Prosty wahadłowy ruch wahadłowy, prosty ruch harmoniczny



A wahadło jest obiektem (najlepiej masą punktową) zawieszonym przez nitkę (najlepiej bez masy) stałego punktu i która oscyluje dzięki sile grawitacji, tej tajemniczej niewidzialnej sile, która między innymi utrzymuje się we wszechświecie.

Ruch wahadłowy to taki, który występuje w obiekcie z jednej strony na drugą, zwisający z włókna, kabla lub nici. Siły, które interweniują w tym ruchu, to połączenie siły grawitacji (pionowej, w kierunku środka Ziemi) i napięcia nici (kierunek nici).

To właśnie robią zegary wahadłowe (stąd jego nazwa) lub huśtawki na placu zabaw. W idealnym wahadle ruch oscylacyjny będzie trwał wiecznie. Jednak w prawdziwym wahadle ruch kończy się z czasem z powodu tarcia z powietrzem.

Myślenie o wahadle nieuchronnie wywołuje obraz zegara wahadłowego, pamięci tego starego i imponującego zegara wiejskiego domu dziadków. A może opowieść o terrorze Edgara Allana Poe, studni i wahadle, której narrację inspiruje jedna z wielu metod tortur stosowanych przez hiszpańską inkwizycję.

Prawda jest taka, że ​​różne typy wahadeł mają różne zastosowania poza czasem pomiaru, na przykład określają przyspieszenie grawitacji w danym miejscu, a nawet pokazują obrót Ziemi, jak zrobił to francuski fizyk Jean Bernard Léon Foucault.

Indeks

  • 1 Proste wahadło i prosty wibracyjny ruch harmoniczny
    • 1.1 Proste wahadło
    • 1.2 Prosty ruch harmoniczny
    • 1.3 Dynamika ruchu wahadła
    • 1.4 Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie
    • 1.5 Maksymalna prędkość i przyspieszenie
  • 2 Wniosek
  • 3 referencje

Proste wahadło i prosty wibracyjny ruch harmoniczny

Proste wahadło

Proste wahadło, choć jest idealnym systemem, pozwala na teoretyczne podejście do ruchu wahadła.

Chociaż równania ruchu prostego wahadła mogą być nieco skomplikowane, prawda jest taka, że ​​gdy amplituda (A) lub przemieszczenie z położenia równowagi ruchu jest mała, można ją aproksymować równaniami ruchu harmonicznego proste, które nie są zbyt skomplikowane.

Prosty ruch harmoniczny

Prosty ruch harmoniczny jest ruchem okresowym, to znaczy powtarza się w czasie. Co więcej, jest to ruch oscylacyjny, którego oscylacja występuje wokół punktu równowagi, to znaczy punktu, w którym wynik netto sumy sił przyłożonych do ciała wynosi zero..

W ten sposób podstawową cechą ruchu wahadła jest jego okres (T), który określa czas potrzebny do wykonania pełnego cyklu (lub całkowitej oscylacji). Okres wahadła jest określony przez następujące wyrażenie:

będąc, l = długość wahadła; oraz g = wartość przyspieszenia grawitacji.

Wielkość związana z okresem to częstotliwość (f), która określa liczbę cykli, które wahadło przemieszcza się w ciągu sekundy. W ten sposób częstotliwość można określić z okresu o następującym wyrażeniu:

Dynamika ruchu wahadła

Siły, które interweniują w ruchu, to ciężar lub to samo, co siła grawitacji (P) i napięcie nici (T). Połączenie tych dwóch sił powoduje ruch.

Podczas gdy napięcie jest zawsze skierowane w kierunku nici lub liny, która łączy masę ze stałym punktem, a zatem nie jest konieczne jej rozkładanie; ciężar jest zawsze skierowany pionowo w kierunku środka masy Ziemi, dlatego konieczne jest jego rozkład w stycznych i normalnych lub promieniowych komponentach.

