Czym jest wektor i jakie są jego cechy?

A wektor jest to ilość lub zjawisko, które ma dwie niezależne właściwości: wielkość i kierunek. Termin ten oznacza również matematyczną lub geometryczną reprezentację takiej ilości.

Przykładami wektorów w przyrodzie są prędkość, siła, pola elektromagnetyczne i masa. Ilość lub zjawisko, które pokazuje tylko wielkość, bez określonego kierunku, nazywane jest skalarem.

Przykłady skalarów obejmują prędkość, masę, opór elektryczny i pojemność dysku twardego.

Wektory mogą być przedstawione graficznie w dwóch lub trzech wymiarach. Wielkość jest pokazana jako długość segmentu. Kierunek jest wskazywany przez orientację segmentu i strzałkę na jednym końcu.

Powyższa ilustracja pokazuje trzy wektory w dwuwymiarowych współrzędnych prostokątnych (płaszczyzna kartezjańska) i ich odpowiedniki we współrzędnych biegunowych.

Wektory w fizyce

W fizyce, gdy masz wektor, musisz wziąć pod uwagę dwie wielkości: jego kierunek i wielkość. Ilości, które mają tylko jedną wielkość, nazywane są skalarami. Jeśli kierunek jest podany wielkości skalarnej, tworzony jest wektor.

Wizualnie widzisz wektory rysowane jako strzały, co jest idealne, ponieważ strzałka ma wyraźny kierunek i jasną jasność (długość strzałki).

Na poniższym rysunku strzałka przedstawia wektor, który zaczyna się u podnóża strzały (zwany także ogonem) i kończy się w głowie.

W fizyce pogrubiona litera jest zwykle używana do reprezentowania wektora, chociaż może być również reprezentowana jako litera ze strzałką na niej..

Strzałka oznacza, że ​​nie jest to tylko wartość skalarna, która byłaby reprezentowana przez A, ale także coś z kierunkiem.

Różnice między wektorem a skalarem

Wartości, które nie są wektorami, są skalarne. Na przykład taka ilość 500 jabłek jest skalarem, nie ma adresu, ma tylko wielkość. Czas też jest skalarem, nie ma kierunku.

Jednak prędkość jest wektorem, ponieważ nie tylko określa wielkość (prędkość) trasy, ale także wskazuje kierunek (i kierunek) trasy.

Na przykład linia działania wektora prędkości może

być 30 ° od poziomu. Dlatego wiemy, w którym kierunku obiekt się porusza.

To jednak nadal nie określa kierunku podróży, odsuwa się od nas lub zbliża do nas. Dlatego określamy również kierunek, w którym wektor działa poprzez grot strzałki.

Siła, przyspieszenie i przebyta odległość są również wektorami. Na przykład stwierdzenie, że samochód poruszył się o 10 metrów, nie wskazuje, w którym kierunku się porusza. Aby w pełni określić ruch, konieczne jest również określenie kierunku i kierunku ruchu.

Siła jest również wektorem, ponieważ jeśli pociągniesz obiekt w swoją stronę, zbliży się on do ciebie i jeśli odepchniesz obiekt od siebie. Siła ma więc kierunek i sens, a zatem jest wektorem.

Przykład

Jako przykłady informacji dostarczanych przez wektor mamy następujące elementy:

Szukaj złotej torby

Przypuśćmy, że nauczyciel mówi ci: „Worek złota jest poza klasą, aby go znaleźć, przesuń się o 20 metrów”. To stwierdzenie z pewnością Cię zainteresuje, ale deklaracja nie zawiera wystarczającej ilości informacji, aby znaleźć worek złota.

Przemieszczenie wymagane do znalezienia złotej torby nie zostało w pełni opisane. Z drugiej strony, przypuśćmy, że twój nauczyciel mówi do ciebie: „Worek złota znajduje się poza salą lekcyjną, aby odkryć, że porusza się on od środka drzwi klasy 20 metrów w kierunku 30 ° na zachód od północy”.

