Klasyfikacja liczb rzeczywistych

Główny klasyfikacja liczb rzeczywistych Jest on podzielony na liczby naturalne, liczby całkowite, liczby wymierne i liczby niewymierne. Liczby rzeczywiste są reprezentowane literą R.

Istnieje wiele sposobów konstruowania lub opisywania różnych liczb rzeczywistych, od prostszych do bardziej złożonych, w zależności od pracy matematycznej, którą chcesz wykonać.

Jak klasyfikowane są liczby rzeczywiste??

Liczby naturalne

Są to liczby używane do liczenia, na przykład „w szkle są cztery kwiaty”.

Niektóre definicje zaczynają liczby naturalne od 0, podczas gdy inne definicje zaczynają się od 1. Liczby naturalne to te, które są używane do liczenia: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ... itd .; są one używane jako liczby porządkowe lub kardynalne.

Liczby naturalne są podstawami, z których można skonstruować wiele innych zestawów liczb: liczby całkowite, liczby wymierne, liczby rzeczywiste i liczby zespolone między innymi.

Te łańcuchy rozszerzeń tworzą naturalne liczby kanonicznie zidentyfikowane w innych systemach liczbowych.

Właściwości liczb naturalnych, takie jak podzielność i rozkład liczb pierwotnych, są badane w teorii liczb.

Problemy związane z liczeniem i porządkowaniem, takie jak wyliczenia i podział, są badane w kombinatorycznym.

W języku potocznym, podobnie jak w szkołach podstawowych, liczby naturalne można nazwać liczbami policzalnymi, aby wykluczyć ujemne liczby całkowite i zero.

Mają kilka właściwości, takich jak: dodawanie, mnożenie, odejmowanie, dzielenie itd..

Całe liczby

Liczby całkowite to liczby, które można zapisać bez składnika ułamkowego. Na przykład: 21, 4, 0, -76 itd. Z drugiej strony liczby takie jak 8,58 lub √2 nie są liczbami całkowitymi.

Można powiedzieć, że liczby całkowite to pełne liczby wraz z ujemną liczbą liczb naturalnych. Służą do wyrażania należnych pieniędzy, głębokości w stosunku do poziomu morza lub temperatury poniżej zera, aby wymienić kilka zastosowań.

Zbiór liczb całkowitych składa się z zera (0), dodatnich liczb naturalnych (1,2,3 ...) i ujemnych liczb całkowitych (-1, -2, -3 ...). Ogólnie nazywa się to ZZ lub pogrubionym Z (Z). 

Z jest podzbiorem grupy liczb wymiernych Q, które z kolei tworzą grupę liczb rzeczywistych R. Podobnie jak liczby naturalne, Z jest nieskończoną grupą rachunkową.

Całe liczby tworzą najmniejszą grupę i najmniejszy zbiór liczb naturalnych. W teorii liczb algebraicznych liczby całkowite są czasami nazywane liczbami całkowitymi irracjonalnymi, aby odróżnić je od liczb całkowitych algebraicznych.

Liczby wymierne

Liczba wymierna to dowolna liczba, która może być wyrażona jako składnik lub ułamek dwóch liczb całkowitych p / q, licznika p i mianownika q. Ponieważ q może być równe 1, każda liczba całkowita jest liczbą wymierną.

Zbiór liczb wymiernych, często nazywany „racjonalnym”, jest oznaczany przez Q. 

Rozszerzenie dziesiętne liczby wymiernej zawsze kończy się po skończonej liczbie cyfr lub gdy ta sama skończona sekwencja cyfr jest powtarzana w kółko.

Dodatkowo, każdy powtarzany lub końcowy dziesiętny reprezentuje wymierną liczbę. Te stwierdzenia są prawdziwe nie tylko dla bazy 10, ale także dla każdej innej liczby całkowitej.

Liczba rzeczywista, która nie jest racjonalna, nazywana jest irracjonalną. Liczby irracjonalne obejmują na przykład √2, a π i e. Ponieważ cały zestaw liczb możliwych do przeliczenia jest policzalny, a grupa liczb rzeczywistych nie jest policzalna, można powiedzieć, że prawie wszystkie liczby rzeczywiste są nieracjonalne.

Liczby wymierne można formalnie zdefiniować jako klasy równoważności par liczb całkowitych (p, q), tak że q ≠ 0 lub relacja równoważna zdefiniowana przez (p1, q1) (p2, q2) tylko wtedy, gdy p1, q2 = p2q1.

Liczby wymierne wraz z dodawaniem i mnożeniem tworzą pola, które składają się na liczby całkowite i są zawarte w dowolnej gałęzi zawierającej liczby całkowite.

Liczby irracjonalne

Liczby irracjonalne są liczbami rzeczywistymi, które nie są liczbami wymiernymi; Liczb irracjonalnych nie można wyrażać jako ułamków. Liczby wymierne to liczby składające się z ułamków liczb całkowitych.

W konsekwencji dowodu Cantora, że ​​wszystkie liczby rzeczywiste są niepoliczalne i że liczby wymierne są policzalne, można stwierdzić, że prawie wszystkie liczby rzeczywiste są nieracjonalne.

Gdy promień długości dwóch segmentów linii jest liczbą niewymierną, można powiedzieć, że te segmenty linii są niewspółmierne; co oznacza, że ​​nie ma wystarczającej długości, aby każdy z nich mógł być „zmierzony” za pomocą określonej jego wielokrotności.

Wśród liczb niewymiernych są promień π obwodu okręgu do jego średnicy, liczba Eulera (e), liczba złota (φ) i pierwiastek kwadratowy z dwóch; Co więcej, wszystkie pierwiastki kwadratowe liczb naturalnych są nieracjonalne. Jedynym wyjątkiem od tej reguły są idealne kwadraty.

Widać, że gdy liczby irracjonalne wyrażane są pozycjonalnie w systemie liczbowym (np. W liczbach dziesiętnych), nie kończą się ani nie powtarzają.

Oznacza to, że nie zawierają sekwencji cyfr, powtórzenia, przez które tworzona jest linia reprezentacji.

Na przykład: dziesiętna reprezentacja liczby π zaczyna się od 3,14159265358979, ale nie ma skończonej liczby cyfr, które mogłyby dokładnie reprezentować π, ani nie mogą być powtarzane.

Dowód, że rozszerzenie dziesiętne liczby wymiernej musi się kończyć lub być powtarzane, różni się od dowodu, że rozszerzenie dziesiętne musi być liczbą wymierną; testy te, choć podstawowe i dość długie, wymagają trochę pracy.

Zwykle matematycy na ogół nie przyjmują pojęcia „kończąc lub powtarzając”, aby zdefiniować pojęcie liczby wymiernej.

Liczby irracjonalne można również traktować za pomocą frakcji nieciągłych. 

Referencje

1. Klasyfikacja liczb rzeczywistych. Pobrane z chilimath.com.
2. Liczba naturalna Źródło z wikipedia.org.
3. Klasyfikacja liczb. Odzyskany z ditutor.com.
4. Źródło z wikipedia.org.
5. Liczba irracjonalna Źródło z wikipedia.org.