Q (x) = x³-2³ = (x-2) (x² + 2x + 2²) = (x-2) (x² + 2x + 4).

Brak współczynnika wielomianu kwadratowego powstałego w poprzednim kroku. Ale jeśli zostanie to zauważone, niezwykły numer produktu 2 może pomóc; dlatego ostateczne faktoryzowanie Q (x) daje Q (x) = (x-2) (x + 2) ².

To mówi, że pierwiastek Q (x) to x1 = 2, a x2 = x3 = 2 to drugi pierwiastek Q (x), który jest powtarzany.

Trzecie ćwiczenie

Współczynnik R (x) = x² - x - 6.

Rozwiązanie

Jeśli nie możesz wykryć niezwykłego produktu lub nie masz doświadczenia niezbędnego do manipulowania wyrażeniem, kontynuuj używanie resolvera. Wartości są następujące a = 1, b = -1 i c = -6.

Podczas zastępowania ich w formule wyniki x = (-1 ± √ ((- 1) ² - 4 * 1 * (- 6))) / 2 * 1 = (-1 ± √25) / 2 = (-1 ± 5 ) / 2.

Stąd wynikają dwa rozwiązania, które są następujące:

x1 = (-1 + 5) / 2 = 2

x2 = (-1-5) / 2 = -3.

Dlatego wielomian R (x) można uwzględnić jako R (x) = (x-2) (x - (- 3)) = (x-2) (x + 3).

Czwarte ćwiczenie

Współczynnik H (x) = x³ - x² - 2x.

Rozwiązanie

W tym ćwiczeniu możesz zacząć od przyjęcia wspólnego czynnika x, a otrzymasz H (x) = x (x²-x-2).

Dlatego musimy jedynie uwzględnić wielomian kwadratowy. Korzystając ponownie z resolventu, mamy następujące korzenie:

x = (-1 ± √ ((-1) ²-4 * 1 * (- 2))) / 2 * 1 = (-1 ± √9) / 2 = (-1 ± 3) / 2.

Dlatego pierwiastki wielomianu kwadratowego to x1 = 1 i x2 = -2.

Podsumowując, faktoryzacja wielomianu H (x) jest dana przez H (x) = x (x-1) (x + 2).

Referencje

1. Źródła, A. (2016). PODSTAWOWA MATEMATYKA. Wprowadzenie do obliczeń. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematyka: równania kwadratowe: jak rozwiązać równanie kwadratowe. Marilù Garo.
3. Haeussler, E. F. i Paul, R. S. (2003). Matematyka dla administracji i ekonomii. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., i Estrada, R. (2005). Matematyka 1 SEP. Próg.
5. Preciado, C. T. (2005). Kurs matematyczny 3o. Progreso wydawnicze.
6. Rock, N. M. (2006). Algebra I jest łatwa! Tak łatwo. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra i trygonometria. Pearson Education.