Reguła Sarrusa w tym, co składa się na typy determinantów

The Zasada Sarrusa służy do obliczenia wyniku wyznaczników 3 × 3. Są one używane do rozwiązywania równań liniowych i wiedzą, czy są zgodne.

Zgodne systemy umożliwiają łatwiejsze uzyskanie rozwiązania. Są również używane do określenia, czy zbiory wektorów są liniowo niezależne i tworzą podstawę przestrzeni wektorowej.

Aplikacje te opierają się na odwracalności macierzy. Jeśli macierz jest regularna, jej wyznacznik jest różny od 0. Jeśli jest pojedyncza, jej wyznacznikiem jest 0. Wyznaczniki można obliczyć tylko w macierzach kwadratowych.

Aby obliczyć macierze dowolnego rzędu, można zastosować twierdzenie Laplace'a. Twierdzenie to pozwala nam uprościć macierze o dużych wymiarach, w sumach małych determinant, które rozkładamy z macierzy głównej.

Potwierdza, że ​​wyznacznik macierzy jest równy sumie produktów każdego rzędu lub kolumny, przez wyznacznik dołączonej macierzy.

To redukuje determinanty, tak że wyznacznik stopnia n staje się n determinantami n-1. Jeśli zastosujemy tę regułę sukcesywnie, możemy uzyskać wyznaczniki o wymiarze 2 (2 × 2) lub 3 (3 × 3), gdzie znacznie łatwiej obliczyć.

Reguła Sarrusa

Pierre Frederic Sarrus był francuskim matematykiem XIX wieku. Większość jego traktatów matematycznych opiera się na metodach rozwiązywania równań i obliczania wariacji w ramach równań numerycznych.

W jednym ze swoich traktatów rozwiązał jedną z najbardziej złożonych zagadek mechaniki. Aby rozwiązać problemy części przegubowych, Sarrus wprowadził transformację alternatywnych ruchów prostoliniowych, w jednolitych ruchach kołowych. Ten nowy system jest znany jako mechanizm Sarrusa.

Najbardziej znanym badaniem, jakie dał temu matematykowi, było wprowadzenie nowej metody obliczania determinantów w artykule „Nouvelles méthodes pour la résolution des équations” (Nowa metoda rozwiązywania równań), który został opublikowany w rok 1833. Ten sposób rozwiązywania równań liniowych jest znany jako reguła Sarrusa.

Reguła Sarrusa pozwala obliczyć wyznacznik macierzy 3 × 3, bez potrzeby stosowania twierdzenia Laplace'a, wprowadzając znacznie prostszą i bardziej intuicyjną metodę. Aby móc sprawdzić wartość reguły Sarrusa, bierzemy dowolną macierz o wymiarze 3:

Obliczenie jego wyznacznika byłoby dokonane przez iloczyn jego głównych przekątnych, odejmując produkt od odwrotnych przekątnych. Byłoby to następujące:

Reguła Sarrusa pozwala uzyskać znacznie prostszą wizję przy obliczaniu przekątnych wyznacznika. Byłoby to uproszczone przez dodanie dwóch pierwszych kolumn z tyłu macierzy. W ten sposób możesz zobaczyć wyraźniej, które są twoimi głównymi przekątnymi, a które odwrotnie, do obliczenia produktu.

Za pomocą tego obrazu możemy zobaczyć zastosowanie reguły Sarrusa, dołączamy wiersz 1 i 2, poniżej graficznej reprezentacji macierzy początkowej. W ten sposób główne przekątne są trzema przekątnymi, które pojawiają się w pierwszej kolejności.

Z kolei trzy odwrotne przekątne to te, które pojawiają się najpierw z tyłu.

W ten sposób przekątne pojawiają się w bardziej wizualny sposób, nie komplikując rozdzielczości wyznacznika, próbując dowiedzieć się, które elementy macierzy należą do każdej przekątnej.

Jak widać na obrazie, wybieramy przekątne i obliczamy wynikowy wynik każdej funkcji. Przekątne, które pojawiają się na niebiesko, są tymi, które się sumują. Do ich sumy odejmujemy wartość przekątnych, które pojawiają się na czerwono.

Aby ułatwić kompresję, możemy użyć liczbowego przykładu, zamiast używać terminów algebraicznych i pod-terminów.

Jeśli weźmiemy dowolną matrycę 3 × 3, na przykład:

Aby zastosować regułę Sarrusa i rozwiązać ją w bardziej wizualny sposób, powinniśmy dołączyć wiersz 1 i 2, odpowiednio jako wiersz 4 i 5. Ważne jest, aby utrzymać rząd 1 w czwartej pozycji, a rząd 2 w piątej pozycji. Ponieważ jeśli je wymienimy, reguła Sarrusa nie będzie skuteczna.

Aby obliczyć wyznacznik, nasza matryca wyglądałaby tak:

Aby kontynuować obliczenia, mnożymy elementy głównych przekątnych. Zstępujące, które zaczynają się od lewej, przyjmą pozytywny znak; natomiast odwrotne przekątne, które zaczynają się po prawej stronie, noszą znak ujemny.

W tym przykładzie niebieskie byłyby oznaczone znakiem dodatnim, a czerwone znakiem ujemnym. Ostateczne obliczenie reguły Sarrusa wyglądałoby tak:

Typy determinantów

Wyznacznik wymiaru 1

Jeśli wymiar macierzy wynosi 1, macierz ma następującą postać: A = (a)

Dlatego jego wyznacznikiem będzie: det (A) = | A | = a

Podsumowując, wyznacznik macierzy A jest równy bezwzględnej wartości macierzy A, która w tym przypadku wynosi a.

Wyznacznik wymiaru 2

Jeśli przejdziemy do macierzy wymiaru 2, otrzymamy macierze typu:

Gdzie wyznacznik określa się jako:

Rozdzielczość tego wyznacznika opiera się na pomnożeniu jego głównej przekątnej, odejmując produkt od jego odwrotnej przekątnej.

Jako regułę mnemoniczną możemy użyć poniższego diagramu, aby zapamiętać jego wyznacznik:

Wyznacznik wymiaru 3

Jeśli wymiar macierzy wynosi 3, macierz wynikowa byłaby tego typu:

Wyznacznik tej macierzy zostałby rozwiązany za pomocą reguły Sarrusa w ten sposób:

Referencje

1. Jenny Olive (1998) Maths: A Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
2. Richard J. Brown (2012) 30-sekundowa matematyka: 50 najbardziej rozwijających się teorii matematyki. Ivy Press Limited.
3. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
4. Awol Assen (2013) Badanie na temat obliczania determinant macierzy 3 × 3. Lap Lambert Academic Publishing.
5. Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrices. Przekaż publikację.
6. Jesse Russell (2012) Reguła Sarrusa.
7. M. Casteleiro Villalba (2004) Wprowadzenie do algebry liniowej. Redakcja ESIC.