To stwierdzenie zapewnia teraz pełny opis wektora przemieszczenia, który wymienia wielkość (20 metrów) i kierunek (30 ° na zachód od północy) w odniesieniu do pozycji odniesienia lub pozycji wyjściowej (środek drzwi klasy). ).

Ilości wektorowe nie są w pełni opisane, chyba że wskazana jest zarówno wielkość, jak i kierunek.

Przemieszczenie samochodu

Kiedy poruszamy się samochodem, używamy różnych wektorów. Te wektory pojawiają się za każdym razem, gdy zmieniamy prędkość.

Kiedy przyspieszamy, aby wyprzedzić inny samochód, dodajemy zmienne kierunku i prędkości, które tworzą nowy wektor.

Z drugiej strony, gdy chcemy zmniejszyć prędkość, odejmujemy wektory odpowiadające wspomnianemu opóźnieniu.

W innym sensie, kiedy odwracamy się bez zmiany prędkości, modyfikujemy sens do wektora, który wyłania się z ruchu samochodu.

Otwórz drzwi

Kiedy otwieramy drzwi, używamy kilku wektorów. Najpierw musimy wydrukować siłę w danym kierunku, aby obrócić pokrętło drzwi, a następnie musimy popchnąć drzwi w danym kierunku, drukując siłę.

Te wartości siły i kierunku odpowiadają wektorom, które są używane do otwierania drzwi. Proces zamykania drzwi wygeneruje nowy wektor, w którym jego wartość będzie ujemna w stosunku do wartości początkowo otwieranej.

Przenieś pudełko

Kiedy chcemy pchać pudełko, które jest bardzo ciężkie, musimy wywierać siłę na jego powierzchnię boczną. Siła ta musi być wywierana w jednym kierunku, aby skrzynka mogła się poruszać.

W tym przypadku wektor będzie wynikał z kombinacji siły i kierunku zastosowanego do przesunięcia ramki.

W przypadku, gdy siła nie zostanie użyta do pchnięcia pudełka, ale do podniesienia go w pionie, pojawi się nowy wektor.

Wektor ten będzie składał się z osi pionowej, na której pudełko jest uniesione i siły przyłożonej do jego podniesienia.

Przenieś kafelek szachowy

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, chip szachowy można przesuwać po powierzchni stołu - w danym kierunku i stosując określoną siłę - aby zmienić jego położenie na planszy, generując wektor.

Może być również podniesiony z planszy, generując nowy wektor pionowo.

Naciśnij przycisk

Boto zostanie wciśnięte tylko w jednym kierunku, przez ten sam system, który zawiera przycisk.

Aby nacisnąć ten przycisk, należy zastosować siłę palcem. Po wykonaniu tego ruchu powstanie wektor.

Zagraj w bilard

Działanie uderzenia w bilard drewnianą kija natychmiast skutkuje wektorem, ponieważ ma efekt dwóch wielkości: siły i kierunku.

Siła zostanie przyłożona do piłki bilardowej, aby przesunąć ją w określonym kierunku. Kula bilardowa na stole będzie miała wcześniej ustalony sens, który będzie zależał od decyzji gracza.

Ciągnięcie autka

Kiedy dziecko bierze swój samochodzik i ciągnie go na linie lub po prostu manipuluje nim rękami, będzie generować liczne wektory.

Za każdym razem, gdy dziecko zmienia prędkość lub kierunek, w którym porusza się samochód, tworzy nowy wektor.

Zmienne wektora, w tym przypadku, składałyby się z energii, którą dziecko przykłada do samochodu, i kierunku, w którym chce go przesunąć..

Reprezentacja wektorów

Wielkości wektorowe są często reprezentowane przez skalowane diagramy wektorowe.