Składnik styczny ciężaru Pt = mg sen θ, podczas gdy normalnym składnikiem wagi jest PN = mg cos θ. Ten drugi jest kompensowany napięciem nici; Styczna składowa ciężaru działająca jako siła odzysku jest zatem ostateczną odpowiedzialnością za ruch.

Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie

Przemieszczenie prostego ruchu harmonicznego, a tym samym wahadła, jest określone przez następujące równanie:

x = A ω cos (ω t + θ0)

gdzie ω = oznacza prędkość kątową obrotu; t = czas; i θ0 = jest fazą początkową.

W ten sposób to równanie pozwala na określenie położenia wahadła w dowolnym momencie. W związku z tym interesujące jest podkreślenie pewnych zależności między niektórymi wielkościami prostego ruchu harmonicznego.

ω = 2 Π / T = 2 Π / f

Z drugiej strony, formuła regulująca prędkość wahadła w funkcji czasu jest uzyskiwana przez wyprowadzenie przemieszczenia w funkcji czasu, a zatem:

v = dx / dt = -A ω sin (ω t + θ0)

Postępując w ten sam sposób, uzyskujemy wyrażenie przyspieszenia w odniesieniu do czasu:

a = dv / dt = - A ω2 cos (ω t + θ0)

Maksymalna prędkość i przyspieszenie

Obserwując zarówno ekspresję prędkości, jak i przyspieszenie, doceniane są pewne interesujące aspekty ruchu wahadłowego.

Prędkość przyjmuje swoją maksymalną wartość w pozycji równowagi, w którym to czasie przyspieszenie wynosi zero, ponieważ, jak już wspomniano powyżej, w tym momencie siła netto wynosi zero.

Z drugiej strony, odwrotnie dzieje się w skrajnościach przemieszczenia, gdzie przyspieszenie przyjmuje wartość maksymalną, a prędkość przyjmuje wartość zerową.

Z równań prędkości i przyspieszenia łatwo jest wydedukować zarówno moduł maksymalnej prędkości, jak i moduł maksymalnego przyspieszenia. Po prostu weź maksymalną możliwą wartość dla sen (ω t + θ0) jak dla cos (ω t + θ0), który w obu przypadkach wynosi 1.

│vmax │ = A ω

│amax│ = A ω2

Moment, w którym wahadło osiąga maksymalną prędkość, jest wtedy, gdy przechodzi przez punkt równowagi sił od tego czasu grzech (ω t + θ0) = 1. Wręcz przeciwnie, maksymalne przyspieszenie osiągane jest na obu końcach ruchu od tego czasu cos (ω t + θ0) = 1

Wniosek

Wahadło jest łatwym obiektem do projektowania i wyglądu dzięki prostemu ruchowi, chociaż prawdą jest, że w tle jest ono znacznie bardziej złożone niż się wydaje.

Jednakże, gdy początkowa amplituda jest mała, jej ruch można wyjaśnić za pomocą równań, które nie są nadmiernie skomplikowane, biorąc pod uwagę, że można ją aproksymować równaniami ruchu wibracyjnego prostej harmonicznej..

Różne typy wahadeł mają różne zastosowania zarówno w życiu codziennym, jak i naukowym.

Referencje

  1. Van Baak, Tom (listopad 2013). „Nowe i wspaniałe równanie okresu wahadła”. Biuletyn nauk horologicznych. 2013 (5): 22-30.
  2. Wahadło. (n.d.). W Wikipedii. Pobrane 7 marca 2018 r. Z en.wikipedia.org.
  3. Wahadło (matematyka). (n.d.). W Wikipedii. Pobrane 7 marca 2018 r. Z en.wikipedia.org.
  4. Llorente, Juan Antonio (1826). Historia inkwizycji Hiszpanii. Skrócona i przetłumaczona przez George'a B. Whittakera. Uniwersytet Oksfordzki. pp. XX, przedmowa.
  5. Poe, Edgar Allan (1842). The Pit and the Pendulum. Booklassic. ISBN 9635271905.