Diagramy wektorowe reprezentują wektor za pomocą strzałki narysowanej w celu skalowania w określonym kierunku. Odpowiedni diagram wektorowy powinien mieć kilka cech:

• Skala jest wyraźnie wymieniona.
• Strzałka wektora jest rysowana (ze strzałką) w określonym kierunku. Strzałka wektorowa ma głowę i ogon.
• Wielkość i kierunek wektora są wyraźnie oznaczone.

Adres wektora

Wektory można kierować na wschód, zachód, południe i północ. Ale niektóre wektory są skierowane na północny wschód (pod kątem 45 °). Dlatego istnieje wyraźna potrzeba zidentyfikowania kierunku wektora, który nie zależy od północy, południa, wschodu ani zachodu.

Istnieje wiele konwencji opisujących kierunek dowolnego wektora, jednak tylko dwa z nich zostaną wyjaśnione poniżej.

1-Kierunek wektora jest często wyrażany jako kąt obrotu wektora wokół jego „ogona” na wschód, zachód, północ lub południe.

Na przykład można powiedzieć, że wektor ma adres 40 ° na północ od zachodu (co oznacza, że ​​wektor wskazujący na zachód został obrócony o 40 ° w kierunku północnym) lub że ma kierunek 65 ° na wschód od południa (co oznacza, że ​​wektor wskazujący południe obrócił się o 65 ° na wschód).

2-Kierunek wektora jest często wyrażany jako kąt obrotu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara wektora. Używając tej konwencji, wektor z kierunkiem 30 ° jest wektorem, który został obrócony o 30 ° w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara względem wschodu.

Wektor o kierunku 160 ° jest wektorem, który został obrócony o 160 ° w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara względem wschodu. Wektor o kierunku 270 ° jest wektorem, który został obrócony o 270 ° w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara względem wschodu.

Wielkość wektora

Wielkość wektora w skalowanym diagramie wektorowym jest reprezentowana przez długość strzałki. Strzałka jest rysowana z dokładną długością zgodnie z wybraną skalą.

Na przykład, jeśli chcesz narysować wektor o wielkości 20 metrów, możesz wybrać skalę 1 cm = 5 metrów i narysować strzałkę o długości 4 cm.

Używając tej samej skali (1 cm = 5 metrów), wektor przemieszczenia o długości 15 metrów będzie reprezentowany przez strzałkę wektorową o długości 3 cm.

W ten sam sposób wektor przemieszczenia 25 metrów jest reprezentowany przez strzałę o długości 5 cm. I wreszcie, wektor przemieszczenia 18 metrów jest reprezentowany przez strzałę o długości 3,6 cm.

Inne cechy wektorów

Równość: mówi się, że dwa wektory są równe, jeśli mają tę samą wielkość i kierunek. Równoważnie będą równe, jeśli ich współrzędne będą równe.

Opozycja: dwa wektory są przeciwne, jeśli mają tę samą wielkość, ale w przeciwnym kierunku.

Paralele: dwa wektory są równoległe, jeśli mają ten sam kierunek, ale niekoniecznie tę samą wielkość, lub antyrównoległe, jeśli mają przeciwny kierunek, ale niekoniecznie tę samą wielkość.

Jednostka wektorowa: wektor jednostkowy jest dowolnym wektorem o długości jednego.

Wektor zero: wektor zerowy jest wektorem o zerowej długości. W przeciwieństwie do innych wektorów ma kierunek dowolny lub nieokreślony i nie może być znormalizowany

Referencje

1. Jong IC, Rogers BG. Mechanika inżynierii: statyka (1991). Saunders College Publishing.
2. Ito K. Encyklopedyczny słownik matematyki (1993). MIT Press.
3. Ivanov AB. Encyklopedia matematyki (2001). Springer.
4. Kane T, Levinson D. Dynamics Online (1996). Sunnyvale: OnLine Dynamics.
5. Lang S. Wprowadzenie do algebry liniowej (1986). Springer.
6. Niku S. Zasady inżynierii w życiu codziennym dla nie-inżynierów (2016). Morgan i Claypool.
7. Pedoe D. Geometry: kompleksowy kurs (1988). Dover.